Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Шарик и желоб

Задача о минимальном времени скатывания.

Задача. Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки A гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?

Желоб

Пусть длина желоба l. Тогда длина перпендикуляра к плоскости d будет равна

    \[d=l\sin(\alpha+\varphi)\]

Отметим углы

Проекция ускорения свободного падения на плоскость равна a=g\sin{\alpha}, тогда

    \[l=\frac{at^2}{2}\]

    \[t^2=\frac{2l}{a}=\frac{2d}{\sin(\alpha+\varphi)\cdot g\sin{\alpha}}\]

    \[t^2=\frac{2d}{g\frac{1}{2}\left(\cos\varphi-\cos(2\alpha+\varphi)\right)}\]

Если минимален квадрат времени, то и само время тоже будет минимальным. Квадрат времени минимален, если \cos(2\alpha+\varphi)=-1. Но нам-то нужен угол наклона желоба к вертикали, а это угол 90^{\circ}-\alpha. То есть

    \[\cos(2\alpha+\varphi)=-1\]

    \[2\alpha+\varphi=180^{\circ}\]

    \[\varphi=180^{\circ}-2\alpha=2(90^{\circ}-\alpha)\]

Иначе говоря, угол наклона желоба к вертикали должен составлять \frac{\varphi}{2}.

Ответ: угол наклона желоба к вертикали \frac{\varphi}{2} обеспечивает минимальное время скатывания.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *