Шарик и подвижная стенка

Рассматриваем задачу с подвижной стенкой и налетающим шариком. Получим относительную скорость шарика двумя путями.

Задача. Маленький шарик, брошенный с начальной скоростью $\upsilon_0=10$ м/с под углом $\alpha=60^{\circ}$ к горизонту, упруго ударяется о вертикальную стенку, движущуюся ему навстречу с постоянной скоростью $\upsilon=2$ м/с. Известно, что после упругого удара о стенку шарик возвращается в ту же точку, из которой его бросили. Через какое время после броска произошло столкновение шарика со стенкой?

Рисунок к задаче

Решение. Если бы стенка была бы неподвижной, то при упругом ударе о нее угол падения был бы равен углу отражения, и траектория шарика после удара была бы такой, что представляла бы собой отражение траектории шарика, летящего без стенки. Но, так как стенка движется, то удобнее перейти в СО стенки. В этой СО скорость мячика относительно стенки равна

$\upsilon_{m_{st}}=\upsilon_0\cos \alpha +\upsilon$

При отскоке от стенки мячик меняет направление движения, а модуль скорости сохраняется. Нам же нужна скорость мячика относительно земли, и она будет такой:

$\upsilon_{m_z}=\upsilon_0\cos \alpha +\upsilon+\upsilon=\upsilon_0\cos \alpha +2\upsilon$

Пусть время от броска до удара мячика о стенку $t_1$ . При ударе $\upsilon_y$ не меняется, поэтому время $t_2$ – время от удара до попадания в точку броска – такое же, каким оно было бы без стенки. То есть, если бы стенки не было, мячик пробыл бы в полете время $t_1+t_2$ . Тогда можно записать уравнение:

$t_1+t_2=\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha}{g}$

С другой стороны, расстояния от броска до стенки и обратно – одинаковы, поэтому можно записать

$\upsilon_0 \cos \alpha\cdot t_1=(\upsilon_0\cos \alpha +2\upsilon)t_2$

Имеем два уравнения и два неизвестных.

$t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha }{g}-t_2$

$\upsilon_0 \cos \alpha\cdot\left(\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha }{g}-t_2\right)= \upsilon_0 \cos \alpha \cdot t_2 +2\upsilon t_2$

$\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}-\upsilon_0 \cos \alpha\cdot t_2=\upsilon_0 \cos \alpha \cdot t_2 +2\upsilon t_2$

$\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{g}=t_2\left(2\upsilon_0 \cos \alpha+2\upsilon\right)$

$t_2=\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha }{2g(\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon )}$

$t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha}{g}-\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha }{2g(\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon )}$

$t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin \alpha \cdot 2(\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon )- \upsilon_0^2\sin 2\alpha }{2g(\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon )}$

$t_1=\frac{\upsilon_0}{2g}\cdot \frac{\upsilon_0\sin 2\alpha +4\upsilon \sin\alpha}{\upsilon_0 \cos \alpha+\upsilon }=\frac{10(10\sin 120^{\circ}+8\sin 60^{\circ})}{20(10\cos 60^{\circ}+2)}=\frac{50\sqrt{3}+40\sqrt{3}}{140}=\frac{9\sqrt{3}}{14}$

Можно также получить соотношение между скоростями шарика и стенки (скорость шарика относительно стенки и скорость относительно земли), воспользовавшись законом сохранения энергии. Давайте посмотрим, как это сделать (для тех, кто не очень любит переходы из одной в другую системы отсчета).

Записываем закон сохранения импульса для шарика и стенки, масса шарика $m$ , стенки – $M$ .