Шарнирный стержень

[latexpage]

Задачу принес ученик, поэтому источника ее я не знаю.

Задача. Шарнирно закрепленный стержень длиной $l$ с грузом массы $M$ на конце удерживается в вертикальном положении невесомой нитью, перекинутой через гвоздь и прикрепленной одним концом к пружине жесткостью $k$, а другим – к грузу. Гвоздь вбит на высоте $l$ над шарниром. Когда стержень вертикален, пружина не растянута. Какую максимальную массу $M_{max}$ может устойчиво удержать такая система, не опрокинувшись? Трения нет.

Рисунок к задаче

Решение. На стержень действует сила упругости нити, сила тяжести груза, сила реакции опоры.

Расставим силы и углы

Чтобы равновесие было устойчивым, необходимо, чтобы стержень при небольшом отклонении приходил бы обратно в первоначальное состояние. Для этого должно выполняться неравенство:

$$F_{upr}\cos \beta \geqslant Mg\sin \alpha$$

При отклонении от вертикали изменение потенциальной энергии груза

$$\Delta E_p=Mgl-Mgl\cos \alpha$$

Потенциальная энергия растянутой пружины:

$$\frac{kx^2}{2}=\frac{k(l\sin \alpha)^2}{2}=\frac{kl^2\alpha^2}{2}$$

Считаем, что угол $\alpha$ мал, и для него тогда справедливо $\alpha \approx \sin \alpha$.

$$\frac{kl^2\alpha^2}{2}\geqslant Mg(l-l\cos\alpha)$$

$$\frac{kl\alpha^2}{2}\geqslant Mg(1-\cos\alpha)$$

Произведем замену:

$$1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}$$

$$\frac{kl\alpha^2}{2}\geqslant Mg\frac{\alpha^2}{2}$$

$$kl\geqslant Mg$$

$$M\leqslant \frac{kl}{g}$$

Ответ: $M\leqslant \frac{kl}{g}$