Сила Ампера: взаимодействие двух проводников

[latexpage]

В этой статье предлагаю задачи на взаимодействие двух проводов с током, расположенных недалеко друг от друга. Сила взаимодействия – взаимная:  как первый провод, создавая поле, действует на второй, так и наоборот. В первой задаче приведен вывод формулы, с которой проводники взаимодействуют, в дальнейшем я просто использую ее.

Задача 1. Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии $l = 0,3$ м  друг от друга. На них перпендикулярно рельсам лежит стержень. Какой должна быть минимальная индукция магнитного поля, чтобы проводник двигался равномерно, если по нему пропускать электрический ток? Коэффициент трения стержня о рельсы $\mu = 0,2$. Масса стержня $m= 0,5$ кг, сила тока $I = 50$ А.

Чтобы проводник двигался равномерно, без ускорения, нужно, чтобы сила Ампера как минимум была равна силе трения. Тогда:

$$F_A=F_{tr}$$

$$ BlI=\mu m g$$

Откуда:

$$B=\frac{\mu m g }{lI}=\frac{0,2\cdot0,5\cdot10}{0,3\cdot50}=0,07$$

Ответ: $B=0,07$ Тл.

Задача 2. Проводящий стержень подвешен горизонтально на двух легких проводах в магнитном поле, индукция которого направлена вертикально вниз (рис.). К точкам крепления провода можно подключать конденсатор. Определить емкость конденсатора С1‚ при разрядке которого стержень отклонится от вертикали на угол $ \beta = 3^{\circ}$, если при разрядке заряженного до такого же напряжения конденсатора емкостью $C_0 = 10$ мкФ угол отклонения $\alpha = 2^{\circ}$. Сопротивление стержня и проводов не учитывать.

К задаче 2

Можем записать для отклонившегося проводника уравнения по второму закону Ньютона  по вертикальной и горизонтальной осям:

Рисунок 2. Детализация.

$$mg=T\cos{\alpha}$$

$$F_A=T\sin{\alpha}$$

Разделим эти уравнения друг на друга:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{F_A}{mg}$$

Или

$$mg=\frac{F_A}{\operatorname{tg}{\alpha}}$$

Вес проводника меняться не будет, поэтому при действии разных по модулю сил отклонение его тоже будет разным:

$$mg=\frac{F_{A1}}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{F_{A2}}{\operatorname{tg}{\beta}}$$

Распишем силы Ампера:

$$\frac{BlI_1}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{BlI_2}{\operatorname{tg}{\beta}}$$

Но $I\sim q\sim C$, следовательно,

$$\frac{C_0}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{C_1}{\operatorname{tg}{\beta}}$$

А в силу малости углов можно перейти к ним самим:

$$\frac{C_0}{\alpha}=\frac{C_1}{\beta}$$

Откуда

$$C_1=\frac{C_0\beta }{\alpha }=\frac{10^{-5}\cdot3}{2}=15\cdot10^{-6}$$

Ответ: 15 мкФ.

Задача 3. Сила тока в двух параллельных проводниках  $I_1= 20$ А и $I_2= 30$ А соответственно, длина каждого проводника $l= 1$ м. Определить расстояние между проводниками $R$, если они взаимодействуют с силой $F= 4\cdot 10^{-3} $Н.

Сила взаимодействия двух проводников может быть определена следующим образом: первый находится в поле второго, на него действует сила

$$F_1=B_1I_2l$$

Второй находится в поле первого, на него действует сила

$$F_2=B_2I_1l$$

Силы равны (это одна и та же сила), следовательно,

$$F_1=F_2$$

Индукция, создаваемая протяженным проводником с током, равна

$$B_1=\frac{I_1\mu_0}{2\pi R}$$

$$B_2=\frac{I_2\mu_0}{2\pi R}$$

Подставляя, получим:

$$F_1=B_1I_2l=\frac{I_1I_2\mu_0 l}{2\pi R}$$

Откуда $R$:

$$R=\frac{I_1I_2\mu_0 l}{2\pi F_1}=\frac{20\cdot30\cdot1,26\cdot10^{-6}}{6,28\cdot4\cdot 10^{-3} }=0,03$$
Ответ: 3 см.
Задача 4. Два параллельных проводника, сила тока в которых одинакова, находятся на расстоянии $b= 8,7$ см друг от друга и притягиваются с силой $F= 2 ‚5\cdot 10^{-2}$ Н. Определить силу тока в проводнике, если длина каждого проводника $l= 320$ см.

По формуле из предыдущей задачи

$$F=\frac{I^2\mu_0 l}{2\pi R}$$

$$I^2=\frac{2\pi R F}{ \mu_0 l }$$

$$I=\sqrt{\frac{6,28\cdot0,087\cdot2 ‚5\cdot 10^{-2}}{1,26\cdot10^{-6}\cdot3,2}}=58,2$$

Ответ: $I=58$ А.

Задача 5. Металлический стержень длиной $l= 0,15$ м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу. Сила тока в проводе $I_2 = 2$ А. Найти силу, действующую на стержень со стороны магнитного поля, которое создается проводом, если сила тока в стержне $I_1 = 0,5$ А. Расстояние от провода до стержня $R= 5$ см.

Из задачи 3
$$F=\frac{I_1 I_2\mu_0 l}{2\pi R}=\frac{0,5\cdot2\cdot1,26\cdot10^{-6}\cdot 0,15}{6,28\cdot0,05}=6\cdot10^{-7}$$

Ответ: $F=6\cdot10^{-7}$ Н.

Задача 6. В вертикальной плоскости расположены два горизонтальных прямых, параллельных друг другу проводника. Сила тока в каждом проводнике $I= 100$ А. Верхний проводник можно считать бесконечно
длинным. Нижний проводник имеет длину $l = 10$ м и массу $m = 0,01$ кг. Каково должно быть расстояние между проводниками, чтобы сила их взаимодействия уравновешивала силу тяжести нижнего проводника?

$$F=\frac{I_1 I_2\mu_0 l}{2\pi R}=mg$$

Откуда

$$R=\frac{I_1 I_2\mu_0 l}{2\pi m g}=\frac{100^2\cdot 1,26\cdot10^{-6}\cdot10}{6,28\cdot0,01\cdot10}=0,2$$

Ответ: 20 см.