Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи, Олимпиадная физика

Шестерни и палочка в лунке

Решим еще несколько задач на «закон палочки», а также на мгновенный центр скоростей.

 

Задача 1. Стержень AB касается уступа K полусферической лунки радиуса R. Точка A движется равномерно со скоростью \upsilon по поверхности лунки, начиная от нижней т очки N к точке M. Найти зависимость модуля скорости u конца стержня B от угла \alpha, который стержень составляет с горизонтом. Длина стержня AB равна 2R.

К задаче 1

Решение.

Проекция скорости точки К на палочку равна проекции скорости точки A на нее же. Причем точка K, раз она касается выступа, другой проекции скорости вообще не имеет. Это позволит нам найти мгновенный центр скоростей, если мы построим перпендикуляры к обоим векторам скоростей и найдем их точку пересечения – точку O. Теперь из этой точки провозим отрезок BO и строим скорость точки B перпендикулярно BO, но так, чтобы ее проекция на палочку была бы равна скорости точки K.

Рисунок 2 к задаче 1

Таким образом,

    \[\upsilon_A=\omega \cdot 2R\]

    \[\omega=\frac{\upsilon_A }{2R }\]

(Тоска O – конец диаметра OA, так как угол OKA – прямой, он опирается на диаметр).

    \[\upsilon_B=\omega \cdot OB\]

Треугольник ABO равнобедренный, поэтому

    \[OB=2\cdot 2R\sin \frac{\alpha}{2}\]

Где \alpha=\angle BAO, так как треугольник BCA – равнобедренный.

    \[OB=4R\sin \frac{\alpha}{2}\]

    \[\upsilon_B=\frac{\upsilon_A }{2R } \cdot 4R\sin \frac{\alpha}{2}=2\upsilon_A \sin \frac{\alpha}{2}\]

Задача 2. Одна из разновидностей так называемой планетарной передачи состоит из центральной «солнечной» шестерни (С), нескольких планетарных шестерен (П), оси которых соединены жесткой рамой – водилом (В), и кольцевой шестерни (К), имеющей внутреннее зацепление с планетарными. Пусть радиусы солнечной и планетарных шестерен равны и солнечная шестерня приводится во вращение с угловой скоростью \omega.

– с какой угловой скоростью будет вращаться кольцевая шестерня, если водило зафиксировано?

– с какой угловой скоростью будет вращаться водило, если кольцевая шестерня зафиксирована?

– с какой угловой скоростью в последнем случае будет вращаться планетарная шестерня?

К задаче 2

Решение.

Если водило зафиксировано, то точка контакта солнечной шестерни и планетарной имеет скорость \omega R, а угловая частота вращения планетарной тогда равна \omega. Так как радиус кольцевой шестерни равен 3R, то при одинаковой линейной скорости точек планетарной и кольцевой шестерен – а иначе не может быть – ее угловая скорость будет равна \frac{\omega}{3}.

Если кольцевая зафиксирована, то угол водила расположен на расстоянии 2R от центра. Солнечная шестерня вращается со скоростью \omega, а значит, точка контакта планетарной и солнечной имеет скорость \upsilon_{pl}=\omega R. Но скорость точки контакта кольцевой и планетарной нулевая, значит, скорость середины планетарной шестерни – \frac{\omega R}{2}. Тогда угловая скорость водила будет

    \[\omega_V=\frac{\omega R}{2\cdot 2R}=\frac{\omega}{4}\]

Так как мы уже нашли линейную скорость середины планетарной шестерни, то осталось найти угловую. Линейная скорость вращения шестерни равна разности линейных скоростей на ее краю и в центре – \frac{\omega R}{2}..

    \[\omega_{pl}=\frac{\omega R}{2R}=\frac{\omega}{2}\]

Ответ: а) \frac{\omega}{3}; б) \frac{\omega}{4}; в) \frac{\omega}{2}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *