Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Шайба и горки

Две задачи похожие и в то же время разные про шайбу и  горки на тему закона сохранения импульса предлагаю я сегодня вашему вниманию. У нас, репетиторов «вижу задачу – теряю волю, бросаюсь решать» – это обычная «болезнь».

Задача 1. На гладком горизонтальном столе лежат две гладкие одинаковые горки массой M, причем одна из них закреплена. С незакрепленной горки, с высоты H скатывается маленькая шайба массой m. На какую максимальную высоту h заедет шайба на закрепленную горку?

Рисунок 1

У шайбы, находящейся вначале на высоте H, есть потенциальная энергия. Съезжая, шайба толкнет горку. Таким образом, горка приобретет кинетическую энергию, а шайба поднимется на высоту h на закрепленную горку – то есть у нее в конце есть потенциальная энергия, обусловленная этой высотой. Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Пусть \upsilon – скорость шайбы внизу горки, u – скорость горки.

    \[\begin{Bmatrix}{ m\upsilon =Mu}\\{ mgH=\frac{m \upsilon^2}{2}+\frac{Mu^2}{2}}\end{matrix}\]

Выражаем u из первого уравнения:

    \[u=\frac{ m\upsilon }{M}\]

И подставим во второе

    \[mgH=\frac{m \upsilon^2}{2}+\frac{M}{2}\cdot\frac{m^2\upsilon^2}{M^2}\]

    \[mgH=\frac{m \upsilon^2}{2}+\frac{m^2\upsilon^2}{2M}\]

    \[2gH= \upsilon^2+\frac{m\upsilon^2}{M}\]

    \[2gH= \upsilon^2\cdot\frac{m+M}{M}\]

По закону сохранения энергии для шайбы вверху и у подножия горки

    \[mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

    \[\upsilon^2=2gh\]

Поэтому

    \[\upsilon^2= \frac{2gHM}{M+m}\]

    \[2gh= \frac{2gHM}{M+m}\]

Ответ: h=\frac{HM}{M+m}

 

Задача 2. На гладком горизонтальном столе лежат две гладкие одинаковые горки массой M, причем одна из них закреплена. С закрепленной горки, с высоты H скатывается маленькая шайба массой m. На какую максимальную высоту h заедет шайба на незакрепленную горку?

Рисунок 2

У шайбы, находящейся вначале на высоте H, есть потенциальная энергия. Съехав, шайба толкнет незакрепленную горку, на которую заезжает. Таким образом, горка приобретет кинетическую энергию, а шайба поднимется на высоту h – то есть у нее в конце есть и кинетическая (за счет движения вместе с горкой), и потенциальная энергия, обусловленная этой высотой. Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Пусть \upsilon – скорость шайбы внизу горки, u – скорость горки.

    \[\begin{Bmatrix}{ m\upsilon =(M+m)u}\\{ mgH=mgh+\frac{Mu^2}{2}+\frac{mu^2}{2}}\end{matrix}\]

Выражаем u из первого уравнения:

    \[u=\frac{ m\upsilon }{M+m}\]

И подставим во второе

    \[mgH=mgh+\frac{M+m}{2}\cdot\frac{m^2\upsilon^2}{(M+m)^2}\]

    \[mgH=mgh+\frac{m^2\upsilon^2}{2(M+m)}\]

    \[h= H-\frac{m\upsilon^2}{2(M+m)g}\]

По закону сохранения энергии для шайбы вверху и у подножия горки

    \[mgH=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

    \[\upsilon^2=2gH\]

Поэтому

    \[h= H-\frac{mH}{M+m}\]

Ответ: h= H-\frac{mH}{M+m}.

 

Комментариев - 2

  • Иван
    |

    В первой задаче получается, что при равенстве масс шайбы и клина у нас шайба не поднимется на второй клин совсем. Если масса шайбы будет больше массы клина, то высота подъёма шайбы отрицательна.
    Мне кажется следует записать
    MgH = M (u^2)/2 + m (v^2)/2
    m (v^2)/2 = mgh, тогда не будет проблем со знаком

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, Вы правы, спасибо.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *