Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Шарик в трубе

Задача довольно сложная, олимпиадного уровня, хотя, если разобраться, то вполне решаемая. Ее предлагали на нескольких олимпиадах, в том числе в некоторых вузах.

Задача.  В трубу длины l, наклоненную под углом \alpha к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью \upsilon. Определить время пребывания шарика в трубе, если удары об ее стенки упругие.

Шарик в трубе

Введем оси координат так, что ось x направлена вдоль оси трубы, а ось y – перпендикулярно ей, вверх. Тогда шарик будет двигаться с некоторым ускорением по обеим осям. Проекция ускорения свободного падения на ось x равна g_x=-g \sin{\alpha}. Проекция начальной скорости на эту же ось равна \upsilon \cos{\alpha}. Таким образом, скорость вдоль оси x будет меняться по закону:

    \[\upsilon_x=\upsilon \cos{\alpha}- g \sin{\alpha} t\]

Теперь понятно, что наступит момент, когда эта скорость станет равной нулю, и движение шарика вдоль оси трубы прекратится, а затем он начнет двигаться в обратную сторону – падать. Найдем, за какое время скорость станет равной нулю:

    \[\upsilon \cos{\alpha}- g \sin{\alpha} t=0\]

    \[t=\frac{\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}=\frac{\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}\]

Посмотрим, насколько далеко сможет шарик улететь за это время:

    \[S_x=\upsilon_x t-\frac{g_x t^2}{2}=\upsilon \cos{\alpha} t-\frac{ g \sin{\alpha} t^2}{2}=\upsilon \cos{\alpha} \frac{\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}-\frac{ g \sin{\alpha} }{2}\frac{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}{ g^2 \sin^2{\alpha}}=\]

    \[=\frac{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}-\frac{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}{2 g \sin{\alpha}}=\frac{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}{2 g \sin{\alpha}}\]

Теперь мы знаем, сколько шарик может пролететь в трубе. То есть, если длина трубы меньше S, то шарик успеет из нее вылететь.  Тогда мы имеем квадратное уравнение для определения времени, только нужно заменить S на l.

    \[l=\upsilon \cos{\alpha} t-\frac{ g \sin{\alpha} t^2}{2}\]

    \[\frac{ g \sin{\alpha} t^2}{2}-\upsilon \cos{\alpha} t -l =0\]

Решим его и определим t.

    \[D=\upsilon^2 \cos^2{\alpha}+4l\frac{ g \sin{\alpha}}{2}=\upsilon^2 \cos^2{\alpha}+2l g \sin{\alpha}\]

    \[t_{1,2}=\frac{\upsilon \cos{\alpha} \pm \sqrt{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}+2l g \sin{\alpha}}}{ g \sin{\alpha}}\]

Имеем два корня, какой из них выбрать? Шарик может двигаться в трубе, только если его скорость не нулевая, а время, за которое скорость вдоль оси x станет равной нулю, мы нашли. То есть время пролета должно бьыть меньше времени, за которое убудет до нуля скорость – t=\frac{\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}.

Поэтому

    \[t_1=\frac{\upsilon \cos{\alpha} - \sqrt{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}+2l g \sin{\alpha}}}{ g \sin{\alpha}}=\frac{\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}\left(1-\sqrt{1-\frac{2gl \operatorname{tg}{\alpha}}{\upsilon^2 \cos{\alpha}}}\right)\]

Второй случай – когда l>S. Тогда составляющая скорости станет равной нулю, а потом шарик, так и не вылетев из трубы, начнет падать и вернется к месту, где он попал в трубу, затратив на это удвоенное время t=\frac{\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}:

    \[t_2=\frac{2\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}=\frac{2\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}\]

Ответ: если шарик вылетает с противоположного конца трубы: t_1=\frac{\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}\left(1-\sqrt{1-\frac{2gl \operatorname{tg}{\alpha}}{\upsilon^2 \cos{\alpha}}}\right)

Если шарик не сможет преодолеть трубу и вылетит с того же конца, куда влетел:

t_2=\frac{2\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *