Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Потенциал

Шары и емкости

Задача 1. В результате слияния 64  маленьких, одинаково заряженных капелек воды образовалась одна большая капля. Во сколько раз потенциал и поверхностная плотность заряда большой капли отличаются от потенциала и поверхностной плотности заряда каждой малой капли? Капли имеют форму шара.

Потенциалы  маленьких  капелек равны (пусть их заряды q):

    \[\varphi_m=\frac{kq}{\varepsilon r}\]

k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}=9\cdot 10^9 Н\cdotм^2/Кл^2 – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Потенциал большой капли (пусть ее заряд Q):

    \[\varphi=\frac{kQ}{\varepsilon R}\]

Масса большой капли равна:

    \[M=64m\]

Заряд большой капли равен:

    \[Q=64q\]

Ее объем:

    \[V=64V_m=64\frac{m}{\rho}\]

Определим ее радиус:

    \[R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4 \pi}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot64m}{4 \pi \rho}}\]

Радиус маленькой капли равен:

    \[r=\sqrt[3]{\frac{3V_m}{4 \pi}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot m}{4 \pi \rho}}\]

Определим отношение потенциалов:

    \[\frac{\varphi }{\varphi_m }=\frac{Q r}{q R}=64\sqrt[3]{\frac{3m}{4 \pi \rho} \cdot \frac{4 \pi \rho}{3\cdot64m}}=64\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=16\]

Определим отношение поверхностных плотностей зарядов:

Поверхностная плотность заряда маленькой капли:

    \[\sigma_m=\frac{q}{s}\]

А большой:

    \[\sigma=\frac{Q}{S}\]

Отношение плотностей равно:

    \[\frac{\sigma}{\sigma_m }=\frac{Qs}{qS}=\frac{64\cdot4 \pi r^2}{4 \pi R^2}\]

    \[\frac{\sigma}{\sigma_m }=\frac{64r^2}{ R^2}=64\sqrt[3]{\left(\frac{3m}{4 \pi \rho} \cdot \frac{4 \pi \rho}{3\cdot64m}\right)^2}=64\sqrt[3]{\frac{1}{64^2}}=4\]

Ответ: \frac{\varphi }{\varphi_m }=16, \frac{\sigma}{\sigma_m }=4.

 

Задача 2. Три заряженных шарика радиусами R_1=1 см, R_2=2 см, R_3=3 см соединены проволокой. Как распределится общий заряд Q между шариками? Размеры шариков малы по сравнению с расстояниями между ними.

Потенциалы шариков до того, как их соединили:

    \[\varphi_1=\frac{q_1}{C_1}\]

    \[\varphi_2=\frac{q_2}{C_2}\]

    \[\varphi_3=\frac{q_3}{C_3}\]

Емкости шаров зависят от их радиусов:

    \[C_1=\frac{R_1}{k}\]

    \[C_2=\frac{R_2}{k}\]

    \[C_3=\frac{R_3}{k}\]

После того, как шарики соединят, их потенциалы сравняются:

    \[\varphi_1=\varphi_2=\varphi_3\]

    \[\frac{q_1k}{R_1}=\frac{q_2k}{R_2}=\frac{q_3k}{R_3}\]

Или последнее равенство можно записать так:

    \[q_1:q_2:q_3=R_1:R_2:R_3=1:2:3\]

Так как q_1+q_2+q_3=q, то q_1=\frac{q}{6}q_2=\frac{q}{3}, q_3=\frac{q}{2}.

Ответ: q_1=\frac{q}{6}q_2=\frac{q}{3}, q_3=\frac{q}{2}.

 

Задача 3. Два проводящих шара радиусами  R_1=10 см и R_2=5 см  заряжены до потенциалов \varphi_1=20 В и \varphi_2=10 В соответственно. Найти поверхностные плотности зарядов \sigma_1 и \sigma_2 на шарах после их соединения проводником.  Расстояние между шарами много больше их радиусов. Емкостью проводника, соединяющего шары, пренебречь.

Потенциалы шариков до того, как их соединили:

    \[\varphi_1=\frac{q_1}{C_1}\]

    \[\varphi_2=\frac{q_2}{C_2}\]

После соединения шаров потенциалы их станут равными:

    \[\frac{q_1}{C_1}=\frac{q_2}{C_2}\]

Так как емкость заряженного шара прямо зависит от его радиуса, то можно записать, что

    \[\frac{q_1}{q_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{R_1}{R_2}=2\]

Тогда суммарный заряд шаров равен

    \[q_1+q_2=2q_2+q_2=3q_2\]

Заряды шаров:

    \[q_1=\varphi_1\cdot C_1=\frac{\varphi_1 R_1}{k}\]

    \[q_2=\varphi_2\cdot C_2=\frac{\varphi_2 R_2}{k}\]

Их сумма:

    \[q_1+q_2=\frac{\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2}{k}=3q_2\]

Отсюда

    \[q_2=\frac{\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2}{3k}\]

А заряд первого тогда:

    \[q_1=\frac{2(\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3k}\]

Найдем поверхностную плотность зарядов:

    \[\sigma_1=\frac{q_1}{S_1}=\frac{2(\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3kS_1}\]

    \[\sigma_1=\frac{2(\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3k\cdot4 \pi R_1^2}\]

 

    \[\sigma_2=\frac{q_2}{S_2}=\frac{\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3kS_2}\]

    \[\sigma_2=\frac{\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3k\cdot 4 \pi R_2^2}\]

Наконец, численно:

    \[\sigma_1=\frac{2(20\cdot 0,1+10 \cdot 0,05)}{3\cdot9\cdot10^9\cdot4 \pi 0,1^2}=1,46\cdot10^{-9}\]

    \[\sigma_2=\frac{20\cdot 0,1+10 \cdot 0,05}{3\cdot9\cdot10^9\cdot4 \pi 0,1^2}=2,92\cdot10^{-9}\]

Ответ: \sigma_1=1,46\cdot10^{-9} Кл/м^2, \sigma_2=2,92\cdot10^{-9}, Кл/м^2

 

Задача 4. Шар радиусом R_1=5 см, заряженный до потенциала  \varphi_1=100 кВ, соединили длинной проволокой с незаряженным шаром, радиус которого R_2=6 см. Найти заряд каждого шара и их потенциалы.

Сначала полный заряд был сконцентрирован на одном из шаров:

    \[\varphi_1=\frac{q_1}{C_1}\]

    \[q_1=\varphi_1 C_1\]

Затем этот заряд перераспределится на оба шара. Емкости шаров зависят от их радиусов:

    \[C_1=\frac{R_1}{k}\]

    \[C_2=\frac{R_2}{k}\]

Потенциалы шаров после соединения равны:

    \[\varphi_1=\varphi_2\]

    \[\frac{q_{11}}{C_1}=\frac{q_2}{C_2}\]

Тогда

    \[q_2=\frac{q_{11} C_2}{C_1}=\frac{q_{11} R_2}{R_1}\]

Мы знаем, что q_2+q_{11}=q_1, то есть

    \[\frac{q_{11} R_2}{R_1}+q_{11}=q_1\]

    \[q_{11}\left(\frac{R_2}{R_1}+1 \right)=q_1=\varphi_1 C_1\]

Определим заряд первого шара после соприкосновения:

    \[q_{11}=\frac{\varphi_1 C_1}{\left(\frac{R_2}{R_1}+1 \right)}=\frac{\varphi_1 К_1}{k\left(\frac{R_2}{R_1}+1 \right)}\]

Тогда заряд второго равен:

    \[q_2=\frac{\varphi_1 R_1}{k\left(\frac{R_2}{R_1}+1 \right)}\cdot\frac{R_2}{R_1}\]

Теперь можно и подставить числа:

    \[q_{11}=\frac{100 000\cdot0,05}{9\cdot10^9\left(\frac{0,06}{0,05}+1 \right)}=0,25\cdot10^{-6}\]

    \[q_2=\frac{100 000\cdot0,05}{9\cdot10^9\left(\frac{0,06}{0,05}+1 \right)}\cdot\frac{0,06}{0,05}=0,3\cdot10^{-6}\]

Наконец, потенциалы шаров тогда станут равны:

    \[\varphi_{11}=\frac{q_{11}}{C_1}=\frac{kq_{11}}{R_1}=\frac{9\cdot10^9\cdot0,25\cdot10^{-6}}{0,05}=45000\]

    \[\varphi_{2}=\frac{q_2}{C_2}=\frac{kq_2}{R_2}=\frac{9\cdot10^9\cdot0,3\cdot10^{-6}}{0,06}=45000\]

Ответ: q_{11}=0,25\cdot10^{-6} Кл, или 0,25 мкКл, q_2=0,3\cdot10^{-6}, или 0,3 мкКл, потенциалы шаров равны 45000 В.

Один комментарий

  • Огр
    |

    Очень непонятные обозначения в этих задачах!

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *