Шарнирный стержень

Задачу принес ученик, поэтому источника ее я не знаю.

Задача. Шарнирно закрепленный стержень длиной $l$ с грузом массы $M$ на конце удерживается в вертикальном положении невесомой нитью, перекинутой через гвоздь и прикрепленной одним концом к пружине жесткостью $k$ , а другим – к грузу. Гвоздь вбит на высоте $l$ над шарниром. Когда стержень вертикален, пружина не растянута. Какую максимальную массу $M_{max}$ может устойчиво удержать такая система, не опрокинувшись? Трения нет.

Рисунок к задаче

Решение. На стержень действует сила упругости нити, сила тяжести груза, сила реакции опоры.

Расставим силы и углы

Чтобы равновесие было устойчивым, необходимо, чтобы стержень при небольшом отклонении приходил бы обратно в первоначальное состояние. Для этого должно выполняться неравенство:

$F_{upr}\cos \beta \geqslant Mg\sin \alpha$