[latexpage]
Задачу принес ученик, поэтому источника ее я не знаю.
Задача. Шарнирно закрепленный стержень длиной $l$ с грузом массы $M$ на конце удерживается в вертикальном положении невесомой нитью, перекинутой через гвоздь и прикрепленной одним концом к пружине жесткостью $k$, а другим – к грузу. Гвоздь вбит на высоте $l$ над шарниром. Когда стержень вертикален, пружина не растянута. Какую максимальную массу $M_{max}$ может устойчиво удержать такая система, не опрокинувшись? Трения нет.

Рисунок к задаче
Решение. На стержень действует сила упругости нити, сила тяжести груза, сила реакции опоры.

Расставим силы и углы
Чтобы равновесие было устойчивым, необходимо, чтобы стержень при небольшом отклонении приходил бы обратно в первоначальное состояние. Для этого должно выполняться неравенство:
$$F_{upr}\cos \beta \geqslant Mg\sin \alpha$$
При отклонении от вертикали изменение потенциальной энергии груза
$$\Delta E_p=Mgl-Mgl\cos \alpha$$
Потенциальная энергия растянутой пружины:
$$\frac{kx^2}{2}=\frac{k(l\sin \alpha)^2}{2}=\frac{kl^2\alpha^2}{2}$$
Считаем, что угол $\alpha$ мал, и для него тогда справедливо $\alpha \approx \sin \alpha$.
$$\frac{kl^2\alpha^2}{2}\geqslant Mg(l-l\cos\alpha)$$
$$\frac{kl\alpha^2}{2}\geqslant Mg(1-\cos\alpha)$$
Произведем замену:
$$1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}$$
$$\frac{kl\alpha^2}{2}\geqslant Mg\frac{\alpha^2}{2}$$
$$kl\geqslant Mg$$
$$M\leqslant \frac{kl}{g}$$
Ответ: $M\leqslant \frac{kl}{g}$
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...