Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи, Олимпиадная физика

Шестерни и палочка в лунке

[latexpage]

Решим еще несколько задач на «закон палочки», а также на мгновенный центр скоростей.

 

Задача 1. Стержень $AB$ касается уступа $K$ полусферической лунки радиуса $R$. Точка $A$ движется равномерно со скоростью $\upsilon$ по поверхности лунки, начиная от нижней т очки $N$ к точке $M$. Найти зависимость модуля скорости $u$ конца стержня $B$ от угла $\alpha$, который стержень составляет с горизонтом. Длина стержня $AB$ равна $2R$.

К задаче 1

Решение.

Проекция скорости точки К на палочку равна проекции скорости точки $A$ на нее же. Причем точка $K$, раз она касается выступа, другой проекции скорости вообще не имеет. Это позволит нам найти мгновенный центр скоростей, если мы построим перпендикуляры к обоим векторам скоростей и найдем их точку пересечения – точку $O$. Теперь из этой точки проводим отрезок $BO$ и строим скорость точки $B$ перпендикулярно $BO$, но так, чтобы ее проекция на палочку была бы равна скорости точки $K$.

Рисунок 2 к задаче 1

Таким образом,

$$\upsilon_A=\omega \cdot 2R$$

$$\omega=\frac{\upsilon_A }{2R }$$
(Точка $O$ – конец диаметра $OA$, так как угол $OKA$ – прямой, он опирается на диаметр).

$$\upsilon_B=\omega \cdot OB$$
Треугольник $ABO$ равнобедренный, поэтому

$$OB=2\cdot 2R\sin \frac{\alpha}{2}$$

Где $\alpha=\angle BAO$, так как треугольник $BCA$ – равнобедренный.

$$OB=4R\sin \frac{\alpha}{2}$$

$$\upsilon_B=\frac{\upsilon_A }{2R } \cdot 4R\sin \frac{\alpha}{2}=2\upsilon_A \sin \frac{\alpha}{2}$$

Задача 2. Одна из разновидностей так называемой планетарной передачи состоит из центральной «солнечной» шестерни (С), нескольких планетарных шестерен (П), оси которых соединены жесткой рамой – водилом (В), и кольцевой шестерни (К), имеющей внутреннее зацепление с планетарными. Пусть радиусы солнечной и планетарных шестерен равны и солнечная шестерня приводится во вращение с угловой скоростью $\omega$.

– с какой угловой скоростью будет вращаться кольцевая шестерня, если водило зафиксировано?

– с какой угловой скоростью будет вращаться водило, если кольцевая шестерня зафиксирована?

– с какой угловой скоростью в последнем случае будет вращаться планетарная шестерня?

К задаче 2

Решение.

Если водило зафиксировано, то точка контакта солнечной шестерни и планетарной имеет скорость $\omega R$, а угловая частота вращения планетарной тогда равна $\omega$. Так как радиус кольцевой шестерни равен $3R$, то при одинаковой линейной скорости точек планетарной и кольцевой шестерен – а иначе не может быть – ее угловая скорость будет равна $\frac{\omega}{3}$.

Если кольцевая зафиксирована, то угол водила расположен на расстоянии $2R$ от центра. Солнечная шестерня вращается со скоростью $\omega$, а значит, точка контакта планетарной и солнечной имеет скорость $\upsilon_{pl}=\omega R$. Но скорость точки контакта кольцевой и планетарной нулевая, значит, скорость середины планетарной шестерни – $\frac{\omega R}{2}$. Тогда угловая скорость водила будет

$$\omega_V=\frac{\omega R}{2\cdot 2R}=\frac{\omega}{4}$$

Так как мы уже нашли линейную скорость середины планетарной шестерни, то осталось найти угловую. Линейная скорость вращения шестерни равна разности линейных скоростей на ее краю и в центре – $\frac{\omega R}{2}$..

$$\omega_{pl}=\frac{\omega R}{2R}=\frac{\omega}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\omega}{3}$; б) $\frac{\omega}{4}$; в) $\frac{\omega}{2}$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *