Шарик в трубе

Задача довольно сложная, олимпиадного уровня, хотя, если разобраться, то вполне решаемая. Ее предлагали на нескольких олимпиадах, в том числе в некоторых вузах.

Задача.  В трубу длины , наклоненную под углом к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью . Определить время пребывания шарика в трубе, если удары об ее стенки упругие.

Шарик в трубе

Введем оси координат так, что ось направлена вдоль оси трубы, а ось – перпендикулярно ей, вверх. Тогда шарик будет двигаться с некоторым ускорением по обеим осям. Проекция ускорения свободного падения на ось равна . Проекция начальной скорости на эту же ось равна . Таким образом, скорость вдоль оси будет меняться по закону:

Теперь понятно, что наступит момент, когда эта скорость станет равной нулю, и движение шарика вдоль оси трубы прекратится, а затем он начнет двигаться в обратную сторону – падать. Найдем, за какое время скорость станет равной нулю:

Посмотрим, насколько далеко сможет шарик улететь за это время:

Теперь мы знаем, сколько шарик может пролететь в трубе. То есть, если длина трубы меньше , то шарик успеет из нее вылететь.  Тогда мы имеем квадратное уравнение для определения времени, только нужно заменить на .

Решим его и определим .

Имеем два корня, какой из них выбрать? Шарик может двигаться в трубе, только если его скорость не нулевая, а время, за которое скорость вдоль оси станет равной нулю, мы нашли. То есть время пролета должно бьыть меньше времени, за которое убудет до нуля скорость – .

Поэтому

Второй случай – когда . Тогда составляющая скорости станет равной нулю, а потом шарик, так и не вылетев из трубы, начнет падать и вернется к месту, где он попал в трубу, затратив на это удвоенное время :

Ответ: если шарик вылетает с противоположного конца трубы:

Если шарик не сможет преодолеть трубу и вылетит с того же конца, куда влетел:

.