Шарик и подвижная стенка

[latexpage]

Рассматриваем задачу с подвижной стенкой и налетающим шариком. Получим относительную скорость шарика двумя путями.

Задача. Маленький шарик, брошенный с начальной скоростью $\upsilon_0=10$ м/с под углом $\alpha=60^{\circ}$ к горизонту, упруго ударяется о вертикальную стенку, движущуюся ему навстречу с постоянной скоростью $\upsilon=2$ м/с. Известно, что после упругого удара о стенку шарик возвращается в ту же точку, из которой его бросили. Через какое время после броска произошло столкновение шарика со стенкой?

Рисунок к задаче

Решение. Если бы стенка была бы неподвижной, то при упругом ударе о нее угол падения был бы равен углу отражения, и траектория шарика после удара была бы такой, что представляла бы собой отражение траектории шарика, летящего без стенки. Но, так как стенка движется, то удобнее перейти в СО стенки. В этой СО скорость мячика относительно стенки равна

$$\upsilon_{m_{st}}=\upsilon_0\cos \alpha +\upsilon$$

При отскоке от стенки мячик меняет направление движения, а модуль скорости сохраняется. Нам же нужна скорость мячика относительно земли, и она будет такой:

$$\upsilon_{m_z}=\upsilon_0\cos \alpha +\upsilon+\upsilon=\upsilon_0\cos \alpha +2\upsilon $$

Пусть время от броска до удара мячика о стенку $t_1$. При ударе $\upsilon_y$ не меняется, поэтому время $t_2$ – время от удара до попадания в точку броска – такое же, каким оно было бы без стенки. То есть, если бы стенки не было, мячик пробыл бы в полете время $t_1+t_2$. Тогда можно записать уравнение:

$$t_1+t_2=\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha}{g}$$

С другой стороны, расстояния от броска до стенки и обратно – одинаковы, поэтому можно записать

$$\upsilon_0 \cos \alpha\cdot t_1=(\upsilon_0\cos \alpha +2\upsilon)t_2$$

Имеем два уравнения и два неизвестных.

$$t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha }{g}-t_2$$

$$\upsilon_0 \cos \alpha\cdot\left(\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha }{g}-t_2\right)= \upsilon_0 \cos \alpha \cdot t_2 +2\upsilon t_2$$

$$\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}-\upsilon_0 \cos \alpha\cdot t_2=\upsilon_0 \cos \alpha \cdot t_2 +2\upsilon t_2$$

$$\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}=t_2\left(2\upsilon_0 \cos \alpha+2\upsilon\right)$$

$$t_2=\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha }{2g(\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon )}$$

$$t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha}{g}-\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha }{2g(\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon )}$$

$$t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha \cdot 2(\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon )- \upsilon_0^2\sin 2\alpha }{2g(\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon )}$$

$$t_1=\frac{\upsilon_0}{2g}\cdot \frac{\upsilon_0\sin 2\alpha +4\upsilon \sin\alpha}{\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon }=\frac{10(10\sin 120^{\circ}+8\sin 60^{\circ})}{20(10\cos 60^{\circ}+2)}=\frac{50\sqrt{3}+40\sqrt{3}}{140}=\frac{9\sqrt{3}}{14}$$

Можно также получить соотношение между скоростями шарика и стенки (скорость шарика относительно стенки и скорость относительно земли), воспользовавшись законом сохранения энергии. Давайте посмотрим, как это сделать (для тех, кто не очень любит переходы из одной в другую системы отсчета).

Записываем закон сохранения импульса для шарика и стенки, масса шарика $m$, стенки – $M$.

$$M\upsilon_1-m\upsilon_2=M\upsilon_1’ +m\upsilon_2’$$

И закон сохранения энергии:

$$\frac{M\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_2^2}{2}=\frac{M\upsilon_1’^2}{2}+\frac{m\upsilon_2’^2}{2}$$

Перепишем уравнения так, чтобы слагаемые с одинаковыми массами оказались с одной стороны:

$$ M\upsilon_1-M\upsilon_1’= m\upsilon_2’+ m\upsilon_2$$

$$M\upsilon_1^2- M\upsilon_1’^2= m\upsilon_2’^2 -m\upsilon_2^2$$

Теперь разделим второе уравнение на первое:

$$\upsilon_1+\upsilon_1’=\upsilon_2’- \upsilon_2$$

И дополним полученное уравнение законом сохранения импульса:

$$M(\upsilon_1-\upsilon_1’)=m(\upsilon_2’+ \upsilon_2)$$

Выражаем скорость:

$$\upsilon_1’=\upsilon_2’-\upsilon_2-\upsilon_1$$

Подставляем в ЗСИ:

$$M\upsilon_1-M\upsilon_2’+M\upsilon_2+M\upsilon_1=m\upsilon_2’+m\upsilon_2$$

$$\upsilon_2’=\frac{M(2\upsilon+\upsilon_2)-m\upsilon_2}{m+M}$$

Вот здесь немного сложный момент: нужно использовать условие $m<<M$, и грамотно использовать! Запишем нашу скорость, разделив ее на $M$:

$$\upsilon_2’=\frac{2\upsilon+\upsilon_2-\frac{m}{M}\upsilon_2}{1+\frac{m}{M}}$$

Отношение $\frac{m}{M}$ стремится к нулю, поэтому содержащими его слагаемыми можно пренебречь и получим:

$$\upsilon_2’=\frac{2\upsilon+\upsilon_2}{1}$$

$$\upsilon_2’=2\upsilon+\upsilon_2$$

Далее решение не отличается от представленного выше: приравниваем равные расстояния, пройденные шариком до и после удара.

Ответ: $t_1=\frac{9\sqrt{3}}{14}$.