Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Шарнирный стержень

Задачу принес ученик, поэтому источника ее я не знаю.

Задача. Шарнирно закрепленный стержень длиной l с грузом массы M на конце удерживается в вертикальном положении невесомой нитью, перекинутой через гвоздь и прикрепленной одним концом к пружине жесткостью k, а другим – к грузу. Гвоздь вбит на высоте l над шарниром. Когда стержень вертикален, пружина не растянута. Какую максимальную массу M_{max} может устойчиво удержать такая система, не опрокинувшись? Трения нет.

Рисунок к задаче

Решение. На стержень действует сила упругости нити, сила тяжести груза, сила реакции опоры.

Расставим силы и углы

Чтобы равновесие было устойчивым, необходимо, чтобы стержень при небольшом отклонении приходил бы обратно в первоначальное состояние. Для этого должно выполняться неравенство:

    \[F_{upr}\cos \beta \geqslant Mg\sin \alpha\]

При отклонении от вертикали изменение потенциальной энергии груза

    \[\Delta E_p=Mgl-Mgl\cos \alpha\]

Потенциальная энергия растянутой пружины:

    \[\frac{kx^2}{2}=\frac{k(l\sin \alpha)^2}{2}=\frac{kl^2\alpha^2}{2}\]

Считаем, что угол \alpha мал, и для него тогда справедливо \alpha \approx \sin \alpha.

    \[\frac{kl^2\alpha^2}{2}\geqslant Mg(l-l\cos\alpha)\]

    \[\frac{kl\alpha^2}{2}\geqslant Mg(1-\cos\alpha)\]

Произведем замену:

    \[1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}\]

    \[\frac{kl\alpha^2}{2}\geqslant Mg\frac{\alpha^2}{2}\]

    \[kl\geqslant Mg\]

    \[M\leqslant \frac{kl}{g}\]

Ответ: M\leqslant \frac{kl}{g}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *