Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 9 класс

Схема Горнера


Всем доброго времени суток! В этой статье мы научимся делить многочлены по схеме Горнера. Это простой и мощный механизм, которым совершенно необходимо владеть, чтобы решать некоторые рациональные уравнения задания 15 профильного ЕГЭ.

При решении таких уравнений корни заранее неизвестны, да и при разложении многочлена на множители мы также не знаем заранее, на какой бином поделится наш многочлен. Как же узнать, на какой бином разделить многочлен?

Если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена – правило вытекает из теоремы Безу

Пример 1.

Определим, какие числа являются, например, корнями многочлена x^3+x-2. Если этот многочлен имеет целые корни, то они являются делителями числа (-2): это могут быть {1}, {-1}, {2}, {-2}. Проверим подстановкой – если при подстановке этих чисел в исходный многочлен получим ноль, то данное число – корень:

 

 

Кроме 1, ни одно число не подошло, значит, бином x-1 поделит этот многочлен нацело (без остатка). Деление теперь можно выполнить как в столбик (уголком), так и по схеме Горнера – сейчас мы до нее дойдем, только еще раз потренируемся в определении корней.

 

Пример 2. 

Определим корни многочлена 6x^3-7x+1. Целые делители свободного члена – только 1 и (-1):

 

Корнем многочлена является 1, поэтому многочлен без остатка поделится на бином x-1.

Пример 3. 

Определим корни многочлена 5x^4-3x^2-2. Целые делители свободного члена – {1}, {-1}, {2}, {-2}. Проверим их:

 

Корнями многочлена являются как 1, так и (-1),  поэтому многочлен без остатка поделится на биномы x-1 и x+1 – а в итоге на x^2-1.

Теперь, когда мы научились определять, есть ли у многочлена целые корни, можем перейти собственно к схеме Горнера. Чтобы ею воспользоваться, нужно составить таблицу, в верхней строке которой будут расположены коэффициенты нашего многочлена. Поучимся заполнять эту строку. Определим коэффициенты многочлена x^5+1 и запишем их в таблицу. Этот многочлен пятой степени, поэтому коэффициентов будет 6: при каждой из степеней x, включая нулевую (свободный член). Если какой-то степени нет в записи многочлена, то это означает, что коэффициент при ней нулевой:

Получили эдакую зашифрованную запись многочлена.

Еще пример, многочлен 3x^6+6x^4-x^2-2, его коэффициенты:

Полдела сделано: верхнюю строку научились заполнять, а нижняя – это уже решение, то есть результат деления в таком же, “зашифрованном”, виде. Каков же порядок заполнения нижней строки? Во-первых, у нее будет дополнительная ячейка слева, куда мы впишем корень многочлена, образующий бином, на который мы собираемся делить. Например, если делим на x-2, то корнем многочлена является число 2, если делим на x+9, то в эту ячейку впишем (-9). Пример: хотим разделить 2x^5+4x^4-5x^3-9x^2+x+2 на x-5, таблица изначально будет выглядеть так:

Как уже было сказано, ответ будет “зашифрован” в пустых пока ячейках. Наверное, вы догадались, что там окажутся коэффициенты нового, полученного при делении, многочлена. Только внимание! Степень полученного многочлена уменьшится на 1: ведь мы делим на бином, куда x входит в первой степени. Например, если сейчас мы начнем заполнять эту табличку, то под двойкой, которая была в делимом коэффициентом при пятой степени, окажется коэффициент при четвертой степени искомого частного, под 4 – коэффициент при кубе частного и т.д.

Так же просто заполнить вторую ячейку нижней строки: в нее просто вписывается число, стоящее в первой строчке:

 

Рассмотрим дальнейшее заполнение таблицы на конкретном примере: разделим x^5+1 на бином x+1 (так как (-1) – это корень данного многочлена). Заполняем таблицу, пока только ту часть, которую умеем:вписываем коэффициенты в верхнюю строку, в дополнительную ячейку слева – корень (-1), в следующую переносим 1 из верхней строки:

 

Чтобы заполнить следующую ячейку, берем корень, умножаем его на имеющийся коэффициент и прибавляем к полученному числу то, которое стоит над пустой ячейкой:

 

Чтобы заполнить следующую, все повторяем:

 

И опять:

 

И вот так закончится заполнение таблицы:

“Расшифровываем” ответ, при этом помним, что степень понизилась на 1::

Ответ: x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)

Ноль в последней графе – это нулевой остаток от деления – то есть один многочлен поделился на другой “нацело”.

Решим еще пример. Разделим 2x^5+4x^4-5x^3-10x^2 на x+2. Составим таблицу:

 

Начинаем рассчитывать коэффициенты и заполнять таблицу. Первое число из верхней строки переписываем вниз, умножаем на него корень, к результату добавляем число из верхней строки:

 

Также вычисляем следующий коэффициент:

 

И далее:

 

Получили ответ: 2x^5+4x^4-5x^3-10x^2=(x+2)(2x^4-5x^2). Здесь остаток от деления также равен нулю.

Этот способ хорош своей быстротой и простотой. Им можно пользоваться и при делении с остатком: тогда в последней графе таблицы будет стоять не ноль, а этот самый остаток. Недостаток способа – неудобство деления в случае, если корень не целый, а представляет собой дробь.

Попробуем выполнить деление по схеме Горнера, если корень не целый, да еще и остаток есть. Поделим многочлен 3x^3+4x^2 на бином x+2/3. Заполняем таблицу:

 

Расшифруем ответ:

 

Итак, получилось следующее. При делении получился многочлен 3x^2+2x-4/3 и остаток 8/9. Запишем это иначе: (3x^2+2x-4/3)*(x+2/3)+8/9=3x^3+4x^2. Если есть желание проверить – раскройте скобки в этой формуле.

Наконец, об уравнениях высоких степеней. Иногда однократное деление не приводит к окончанию  решения, потому что корней несколько и многочлен можно продолжать делить. В этом случае, выполнив деление и получив новый многочлен степенью ниже, снова пытаются найти целые корни среди делителей его свободного члена. При этом подстановка предполагаемых корней в многочлен может занимать даже больше времени, чем заполнение таблицы по Горнеру. Тогда таблицу продолжают вниз, дополняя ее просто новыми строками, а в случае появления остатка (деление не выполнено) эту строчку зачеркивают и пробуют новый корень в следующей строке. Пример:

Решить уравнение:  x^5-19x^4+137x^3-461x^2+702x-360=0. Делителями свободного члена являются: pm{1}, pm{2}, pm{3}, pm{4}, pm{5}, pm{6}, pm{8}, pm{9}pm{10}, pm{12}, pm{15}, pm{18}, pm{20}, pm{30}, pm{40}, pm{60} и так далее. Пробуем сначала подставить 1 и (-1) в сам многочлен – такая подстановка дает нам один корень, это 1.  Выполняем деление по схеме Горнера:

 

Запишем, что получилось:  x^5-19x^4+137x^3-461x^2+702x-360=(x-1)(x^4-18x^3+119x^2-342x+360) – получили тот же свободный член, и можем снова использовать те же делители, чтобы проверить, не являются ли они корнями. Однако теперь подстановка 1 и (-1) показывает, что эти два числа не являются корнями. Проверяем тогда 2 и (-2) – только не будем подставлять их в многочлен, а сразу попытаемся делить по Горнеру. А таблица у нас уже готова, и в ней все коэффициенты! Поэтому продолжаем ее заполнять, добавляя строки:

 

Так как остаток ненулевой, то 2 – не корень. Строку вычеркнем и попробуем (-2):

 

Та же картина, опять получили ненулевой остаток. Далее пробуем 3 и (-3):

 

Получилось! Теперь имеем: x^5-19x^4+137x^3-461x^2+702x-360=(x-1)(x-3)(x^3-15x^2+74x-120). Делителями нового свободного члена являются  pm{1}, pm{2}, pm{3}, pm{4}, pm{5}, pm{6}, pm{8}, pm{10}, pm{12}, pm{15}, pm{20}. Пробовать  pm{1}, pm{2}, pm{3} не будем: очевидно, что они не могут быть корнями – это выяснилось на предыдущих этапах. Поэтому пробуем  pm{4}.

 

Получили: x^5-19x^4+137x^3-461x^2+702x-360=(x-1)(x-3)(x-4)(x^2-11x+30). Дальше деление по Горнеру можно и не выполнять: корни с очевидностью можно найти по теореме Виета – это 5 и 6. Тогда x^5-19x^4+137x^3-461x^2+702x-360=(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6). Разложение выполнено, корни уравнения найдены.

Надеюсь, статья вам помогла, до следующих исследований!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *