Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила Архимеда

Сила Архимеда 2

[latexpage]

В этой статье представляю задачи, связанные с плаванием тел и силой Архимеда. Более простые задачи вы найдете в предыдущей статье.

Задача 1. Кусок металла в воздухе весит $7,8$ Н, в воде – $6,8$ Н, в жидкости А – $7$ Н, а в жидкости B – $7,1$ Н. Определите плотности жидкостей А и В.


 

Пусть, пренебрегая Архимедовой силой в воздухе, вес металла равен $P=mg=7,8$ Н. Тогда вес этого куска в воде равен весу в воздухе, уменьшенному на вес вытесненной куском воды: $P_{kv}=mg-P_v=6,8$ Н. То есть кусок вытесняет воду, вес которой равен 1 Н: $\Delta P= P – P_{kv}=1$, и мы можем тогда определить объем этого куска металла:

$$V=\frac{\Delta P}{g\rho_v}=\frac{1}{10^4}=10^{-4}$$

Такой же точно объем данный кусок вытеснит и будучи погруженным в другие жидкости. Тогда для А вес вытесненной  жидкости равен $P-P_A=mg-P_A=7,8-7=0,8$ Н, а для жидкости В $P-P_B=mg-P_B=7,8-7,1=0,7$ Н – мы нашли вес вытесненных жидкостей, то есть силу Архимеда в них. А объем мы знаем, то есть можем вычислить и плотности:

$$F_A=0,8$$

$$F_A=\rho_A g V$$

$$\rho_A=\frac{ F_A}{ g V }=\frac{0,8}{10^{-3}}=800$$

$$F_B=0,7$$

$$F_B=\rho_B g V$$

$$\rho_B=\frac{ F_B}{ g V }=\frac{0,7}{10^{-3}}=700$$

 

 

Задача 2. Слиток золота и серебра имеет массу 300 г. При погружении в воду его вес равен $2, 75$ Н. Определите массу серебра и массу золота в этом слитке.


 

Итак, известно очень мало, но даже из этого небольшого количества данных возможно вытащить нужные сведения для составления системы уравнений – к сожалению, одним не обойдемся. Что известно? То, что масса золота и серебра вместе – это 300 г. Можем записать: $m_{Au}+m_{Ag}=0,3$. Также мы знаем вес этого куска – он равен $P=mg=3$ Н. А раз он весит в воде 2, 75 Н, то вес вытесняемой им воды – или сила Архимеда – равен $3-2,75=0,25$ Н. Зная силу Архимеда, можем найти объем:

$$V=\frac{F_A}{\rho g}=\frac{0,25}{10^{4}}=2,5\cdot 10^{-5}$$

Определим среднюю плотность куска:

$$ \rho_{sr}=\frac {m}{V}=\frac{0,3}{2,5\cdot 10^{-5}}=12\cdot10^3$$

Среднюю плотность можно записать также, если использовать отдельно массы золота и серебра в слитке, и отдельно – объемы. Масса всего слитка состоит из масс золота и серебра в нем, это уже записано выше формулой ($m_{Au}+m_{Ag}=0,3$). Точно также и объем слитка равен сумме объемов золота и серебра: $V_{Au}+V_{Ag}=V$. А объемы золота и серебра неразрывно связаны с их плотностями, которые можно определить по таблице. Тогда $V_{Au}=\frac { m_{Au}}{\rho_{Au}}$, $V_{Ag}=\frac { m_{Ag}}{\rho_{Ag}}$.

$$\rho_{sr}=\frac {m}{V}=\frac{ m_{Au}+m_{Ag}}{ V_{Au}+V_{Ag}}=\frac{ m_{Au}+m_{Ag}}{ \frac { m_{Au}}{\rho_{Au}}+\frac { m_{Ag}}{\rho_{Ag}}}$$

Если в знаменателе привести сумму дробей к общему знаменателю, то получим:

$$\rho_{sr}=\frac{ (m_{Au}+m_{Ag}) \rho_{Au} \rho_{Ag}}{m_{Au} \rho_{Ag}+m_{Ag} \rho_{Au}}$$

Подставляем числа, вместо массы золота в слитке используем разность: $ m_{Au}=0,3-m_{Ag}$:

$$12\cdot10^3=\frac{ 0,3\cdot19300\cdot10500}{10500(0,3-m_{Ag})+19300m_{Ag}}$$

Или

$$5066=3150+8800 m_{Ag}$$

Откуда масса серебра в этом слитке 0,217 кг, или 217 г, а масса золота тогда 83 г.

 

 

Задача 3. К куску железа массой $11,7$ г привязан кусок пробки массой $1,2$ г. При полном погружении этих тел в воду их вес равен 64 мН. Определить плотность пробки. Объемом и массой нити пренебречь.


 

Найдем объем железа, зная его плотность и массу:

$V_{Fe}=\frac { m_{Fe}}{\rho_{Fe}}=\frac{0,0117}{7800}=1,5\cdot 10^{-6}$

Масса всей системы равна $m=m_{Fe}+m_{pr}$, вес системы в воде равен ее весу на воздухе за вычетом силы Архимеда:

$$P= (m_{Fe}+m_{pr})g-F_A$$

$$P= (m_{Fe}+m_{pr})g-\rho_v g(V_{Fe}+V_{pr})$$

$$ V_{Fe}+V_{pr}=\frac{(m_{Fe}+m_{pr})g –P}{\rho_v g }$$

$$ V_{pr}=\frac{(m_{Fe}+m_{pr})g –P}{\rho_v g }- V_{Fe}$$

$$ \rho_{pr}=\frac{m_{pr}}{V_{pr}}=\frac{m_{pr}}{\frac{(m_{Fe}+m_{pr})g –P}{\rho_v g }- V_{Fe}}$$

Теперь подставим числа:

$$ \rho_{pr}=\frac{0,0012}{\frac{(0,0117+0,0012)10 –64\cdot 10{-3}}{10^4 } – 1,5\cdot 10^{-6}}$$

$$ \rho_{pr}=240$$

Ответ: 240 кг/м$^3$

 

Задача 4. В сосуде с водой в вертикальном положении плавает тонкий, полый алюминиевый цилиндр. На дне цилиндра помещен некоторый груз. Площадь поперечного сечения цилиндра – 5 см $^2$, высота цилиндра 40 см, а его масса с грузом 100 г. Какая часть цилиндра погружена в воду?


 

Так как цилиндр плавает, то сила Архимеда равна силе тяжести. Сила Архимеда равна весу вытесненной цилиндром воды, то есть как раз весу того объема, который будет погружен в воду. Этот объем (погруженный) равен $V=Sh$, где $S$ – площадь поперечного сечения цилиндра, $h$ – высота погруженной части. Сила Архимеда равна $F_A=\rho_v g V=\rho_v g S h$. Вес цилиндра равен $P=mg$

Приравниваем:

$$ mg=\rho_v g S h$$

$$ m=\rho_v  S h$$

$$ h=\frac{ m}{\rho_v  S} =\frac{0,1}{10^3\cdot0,0005}=0,2$$

Ответ: 20 см.

Задача 5. Изготовленный из дуба брусок с прямоугольным поперечным сечением плавает на границе раздела двух сред, одна из которых имеет плотность 700 кг/м$^3$. Определить плотность другой жидкости, если известно, что брусок погружен в верхнюю жидкость на одну треть своего объема.


 

Плотность дуба по-разному указана в различных источниках, но она близка к 700 кг/м$^3$, откуда можем сделать вывод, что жидкость с известной плотностью – та, что налита сверху. А та, которая образует нижний слой, более плотная, иначе дуб тонул бы.

Теперь, когда определились хотя бы с тем, где какая жидкость находится, рассуждаем. Весь кусок помещен в жидкость, но $V \over 3$ находится в верхней жидкости с плотностью 700 кг/м$^3$, а $2V \over 3$ – в другой жидкости, плотность которой и надо найти. Тогда на этот кусок действуют две силы Архимеда, обусловленные наличием двух жидкостей. То есть вес куска будет уравновешен действием двух сил Архимеда:

$$mg=F_{A1}+F_{A2}$$

Масса куска определяется плотностью дуба:

$$m_{dub}=\rho_{dub} V$$

Тогда:

$$\rho_{dub} V g=\rho_1 g \cdot{\frac{V}{3}}+\rho_2 g \cdot{\frac{2V}{3}}$$

Сокращаем:

$$\rho_{dub} =\rho_1 \cdot{\frac{1}{3}}+\rho_2 \cdot{\frac{2}{3}}$$

Отсюда:

$$\rho_{dub} -\rho_1 \cdot{\frac{1}{3}}=\rho_2 \cdot{\frac{2}{3}}$$

$$\rho_2=\frac{\rho_{dub} -\rho_1 \cdot{\frac{1}{3}}}{\frac{2}{3}}$$

Как уже сказано было раньше, плотность дуба указана по-разному в разных таблицах. Когда я решала эту задачу, я взяла плотность дуба равной 600 кг/м$^3$, и тогда у меня получилось, что плотность второй жидкости равна 550 кг/м$^3$, и, следовательно,  она должна быть верхним слоем, а не нижним (плотность-то ее меньше, чем 700 кг/м$^3$).Если принять плотность дуба 800 кг/м$^3$, то плотность второй жидкости равна  $\rho_2=850$ кг/м$^3$ и тогда все получается: дуб плавает, так как его плотность меньше плотности нижней жидкости, а верхняя жидкость не опускается вниз, так как ее плотность меньше, чем у той, что на дне.

 

Задача 6. Оболочка аэростата, привязанного с помощью стального троса к крюку на столбе, весит 550 Н. Он вмещает 350 м$^3$ газа, плотность которого 0,6 кг/м$^3$. Определите силу, действующую на крюк, если масса троса 75 кг.


 

В этой задаче сила Архимеда настолько велика (объем-то какой!), что может не только уравновесить вес оболочки, газа в ней и троса, но и превосходить этот суммарный вес! Отсюда как раз происхождение силы, приложенной к крюку: это разность веса всей системы и силы Архимеда, или лучше наоборот: разность силы Архимеда и веса.

Вес системы:

$$P=g(m_{obol}+m_{gaz}+m_{tros})$$

$$P=P_{obol}+ gm_{tros}+ gm_{gaz}$$

$$P=P_{obol}+ gm_{tros}+ gV_{gaz} \rho_{gaz}$$

$$P=550+750+10\cdot350\cdot0,6=3400$$

Сила Архимеда равна:

$$F_A=\rho_{vozd} g V$$

$$F_A=1,29 \cdot350 \cdot 10=4515$$

Разность сил Архимеда и веса системы: $ F_A-P=4515-3400=1115$ Н.

 

Задача 7. В сосуд налиты ртуть и вода. Кусок гранита, помещенный в сосуд, плавает на границе раздела этих жидкостей. Определите отношение объемов гранита, находящихся в воде и в ртути.


 

Задача-то похожа на 5-ую.  Ртуть, понятное дело, образует нижний слой, так как $\rho_{Hg}>\rho_{gr}>\rho_v$.

Сила тяжести уравновешивается двумя силами Архимеда:

$$mg=F_{A1}+F_{A2}$$

Масса куска гранита определяется его плотностью:

$$m_{gr}=\rho_{gr} V$$

Тогда:

$$\rho_{gr} V g=\rho_{Hg} g V_1+\rho_v g V_2$$

И $V=V_1+V_2$

Сокращаем:

$$\rho_{gr} (V_1+V_2)=\rho_{Hg}  V_1+\rho_v V_2$$

Разделим на $V_2$:

$$\rho_{gr} (\frac{V_1}{V_2}+1)=\rho_{Hg} \cdot{\frac{ V_1}{V_2}}+\rho_v $$

Отношение объемов отсюда равно:

$$\frac{ V_1}{V_2}=\frac{\rho_{gr}-\rho_v}{\rho_{Hg}-\rho_{gr}}$$

$$\frac{ V_1}{V_2}=0,145$$

Ответ: $\frac{ V_1}{V_2}=0,145$

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *