Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила Ампера

Сила Ампера: взаимодействие двух проводников

В этой статье предлагаю задачи на взаимодействие двух проводов с током, расположенных недалеко друг от друга. Сила взаимодействия – взаимная:  как первый провод, создавая поле, действует на второй, так и наоборот. В первой задаче приведен вывод формулы, с которой проводники взаимодействуют, в дальнейшем я просто использую ее.

Задача 1. Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии l = 0,3 м  друг от друга. На них перпендикулярно рельсам лежит стержень. Какой должна быть минимальная индукция магнитного поля, чтобы проводник двигался равномерно, если по нему пропускать электрический ток? Коэффициент трения стержня о рельсы \mu = 0,2. Масса стержня m= 0,5 кг, сила тока I = 50 А.

Чтобы проводник двигался равномерно, без ускорения, нужно, чтобы сила Ампера как минимум была равна силе трения. Тогда:

    \[F_A=F_{tr}\]

    \[BlI=\mu m g\]

Откуда:

    \[B=\frac{\mu m g }{lI}=\frac{0,2\cdot0,5\cdot10}{0,3\cdot50}=0,07\]

Ответ: B=0,07 Тл.

Задача 2. Проводящий стержень подвешен горизонтально на двух легких проводах в магнитном поле, индукция которого направлена вертикально вниз (рис.). К точкам крепления провода можно подключать конденсатор. Определить емкость конденсатора С1‚ при разрядке которого стержень отклонится от вертикали на угол \beta = 3^{\circ}, если при разрядке заряженного до такого же напряжения конденсатора емкостью C_0 = 10 мкФ угол отклонения \alpha = 2^{\circ}. Сопротивление стержня и проводов не учитывать.

К задаче 2

Можем записать для отклонившегося проводника уравнения по второму закону Ньютона  по вертикальной и горизонтальной осям:

Рисунок 2. Детализация.

 

    \[mg=T\cos{\alpha}\]

    \[F_A=T\sin{\alpha}\]

Разделим эти уравнения друг на друга:

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{F_A}{mg}\]

Или

    \[mg=\frac{F_A}{\operatorname{tg}{\alpha}}\]

Вес проводника меняться не будет, поэтому при действии разных по модулю сил отклонение его тоже будет разным:

    \[mg=\frac{F_{A1}}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{F_{A2}}{\operatorname{tg}{\beta}}\]

Распишем силы Ампера:

    \[\frac{BlI_1}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{BlI_2}{\operatorname{tg}{\beta}}\]

Но I\sim q\sim C, следовательно,

    \[\frac{C_0}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{C_1}{\operatorname{tg}{\beta}}\]

А в силу малости углов можно перейти к ним самим:

    \[\frac{C_0}{\alpha}=\frac{C_1}{\beta}\]

Откуда

    \[C_1=\frac{C_0\beta }{\alpha }=\frac{10^{-5}\cdot3}{2}=15\cdot10^{-6}\]

Ответ: 15 мкФ.

Задача 3. Сила тока в двух параллельных проводниках  I_1= 20 А и I_2= 30 А соответственно, длина каждого проводника l= 1 м. Определить расстояние между проводниками R, если они взаимодействуют с силой F= 4\cdot 10^{-3}Н.

Сила взаимодействия двух проводников может быть определена следующим образом: первый находится в поле второго, на него действует сила

    \[F_1=B_1I_2l\]

Второй находится в поле первого, на него действует сила

    \[F_2=B_2I_1l\]

Силы равны (это одна и та же сила), следовательно,

    \[F_1=F_2\]

Индукция, создаваемая протяженным проводником с током, равна

    \[B_1=\frac{I_1\mu_0}{2\pi R}\]

    \[B_2=\frac{I_2\mu_0}{2\pi R}\]

Подставляя, получим:

    \[F_1=B_1I_2l=\frac{I_1I_2\mu_0 l}{2\pi R}\]

Откуда R:

    \[R=\frac{I_1I_2\mu_0 l}{2\pi F_1}=\frac{20\cdot30\cdot1,26\cdot10^{-6}}{6,28\cdot4\cdot 10^{-3} }=0,03\]

Ответ: 3 см.
Задача 4. Два параллельных проводника, сила тока в которых одинакова, находятся на расстоянии b= 8,7 см друг от друга и притягиваются с силой F= 2 ‚5\cdot 10^{-2} Н. Определить силу тока в проводнике, если длина каждого проводника l= 320 см.

По формуле из предыдущей задачи

    \[F=\frac{I^2\mu_0 l}{2\pi R}\]

    \[I^2=\frac{2\pi R F}{ \mu_0 l }\]

    \[I=\sqrt{\frac{6,28\cdot0,087\cdot2 ‚5\cdot 10^{-2}}{1,26\cdot10^{-6}\cdot3,2}}=58,2\]

Ответ: I=58 А.

Задача 5. Металлический стержень длиной l= 0,15 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу. Сила тока в проводе I_2 = 2 А. Найти силу, действующую на стержень со стороны магнитного поля, которое создается проводом, если сила тока в стержне I_1 = 0,5 А. Расстояние от провода до стержня R= 5 см.

Из задачи 3

    \[F=\frac{I_1 I_2\mu_0 l}{2\pi R}=\frac{0,5\cdot2\cdot1,26\cdot10^{-6}\cdot 0,15}{6,28\cdot0,05}=6\cdot10^{-7}\]

Ответ: F=6\cdot10^{-7} Н.


Задача 6. В вертикальной плоскости расположены два горизонтальных прямых, параллельных друг другу проводника. Сила тока в каждом проводнике I= 100 А. Верхний проводник можно считать бесконечно
длинным. Нижний проводник имеет длину l = 10 м и массу m = 0,01 кг. Каково должно быть расстояние между проводниками, чтобы сила их взаимодействия уравновешивала силу тяжести нижнего проводника?

    \[F=\frac{I_1 I_2\mu_0 l}{2\pi R}=mg\]

Откуда

    \[R=\frac{I_1 I_2\mu_0 l}{2\pi m g}=\frac{100^2\cdot 1,26\cdot10^{-6}\cdot10}{6,28\cdot0,01\cdot10}=0,2\]

Ответ: 20 см.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *