Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематика, Олимпиадная физика

Шайба в треугольнике

Задача с интересной идеей отражения.

Задача.  По гладкой горизонтальной поверхности скользит маленькая круглая шайба, не покидая треугольника, ограниченного неподвижными гладкими стенками. Удары шайбы о стенку абсолютно упругие, при попадании в угол шайба останавливается. В начальный момент времени шайба находится в точке A посередине стороны треугольника и имеет скорость, направленную под углом \alpha к этой стороне (0<\alpha<\frac{\pi}{2}).Найдите все значения \alpha, при которых шайба попадет в угол B, совершив не более шести столкновений со стенками.

Рисунок к задаче

Решение. Если удар абсолютно упругий, то угол падения равен углу отражения. Поэтому можно нарисовать для первого удара:

Первый удар

Более удобным будет отразить сам треугольник относительно той стороны, о которую ударилась шайба. Вот что получится:

Второй удар

Далее снова отразим треугольник, чтобы спрямить ход луча:

Третий удар

И так можно делать последовательно, следя за тем, где окажется отражение вершины B – ведь нам надо попасть именно в нее. При данном ходе луча, изображенном  меня, попасть в вершину после 6 столкновений не удастся. Однако, если провести луч иначе (показано красным цветом), то мы как раз попадем в угол B, соблюдя все условия задачи:

Четвертый удар

Шестой удар

В угол не попали

 

Попадание в угол

Можно попробовать нарисовать еще один рисунок, пустив шайбу под большим углом, чем на первых. Но лучше сначала нарисовать сетку из треугольников, определиться с отражениями точки B, а потом проводить прямые, подсчитывая столкновения и определяя, сможем ли мы попасть в данную точку:

Попадание в угол при пуске шайбы под другими углами

Обратите внимание, красный ход луча – не реализуется, потому что шайба, идя по этому маршруту, попадет в угол и остановится раньше, чем достигнет точки B.

И, наконец, определяем углы. Сначала рассчитаем угол с рисунка … в треугольнике AOB'. Если принять стороны треугольников равными 2 (для удобства, можем выбрать любые), то высота такого правильного треугольника равна

    \[h=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\]

А тангенс угла \angle B'AO будет равен

    \[\operatorname{tg} B'AO=\frac{h}{6\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\]

Теперь определим тангенсы углов для рисунка …. , синий луч:

    \[\operatorname{tg} B'''AO=\frac{4h}{3\frac{a}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

И для оранжевого луча:

    \[\operatorname{tg} B'AO=\frac{2h}{3\frac{a}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: \alpha=\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{6}, \alpha=\operatorname{arctg}\frac{4\sqrt{3}}{3}, \alpha=\operatorname{arctg}\frac{2\sqrt{3}}{3}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *