Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Архимеда

Сила Архимеда: задачи для подготовки к олимпиадам

Эти задачи я использовала при подготовке к олимпиаде семи- и восьмиклассников. Также можно решать их для подготовки к ЕГЭ, или для более глубокого проникновения в тему.

Задача 1. Однородное цилиндрическое бревно радиуса  плавает в воде, причем над поверхностью воды выступает его объема. Из 10 таких же бревен связали плот (см. рис.). На какую высоту выступает над водой плавающий плот?

К задаче 1

Из первого условия про единичное бревно записываем условие плавания:

   

   

Откуда

   

Поэтому, если одно бревно будет выступать на четверть объема, то и плот будет выступать на четверть объема. Так как  толщина плота – 2 бревна, или 4 радиуса, то выступать плот будет на полбревна – то есть на радиус бревна. Если бы такой плот состоял из трех слоев бревен, он выступал бы на 1,5 радиуса, а если бы из четырех слоев – то на 2 радиуса, то есть на полную толщину бревна.

Задача 2. Металлический шарик объемом 56 см и плотностью материала 8 г/ см плавает в воде и полностью в нее погружен. Определите объем полости, имеющейся внутри шара.

Записываем условие плавания:

   

   

   

   

Ответ: объем полости 49 см.

Задача 3. На дне сосуда стоит деревянный куб с ребром см. В сосуд наливают воду, которая постепенно проникает под нижнюю грань куба. Когда уровень воды поднимется выше верхней грани куба на см, куб всплывает. Найдите площадь сухой поверхности нижней грани куба перед его всплытием. Известно, что плотность дерева г/ см.

Вода проникает под куб, а в ней давление распространяется по закону Паскаля во все стороны. Поэтому всплытие куба обеспечит разность давлений воды на его верхнюю и нижнюю грани.

   

   

Давление столба на верхнюю грань куба равно

   

Давление на нижнюю грань равно

   

Где   – площадь поверхности нижней грани, под которую проникла вода.

Тогда

   

   

   

   

Таким образом, площадь сухой поверхности равна

   

Ответ: 0,016 м, или 160 см.

Задача 4. Металлический шарик плавает, наполовину погруженный в ртуть. Чему равна плотность шарика? Изменится ли погружение шарика в ртуть, если сверху налить воды?

Записываем условие плавания:

   

   

Откуда

   

Если сверху нальем воды, то появится еще одна составляющая силы Архимеда:

   

Но , тогда

   

   

   

Тогда

   

То есть – изменился объем, погруженный в ртуть.

Ответ: кг/м, да, изменится в меньшую сторону: .

Задача 5. Водолаз в костюме имеет среднюю плотность г/ см и массу 72 кг. Кроме того, он использует в качестве утяжеляющего балласта сетку с камнями массой 8 кг и плотностью г/ см, а для подъема – пробковый шар. Известно, что водолаз ходил по дну, имея балласт и шар, а затем выбросил балласт и всплыл на поверхность водоема. Каким мог быть объем пробкового шара? Плотность пробки г/ см.

Вес водолаза равен

   

Здесь – масса водолаза, – масса шара, – масса сетки с камнями.

Сила Архимеда равна

   

Чтобы водолаз мог ходить по дну, нужно, чтобы вес был больше силы Архимеда:

   

   

   

   

   

   

   

Чтобы шар обеспечивал всплытие, сила Архимеда должна превышать вес водолаза с шаром. Тогда

   

   

   

   

   

Ответ: объем шара из пробки должен быть более 0,015 м, но менее 0,0225 м.

 

Задача 6. Куб со стороной 5 см и плотностью материала 1600 кг/м уравновесили на рычаге с одинаковой длиной плеч небольшой гирей, полностью погруженной в воду. Когда гирю вынули из воды, а куб, наоборот, полностью погрузили в воду, то для сохранения равновесия точку опоры надо сдвинуть так, что бы плечо, на котором висел куб, составило от всей длины рычага. Определите плотность гири.

К задаче 6

Так как в первом случае плечи рычага равны, то можно записать, что

   

Или

   

   

Во втором случае плечо, на котором висит куб, равно , а плечо, на котором висит гиря – . Тогда уравнение моментов приобретает вид:

   

Упрощаем:

   

Откуда

   

Из (*) получаем объем гири:

   

Теперь можно определить плотность гири:

   

Ответ: 3000 кг/м.

Задача 7. В воздухе на некотором невесомом рычаге один левый шарик уравновешивается тремя шариками справа. При погружении правого края рычага в воду левый шарик уравновешивается уже четырьмя шариками справа. Найдите плотность шариков.

К задаче 7

Из первого условия следует, что длина плеча, на котором висит левый шарик, в три раза длиннее плеча, на котором висят шарики справа: то есть и . Тогда условие равновесия во втором случае будет выглядеть так:

   

Упрощаем:

   

   

   

Или

   

Ответ: 4000 кг/м.

Задача 8. Марику на день рождения подарили «гидравлические подушки» – два сообщающихся сосуда с водой, прикрытых легкими поршнями. Площади поршней 1 м и 2 м. Когда Марик сел на один из поршней, тот опустился под ним на см. Найдите массу мальчика. На сколько сантиметров опустится другой поршень, если Марик пересядет на него?

Предположим, Марик сел на большой поршень. Тогда он создал своим весом давление, которое будет уравновешено столбом воды, поднявшимся в малом сосуде. При этом, если поршень опустился на 4 см, то из этого большого сосуда перейдет в малый сосуд объем воды, равный . Тогда этот объем поднимет малый поршень на см – так как площадь малого вдвое меньше, чем площадь большого. Вес мальчика, отнесенный к площади поршня, равен давлению столба воды высотой 8 см:

   

   

   

   

Вряд ли мальчик весит 160 кг. Тогда, наверное, он сел на малый поршень. Следовательно, большой поднимется на см. Запишем уравнение равенства давлений:

   

   

   

Ответ: 20 кг, 8 см.

Задача 9. Куб, наполовину погруженный в воду, лежит на дне сосуда и давит на него с силой, равной трети действующей на куб силы тяжести. Найдите плотность куба.

Результирующая:

   

Cила Архимеда равна:

   

Тогда

   

   

Плотность куба равна

   

Ответ: 750 кг/м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *