Задача довольно сложная, олимпиадного уровня, хотя, если разобраться, то вполне решаемая. Ее предлагали на нескольких олимпиадах, в том числе в некоторых вузах.
Задача. В трубу длины , наклоненную под углом
к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью
. Определить время пребывания шарика в трубе, если удары об ее стенки упругие.

Шарик в трубе
Введем оси координат так, что ось направлена вдоль оси трубы, а ось
– перпендикулярно ей, вверх. Тогда шарик будет двигаться с некоторым ускорением по обеим осям. Проекция ускорения свободного падения на ось
равна
. Проекция начальной скорости на эту же ось равна
. Таким образом, скорость вдоль оси
будет меняться по закону:
Теперь понятно, что наступит момент, когда эта скорость станет равной нулю, и движение шарика вдоль оси трубы прекратится, а затем он начнет двигаться в обратную сторону – падать. Найдем, за какое время скорость станет равной нулю:
Посмотрим, насколько далеко сможет шарик улететь за это время:
Теперь мы знаем, сколько шарик может пролететь в трубе. То есть, если длина трубы меньше , то шарик успеет из нее вылететь. Тогда мы имеем квадратное уравнение для определения времени, только нужно заменить
на
.
Решим его и определим .
Имеем два корня, какой из них выбрать? Шарик может двигаться в трубе, только если его скорость не нулевая, а время, за которое скорость вдоль оси станет равной нулю, мы нашли. То есть время пролета должно бьыть меньше времени, за которое убудет до нуля скорость –
.
Поэтому
Второй случай – когда . Тогда составляющая скорости станет равной нулю, а потом шарик, так и не вылетев из трубы, начнет падать и вернется к месту, где он попал в трубу, затратив на это удвоенное время
:
Ответ: если шарик вылетает с противоположного конца трубы:
Если шарик не сможет преодолеть трубу и вылетит с того же конца, куда влетел:
.
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...
Здравствуйте, насчет задачи №4. Вы пишите, что c=h1*cos(beta), но это неверно, потому что...
Рассматривается произвольный случай, когда точки приземления и броска не на...