Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила Архимеда

Сила Архимеда 2


В этой статье представляю задачи, связанные с плаванием тел и силой Архимеда. Более простые задачи вы найдете в предыдущей статье.

Задача 1. Кусок металла в воздухе весит 7,8 Н, в воде – 6,8 Н, в жидкости А – 7 Н, а в жидкости B – 7,1 Н. Определите плотности жидкостей А и В.


 

Пусть, пренебрегая Архимедовой силой в воздухе, вес металла равен P=mg=7,8 Н. Тогда вес этого куска в воде равен весу в воздухе, уменьшенному на вес вытесненной куском воды: P_{kv}=mg-P_v=6,8 Н. То есть кусок вытесняет воду, вес которой равен 1 Н: \Delta P= P - P_{kv}=1, и мы можем тогда определить объем этого куска металла:

    \[V=\frac{\Delta P}{g\rho_v}=\frac{1}{10^4}=10^{-4}\]

Такой же точно объем данный кусок вытеснит и будучи погруженным в другие жидкости. Тогда для А вес вытесненной  жидкости равен P-P_A=mg-P_A=7,8-7=0,8 Н, а для жидкости В P-P_B=mg-P_B=7,8-7,1=0,7 Н – мы нашли вес вытесненных жидкостей, то есть силу Архимеда в них. А объем мы знаем, то есть можем вычислить и плотности:

    \[F_A=0,8\]

    \[F_A=\rho_A g V\]

    \[\rho_A=\frac{ F_A}{ g V }=\frac{0,8}{10^{-3}}=800\]

    \[F_B=0,7\]

    \[F_B=\rho_B g V\]

    \[\rho_B=\frac{ F_B}{ g V }=\frac{0,7}{10^{-3}}=700\]

 

 

Задача 2. Слиток золота и серебра имеет массу 300 г. При погружении в воду его вес равен 2, 75 Н. Определите массу серебра и массу золота в этом слитке.


 

Итак, известно очень мало, но даже из этого небольшого количества данных возможно вытащить нужные сведения для составления системы уравнений – к сожалению, одним не обойдемся. Что известно? То, что масса золота и серебра вместе – это 300 г. Можем записать: m_{Au}+m_{Ag}=0,3. Также мы знаем вес этого куска – он равен P=mg=3 Н. А раз он весит в воде 2, 75 Н, то вес вытесняемой им воды – или сила Архимеда – равен 3-2,75=0,25 Н. Зная силу Архимеда, можем найти объем:

    \[V=\frac{F_A}{\rho g}=\frac{0,25}{10^{4}}=2,5\cdot 10^{-5}\]

Определим среднюю плотность куска:

    \[\rho_{sr}=\frac {m}{V}=\frac{0,3}{2,5\cdot 10^{-5}}=12\cdot10^3\]

Среднюю плотность можно записать также, если использовать отдельно массы золота и серебра в слитке, и отдельно – объемы. Масса всего слитка состоит из масс золота и серебра в нем, это уже записано выше формулой (m_{Au}+m_{Ag}=0,3). Точно также и объем слитка равен сумме объемов золота и серебра: V_{Au}+V_{Ag}=V. А объемы золота и серебра неразрывно связаны с их плотностями, которые можно определить по таблице. Тогда V_{Au}=\frac { m_{Au}}{\rho_{Au}}, V_{Ag}=\frac { m_{Ag}}{\rho_{Ag}}.

    \[\rho_{sr}=\frac {m}{V}=\frac{ m_{Au}+m_{Ag}}{ V_{Au}+V_{Ag}}=\frac{ m_{Au}+m_{Ag}}{ \frac { m_{Au}}{\rho_{Au}}+\frac { m_{Ag}}{\rho_{Ag}}}\]

Если в знаменателе привести сумму дробей к общему знаменателю, то получим:

    \[\rho_{sr}=\frac{ (m_{Au}+m_{Ag}) \rho_{Au} \rho_{Ag}}{m_{Au} \rho_{Ag}+m_{Ag} \rho_{Au}}\]

Подставляем числа, вместо массы золота в слитке используем разность: m_{Au}=0,3-m_{Ag}:

    \[12\cdot10^3=\frac{ 0,3\cdot19300\cdot10500}{10500(0,3-m_{Ag})+19300m_{Ag}}\]

Или

    \[5066=3150+8800 m_{Ag}\]

Откуда масса серебра в этом слитке 0,217 кг, или 217 г, а масса золота тогда 83 г.

 

 

Задача 3. К куску железа массой 11,7 г привязан кусок пробки массой 1,2 г. При полном погружении этих тел в воду их вес равен 64 мН. Определить плотность пробки. Объемом и массой нити пренебречь.


 

Найдем объем железа, зная его плотность и массу:

V_{Fe}=\frac { m_{Fe}}{\rho_{Fe}}=\frac{0,0117}{7800}=1,5\cdot 10^{-6}

Масса всей системы равна m=m_{Fe}+m_{pr}, вес системы в воде равен ее весу на воздухе за вычетом силы Архимеда:

    \[P= (m_{Fe}+m_{pr})g-F_A\]

    \[P= (m_{Fe}+m_{pr})g-\rho_v g(V_{Fe}+V_{pr})\]

    \[V_{Fe}+V_{pr}=\frac{(m_{Fe}+m_{pr})g -P}{\rho_v g }\]

    \[V_{pr}=\frac{(m_{Fe}+m_{pr})g -P}{\rho_v g }- V_{Fe}\]

    \[\rho_{pr}=\frac{m_{pr}}{V_{pr}}=\frac{m_{pr}}{\frac{(m_{Fe}+m_{pr})g -P}{\rho_v g }- V_{Fe}}\]

Теперь подставим числа:

    \[\rho_{pr}=\frac{0,0012}{\frac{(0,0117+0,0012)10 -64\cdot 10{-3}}{10^4 } - 1,5\cdot 10^{-6}}\]

    \[\rho_{pr}=240\]

Ответ: 240 кг/м^3

 

Задача 4. В сосуде с водой в вертикальном положении плавает тонкий, полый алюминиевый цилиндр. На дне цилиндра помещен некоторый груз. Площадь поперечного сечения цилиндра – 5 см ^2, высота цилиндра 40 см, а его масса с грузом 100 г. Какая часть цилиндра погружена в воду?


 

Так как цилиндр плавает, то сила Архимеда равна силе тяжести. Сила Архимеда равна весу вытесненной цилиндром воды, то есть как раз весу того объема, который будет погружен в воду. Этот объем (погруженный) равен V=Sh, где S – площадь поперечного сечения цилиндра, h – высота погруженной части. Сила Архимеда равна F_A=\rho_v g V=\rho_v g S h. Вес цилиндра равен P=mg

Приравниваем:

    \[mg=\rho_v g S h\]

    \[m=\rho_v  S h\]

    \[h=\frac{ m}{\rho_v  S} =\frac{0,1}{10^3\cdot0,0005}=0,2\]

Ответ: 20 см.

Задача 5. Изготовленный из дуба брусок с прямоугольным поперечным сечением плавает на границе раздела двух сред, одна из которых имеет плотность 700 кг/м^3. Определить плотность другой жидкости, если известно, что брусок погружен в верхнюю жидкость на одну треть своего объема.


 

Плотность дуба по-разному указана в различных источниках, но она близка к 700 кг/м^3, откуда можем сделать вывод, что жидкость с известной плотностью – та, что налита сверху. А та, которая образует нижний слой, более плотная, иначе дуб тонул бы.

Теперь, когда определились хотя бы с тем, где какая жидкость находится, рассуждаем. Весь кусок помещен в жидкость, но V \over 3 находится в верхней жидкости с плотностью 700 кг/м^3, а 2V \over 3 – в другой жидкости, плотность которой и надо найти. Тогда на этот кусок действуют две силы Архимеда, обусловленные наличием двух жидкостей. То есть вес куска будет уравновешен действием двух сил Архимеда:

    \[mg=F_{A1}+F_{A2}\]

Масса куска определяется плотностью дуба:

    \[m_{dub}=\rho_{dub} V\]

Тогда:

    \[\rho_{dub} V g=\rho_1 g \cdot{\frac{V}{3}}+\rho_2 g \cdot{\frac{2V}{3}}\]

Сокращаем:

    \[\rho_{dub} =\rho_1 \cdot{\frac{1}{3}}+\rho_2 \cdot{\frac{2}{3}}\]

Отсюда:

    \[\rho_{dub} -\rho_1 \cdot{\frac{1}{3}}=\rho_2 \cdot{\frac{2}{3}}\]

    \[\rho_2=\frac{\rho_{dub} -\rho_1 \cdot{\frac{1}{3}}}{\frac{2}{3}}\]

Как уже сказано было раньше, плотность дуба указана по-разному в разных таблицах. Когда я решала эту задачу, я взяла плотность дуба равной 600 кг/м^3, и тогда у меня получилось, что плотность второй жидкости равна 550 кг/м^3, и, следовательно,  она должна быть верхним слоем, а не нижним (плотность-то ее меньше, чем 700 кг/м^3).Если принять плотность дуба 800 кг/м^3, то плотность второй жидкости равна  \rho_2=850 кг/м^3 и тогда все получается: дуб плавает, так как его плотность меньше плотности нижней жидкости, а верхняя жидкость не опускается вниз, так как ее плотность меньше, чем у той, что на дне.

 

Задача 6. Оболочка аэростата, привязанного с помощью стального троса к крюку на столбе, весит 550 Н. Он вмещает 350 м^3 газа, плотность которого 0,6 кг/м^3. Определите силу, действующую на крюк, если масса троса 75 кг.


 

В этой задаче сила Архимеда настолько велика (объем-то какой!), что может не только уравновесить вес оболочки, газа в ней и троса, но и превосходить этот суммарный вес! Отсюда как раз происхождение силы, приложенной к крюку: это разность веса всей системы и силы Архимеда, или лучше наоборот: разность силы Архимеда и веса.

Вес системы:

    \[P=g(m_{obol}+m_{gaz}+m_{tros})\]

    \[P=P_{obol}+ gm_{tros}+ gm_{gaz}\]

    \[P=P_{obol}+ gm_{tros}+ gV_{gaz} \rho_{gaz}\]

    \[P=550+750+10\cdot350\cdot0,6=3400\]

Сила Архимеда равна:

    \[F_A=\rho_{vozd} g V\]

    \[F_A=1,29 \cdot350 \cdot 10=4515\]

Разность сил Архимеда и веса системы: F_A-P=4515-3400=1115 Н.

 

Задача 7. В сосуд налиты ртуть и вода. Кусок гранита, помещенный в сосуд, плавает на границе раздела этих жидкостей. Определите отношение объемов гранита, находящихся в воде и в ртути.


 

Задача-то похожа на 5-ую.  Ртуть, понятное дело, образует нижний слой, так как \rho_{Hg}>\rho_{gr}>\rho_v.

Сила тяжести уравновешивается двумя силами Архимеда:

    \[mg=F_{A1}+F_{A2}\]

Масса куска гранита определяется его плотностью:

    \[m_{gr}=\rho_{gr} V\]

Тогда:

    \[\rho_{gr} V g=\rho_{Hg} g V_1+\rho_v g V_2\]

И V=V_1+V_2

Сокращаем:

    \[\rho_{gr} (V_1+V_2)=\rho_{Hg}  V_1+\rho_v V_2\]

Разделим на V_2:

    \[\rho_{gr} (\frac{V_1}{V_2}+1)=\rho_{Hg} \cdot{\frac{ V_1}{V_2}}+\rho_v\]

Отношение объемов отсюда равно:

    \[\frac{ V_1}{V_2}=\frac{\rho_{gr}-\rho_v}{\rho_{Hg}-\rho_{gr}}\]

    \[\frac{ V_1}{V_2}=0,145\]

Ответ: \frac{ V_1}{V_2}=0,145

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *