Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила Архимеда

Сила Архимеда. Подготовка к олимпиадам, 9 класс

Сегодня рассмотрим задачи на силу Архимеда. Некоторые из них удобнее решать способом “силы давления на дно” – особенно этот способ удобен, когда, например, лед тает в стакане, или в сосуде плавает дощечка, а потом ее переворачивают и т.п. В этой статье по-настоящему интересна последняя задача.

Задача 1. С деревянным шариком и высоким сосудом с водой проводятся четыре опыта: в первом опыте они взвешиваются, когда шарик плавает в сосуде, во втором опыте при взвешивании шарик привязан ко дну сосуда, в третьем опыте шарик удерживается под водой с помощью тонкого стержня, и, наконец, в четвёртом опыте шарик всплывает во время взвешивания. В каком случае масса гири, уравновешивающей сосуд с шариком, будет больше?

К задаче 1

Решение.

В первом и втором опытах масса гири должна быть равна массе сосуда с водой и шариком. Во втором опыте уровень воды больше чем в первом, и, значит, больше сила давления воды на дно сосуда, но зато на дно действует со стороны шарика через нить сила, направленная вверх.

В третьем опыте к силе тяжести, действующей на сосуд, воду и шарик, прибавляется ещё и сила, действующая на систему со стороны стержня. Значит, масса гири должна быть больше, чем в первых двух опытах.

В четвёртом случае шарик поднимается, но на его место опускается более тяжелая вода. Поэтому центр масс системы опускается. Сила Архимеда превышает силу тяжести, так что шарик поднимается с ускорением вверх, поэтому центр масс системы «сосуд с водой + шарик» тоже движется с ускорением, но вниз. То есть внешней силы не хватает для того, чтобы удерживать систему в равновесии, поэтому масса гири меньше массы системы.

Окончательно получаем, что правильный ответ в.

Ответ: в.

 

Задача 2. Бутыль плавает на поверхности воды так, что \alpha=0,84 её объема находится под водой. Определите массу бутыли, если её ёмкость (объём внутренней полости) V_{_\Pi}=1,6 л. Плотность воды \rho_0=1~г/см^3, стекла \rho=2,5~г/см^3. Ответ выразить в кг, округлив до целых.

Решение.

Пусть V — полный объём бутыли. Тогда объём стекла равен V-V_{_\Pi}. Условие плавания бутыли

    \[m\cdot g=\alpha \cdot V\cdot \rho_0\cdot g,\]

или

    \[(V-V_{_\Pi})\cdot \rho \cdot g=\alpha \cdot V\cdot \rho_0\cdot g,\]

откуда объём бутыли

    \[V=\frac{\rho\cdot V_{_\Pi}}{\rho-\alpha\cdot \rho_0}.\]

Таким образом, масса бутыли равна

    \[m=\rho\cdot (V-V_{_\Pi})=\frac{\rho\cdot V_{_\Pi}\cdot \alpha \cdot \rho_0}{\rho-\alpha\cdot \rho_0}=2.\]

Ответ: 2 кг.

Задача 3. Груз, подвешенный к динамометру, опускают в воду, пока уровень воды в сосуде не поднимется на \Delta h=5 см. Показание динамометра при этом изменилось на \Delta F=1,0 Н. Определите площадь дна сосуда. Плотность воды \rho=1000 кг/м^3. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}. Ответ выразить в см^2, округлив до целых.

Решение.

Проще решать эту задачу через силу, действующую на дно. Сила, действующая на груз со стороны жидкости равна \Delta F. По третьему закону Ньютона груз с той же по модулю силой давит на воду, таким образом, сила давления на дно со стороны содержимого возросла на \Delta F. Но реально на дно увеличилась сила давления столба жидкости \rho\cdot \Delta h\cdot g\cdot S=\Delta F. Откуда

    \[S=\frac{\Delta F}{\Delta h\cdot \rho \cdot g}=20.\]

Ответ: 20 см.

 

Задача 4. На концы легкого стержня длиной L=80 см нанизаны два шарика, первый из чугуна, второй из магния. Стержень серединой опирается на иглу и опущен в воду, где он находится в горизонтальном равновесии. На сколько нужно передвинуть вдоль стержня второй шарик, чтобы система сохраняла равновесие в воздухе? Плотность чугуна \rho_1=7140 кг/м^3, магния \rho_2=1740 кг/м^3, воды \rho=1000 кг/м^3. Ответ выразить в см, округлив до целых.

Решение.

Условие равновесия в воде

    \[(m_1\cdot g-F_{A1})\cdot \frac{L}{2}=(m_2\cdot g-F_{A2})\cdot \frac{L}{2}\]

Учитывая, что F_{A1}=V_1\cdot \rho \cdot g, F_{A2}=V_2\cdot \rho \cdot g, m_1=\rho\cdot V_1, m_2=\rho\cdot V_2, получаем

    \[V_1\cdot(\rho_1-\rho)\cdot g= V_2\cdot(\rho_2-\rho)\cdot g,\]

откуда отношение объёмов шариков

    \[\frac{V_2}{V_1}=\frac{\rho_1-\rho}{\rho_2-\rho}.\]

Условие равновесия в воздухе

    \[m_1\cdot g\cdot \frac{L}{2}=m_2\cdot g\cdot \left(\frac{L}{2}-x\right),\]

откуда отношение объёмов шариков

    \[\frac{V_2}{V_1}=\frac{\rho_1\cdot \frac{L}{2}}{\rho_2\cdot \left(\frac{L}{2}-x\right)}.\]

Поскольку отношение объёмов шариков не зависит от того, где они находятся, получаем

    \[\frac{\rho_1-\rho}{\rho_2-\rho}=\frac{\rho_1\cdot \frac{L}{2}}{\rho_2\cdot \left(\frac{L}{2}-x\right)},\]

откуда

    \[x=\frac{L}{2}\cdot \frac{\rho\cdot(\rho_1-\rho_2)}{\rho_2\cdot (\rho_1-\rho)}=20.\]

Ответ: 20 см.

Задача 5. В стакане с водой плавает деревянная шайба с цилиндрическим сквозным отверстием. Ось шайбы и отверстия параллельны. Площадь дна стакана S=20 см^2, площадь сечения отверстия S_1=10 см^2. Отверстие осторожно заполняют доверху маслом. На какую высоту поднимется шайба, если вначале её выступающая часть имела высоту h=2 см? Плотность масла \rho_{_M}=600 кг/м^3, плотность воды \rho_{_B}=1000 кг/м^3. Известно, что всё масло осталось в отверстии. Ответ выразить в мм, округлив до целых.

Решение.

Нетрудно понять, что при осторожном наполнении отверстия маслом шайба будет постепенно подниматься, пока отверстие не окажется заполненным доверху. Если при этом уровень воды вне шайбы в стакане поднимется на величину x, то ровно настолько поднимется и шайба. Пусть высота слоя воды внутри отверстия будет при этом равна y. Если высота шайбы равна d, то остальную часть отверстия, высоту (d-y), будет заполнять масло. Тогда из условия равенства давления, создаваемого водой и маслом внутри отверстия, получим, что

    \[\rho_{_B}\cdot g\cdot (d-h)=\rho_{_B}\cdot g\cdot y+\rho_{_M}\cdot g\cdot (d-y),\]

откуда

    \[y=d-\frac{\rho_{_B}\cdot h}{\rho_{_B}-\rho_{_M}}\]

Так как масса масла, находящегося в отверстии, равна \Delta m=\rho_{_M}\cdot S_1\cdot (d-y), то сила давления на дно стакана после добавления масла должна возрасти на величину

    \[\Delta F=\Delta m\cdot g=\rho_{_M}\cdot S_1\cdot (d-y)\cdot g.\]

С другой стороны, из-за поднятия уровня воды в стакане на величину x давление на дно стакана возрастает на величину \Delta P=\rho_{_B}\cdot x\cdot g, а сила давления на дно на величину

    \[\Delta F=\rho_{_B}\cdot x\cdot g\cdot S.\]

Приравнивая правые части выражений для изменения силы, получаем

    \[\rho_{_M}\cdot S_1(d-y)\cdot g=\rho_{_B}\cdot x\cdot g\cdot S,\]

откуда изменение уровня воды в стакане

    \[x=\frac{\rho_{_M}\cdot S_1(d-y)}{\rho_{_B}\cdot S}=\frac{\rho_{_M}\cdot S_1\cdot h}{(\rho_{_B}-\rho_{_M})\cdot S}.\]

Шайба поднимется на высоту \Delta h=x, следовательно,

    \[\Delta h=\frac{\rho_{_M}\cdot S_1\cdot h}{(\rho_{_B}-\rho_{_M})\cdot S}=15.\]

Ответ: 15 мм.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *