Шайба в треугольнике

[latexpage]

Задача с интересной идеей отражения.

Задача.  По гладкой горизонтальной поверхности скользит маленькая круглая шайба, не покидая треугольника, ограниченного неподвижными гладкими стенками. Удары шайбы о стенку абсолютно упругие, при попадании в угол шайба останавливается. В начальный момент времени шайба находится в точке $A$ посередине стороны треугольника и имеет скорость, направленную под углом $\alpha$ к этой стороне ($0<\alpha<\frac{\pi}{2}$).Найдите все значения $\alpha$, при которых шайба попадет в угол $B$, совершив не более шести столкновений со стенками.

Рисунок к задаче

Решение. Если удар абсолютно упругий, то угол падения равен углу отражения. Поэтому можно нарисовать для первого удара:

Первый удар

Более удобным будет отразить сам треугольник относительно той стороны, о которую ударилась шайба. Вот что получится:

Второй удар

Далее снова отразим треугольник, чтобы спрямить ход луча:

Третий удар

И так можно делать последовательно, следя за тем, где окажется отражение вершины $B$ – ведь нам надо попасть именно в нее. При данном ходе луча, изображенном  меня, попасть в вершину после 6 столкновений не удастся. Однако, если провести луч иначе (показано красным цветом), то мы как раз попадем в угол $B$, соблюдя все условия задачи:

Четвертый удар

Шестой удар

В угол не попали

Попадание в угол

Можно попробовать нарисовать еще один рисунок, пустив шайбу под большим углом, чем на первых. Но лучше сначала нарисовать сетку из треугольников, определиться с отражениями точки $B$, а потом проводить прямые, подсчитывая столкновения и определяя, сможем ли мы попасть в данную точку:

Попадание в угол при пуске шайбы под другими углами

Обратите внимание, красный ход луча – не реализуется, потому что шайба, идя по этому маршруту, попадет в угол и остановится раньше, чем достигнет точки $B$.

И, наконец, определяем углы. Сначала рассчитаем угол с рисунка … в треугольнике $AOB’$. Если принять стороны треугольников равными 2 (для удобства, можем выбрать любые), то высота такого правильного треугольника равна

$$h=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$

А тангенс угла $\angle B’AO$ будет равен

$$\operatorname{tg} B’AO=\frac{h}{6\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Теперь определим тангенсы углов для рисунка …. , синий луч:

$$\operatorname{tg} B’’’AO=\frac{4h}{3\frac{a}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

И для оранжевого луча:

$$\operatorname{tg} B’AO=\frac{2h}{3\frac{a}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $\alpha=\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{6}$, $\alpha=\operatorname{arctg}\frac{4\sqrt{3}}{3}$, $\alpha=\operatorname{arctg}\frac{2\sqrt{3}}{3}$.