Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика

Сертификация по физике – 4

Задачи представляют собой вариант экзамена по физике для репетиторов, предлагаемый порталом “Профи.ру”.

Задача 1. В далекой-далекой галактике на планете Бендомир горизонтальная поверхность разделена на две части: гладкую и шероховатую. На границе этих частей находится имперский штурмовик массой M=0,16 т. Со стороны гладкой части на него налетает робот ВВ-8 массой m=2,21\cdot10^4 г (потому что на гладкой поверхности он не может повернуть),  движущийся со скоростью 5,5\cdot10^6 мкм/с, и сбивает его с ног. Найдите, на каком расстоянии от места удара остановился имперский штурмовик после абсолютно упругого центрального соударения с ВВ-8, если коэффициент трения штурмовика о поверхность 0,0583, а ускорение свободного падения на этой планете 4,79 м/с^2. Энергию вращения ВВ-8 не учитывайте, размерами робота и штурмовика пренебрегите. Выразите искомую величину в единицах «дм» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Так как удар упругий, то BB-8 отлетит назад с той же скоростью, но отсчитываться эта скорость будет относительно штурмовика. Поэтому, если \upsilon_2 – скорость штурмовика, а \upsilon_1=\upsilon – скорость ВВ-8 после удара, то

    \[\vec{\upsilon}-\vec{\upsilon_2}=-\vec{\upsilon_1}\]

    \[\upsilon=\upsilon_2+\upsilon_1\]

По закону сохранения импульса

    \[m\upsilon=M\upsilon_2-m\upsilon_1\]

    \[m\upsilon=M\upsilon_2-m(\upsilon-\upsilon_2)\]

    \[2m\upsilon=(M+m)\upsilon_2\]

Тогда

    \[\upsilon_2=\frac{2m\upsilon }{ M+m }\]

Кинетическая энергия штурмовика перейдет в работу силы трения:

    \[E_k=\frac{M\upsilon_2^2}{2}=\mu M g S\]

Путь равен:

    \[S=\frac{\upsilon_2^2}{2\mu g }=\frac{2m^2\upsilon^2}{(M+m)^2\mu g}=\frac{2\cdot22,1^2\cdot5,5^2}{(160+22,1)^2\cdot0,0583\cdot4,79}=3,2\]

Ответ: 32 дм.

Задача 2. Два шарика расположены на расстоянии 5,61\cdot10^{16} мм друг от друга, имеют одинаковые отрицательные заряды и число избыточных электронов на каждом шарике равно 6,58\cdot10^{16}. Рассчитайте, с какой силой взаимодействуют шарики. Выразите искомую величину в единицах «МН» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Сила Кулона равна

    \[F=\frac{kq^2}{r^2}\]

Заряды шариков

    \[q=ne\]

То есть

    \[F=\frac{k n^2\cdot e^2}{r^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 6,58^2\cdot 10^{32}\cdot 1,6^2\cdot10^{-38}}{5,61^2\cdot 10^{26}}=31,7\cdot 10^{-23}\]

С округлением имеем: F=3,2\cdot 10^{-28} МН.

 

Задача 3. Влажный газ объемом 3,09\cdot10^7 см^3 при температуре 254 К, относительной влажности 84% и давлении 3,06\cdot10^4 Па имеет массу 0,163 ц. Чему равна молярная масса газа, если давление насыщенного пара равно 1,13\cdot10^4 кг / м \cdotc^2? Молярную массу жидкости примите равной 83,9 г/моль. Выразите искомую величину в единицах «кг/моль» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Давление влажного газа складывается из давления пара и давления сухого газа:

    \[p_{vl}=p_{suh}+p_{para}\]

Давление пара известно:

    \[p_{para}=0,84p_n\]

    \[p_{suh}= p_{vl}-0,84p_n\]

Масса пара может быть определена с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона:

    \[p_{para} V=\frac{m_{para}}{M_{para}}RT\]

    \[m_{para}=\frac{ p_{para} VM_{para} }{RT}=\frac{ 0,84p_n VM_{para} }{RT}=\frac{ 0,84\cdot 1,13\cdot10^4\cdot30,9\cdot 83,9\cdot10^{-3} }{8,31\cdot254}=11,659\]

Тогда масса сухого газа

    \[m_g=m- m_{para}=16,3-11,66=4,64\]

Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона уже для газа:

    \[p_{suh}V=\frac{m_g}{M_g}RT\]

Откуда

    \[M_g=\frac{m_gRT}{p_{suh}V}=\frac{m_gRT}{( p_{vl}-0,84p_n)V}=\frac{4,64\cdot8,31\cdot254}{( 3,06\cdot10^4-0,84\cdot 1,13\cdot10^4)30,9}=0,015\]

Ответ: M_g=1,5\cdot10^{-2} кг/моль.

Задача 4. Шкала измерительного прибора содержит 114 делений, цена которых m=5,37\cdot10^8 нВ, а его сопротивление R=8,49\cdot10^{-8} ГОм. К нему последовательно подключили резистор сопротивлением r=3,27\cdot10^{10} мкОм. Чему равно максимальное напряжение, которое можно при этом измерить? Выразите искомую величину в единицах «мкВ» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Максимальное напряжение, которое может измерить вольтметр без резистора, равно

    \[U_m=n\cdot m=114\cdot0,537=61,218\]

А с резистором

    \[\frac{U_m}{U}=\frac{R}{R+r}\]

    \[U=\frac{U_m(R+r)}{R}=61,218\cdot\frac{84,9+32700}{84,9}=23640\]

Ответ: U=2,4\cdot10^{10} мкВ.

Задача 5. На катод фотоэлемента падает электромагнитное излучение частотой 2,387\cdot10^{20} 1/c. Частота волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, 5,67\cdot10^{19} Гц. Вылетевшие из катода фотоэлектроны попадают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и начинают двигаться по окружности. Радиус этой окружности равен 1,21\cdot10^{-4} км. Чему равна индукция магнитного поля? Релятивистские эффекты не учитывать. Выразите искомую величину в единицах «Тл» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Из уравнения фотоэффекта можно найти кинетическую энергию электронов:

    \[E_k=h\nu-h\nu_0\]

Уравнение равновесия сил

    \[m_e a_n=B e \upsilon\]

    \[B=\frac{ m_e a_n }{ \upsilon e }=\frac{m_e\upsilon^2}{R\upsilon e }=\frac{m_e\upsilon}{R e }=\frac{\sqrt{2E_k m_e}}{R e}=\frac{\sqrt{2 m_e h(\nu-\nu_0)}}{R e}=\frac{\sqrt{2\cdot9,1\cdot10^{-31}\cdot6,62\cdot10^{-34}(2,387\cdot10^{20}-5,67\cdot10^{19})}}{0,121\cdot1,6\cdot10^{-19}}=0,024\]

Ответ: B=0,024 Тл.

Задача 6. В далекой-далекой галактике на планете Ботавуи корабль повстанцев встретился с имперским крейсером. Осторожный командир повстанцев тут же развернул корабль и отступил с предельно возможной для него скоростью. Трусливый имперец позорно бежал с места встречи, разогнав корабль до скорости, которая составляет 0,525 от скорости света  в вакууме. Разумеется, каждый потом приписал победу себе, заявив, что он стоял насмерть, а противник сбежал с поля боя. Чему равна доля от скорости света, которую составляет скорость корабля повстанцев, если опытные, но осторожные капитаны кораблей доложили начальству, что скорость (в долях от скорости света) бегства противника с поля боя равна 0,727? Округлите искомую величину до 2 значащих цифр.

Применяем формулу для расчета относительной скорости в случае, когда скорости близки к световой:

    \[\omega=\frac{u+\upsilon}{1+\frac{u\cdot \upsilon}{c^2}}\]

Где \omega=0,727c – относительная скорость, u=0,525c. Определим \upsilon:

    \[0,727c =\frac{0,525c +\upsilon}{1+\frac{0,525c \cdot \upsilon}{c^2}}\]

    \[0,727c+0,525\cdot0,727\upsilon=0,525c + \upsilon\]

    \[0,38\upsilon=0,202c\]

    \[\upsilon=0,3258c=0,33c\]

Ответ: 0,33

Задача 7. Изменение потенциальной энергии тела при перемещении его в поле равномерно возрастающей консервативной силы вдоль прямой силовой линии равно 2,97\cdot10^3 Н\cdot м. На какое расстояние переместилось тело, если вначале перемещения сила была равна 1,64\cdot10^{-6} МН, а в конце составила 912 Н? Выразите искомую величину в единицах «нм» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 3 значащих цифр.

К задаче 7

Площадь под графиком – это и есть изменение потенциальной энергии. Эта площадь равна (полусумма оснований на высоту):

    \[\Delta E_p=\frac{F_1+F_2}{2}(H_2-H_1)\]

    \[H_2-H_1=\frac{2\Delta E_p }{F_1+F_2}=\frac{2\cdot2,97\cdot10^3}{912+1,64}=6,5\]

Ответ: H_2-H_1=6,50\cdot10^9 нм.

Задача 8. Однородный цилиндр массой 4,56\cdot10^{12} нг, катящийся без скольжения со скоростью 38,2 м/с, ударяется о стенку и откатывается от  нее. Чему равна скорость, с которой катится тело после удара, если количество теплоты, выделившейся при ударе, равно 4,24\cdot10^{-6} ГДж? Выразите искомую величину в единицах «км/с» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 3 значащих цифр.

Цилиндр обладал как кинетической энергией поступательного, так и вращательного движений. Первая равна

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Вторая

    \[E_{\omega}=\frac{J\omega^2}{2}\]

Момент инерции однородного цилиндра

    \[J=\frac{mR^2}{2}\]

Угловая скорость, очевидно, равна

    \[\omega=\frac{\upsilon}{R}\]

Тогда

    \[E_{\omega}=\frac{mR^2}{2}\cdot\frac{\upsilon^2}{2R^2}=\frac{m\upsilon^2}{4}\]

Запишем закон сохранения энергии:

    \[E_k+ E_{\omega}=Q+ E_{k1}+E_{\omega1}\]

    \[E_{k1}+E_{\omega1}= E_k+ E_{\omega}-Q\]

Заметим, что, аналогично энергии вращения до удара,

    \[E_{\omega1}= \frac{m\upsilon_1^2}{4}\]

Следовательно

    \[\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_1^2}{4}=\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{m\upsilon^2}{4}-Q\]

    \[\frac{3m\upsilon_1^2}{4}=\frac{3m\upsilon^2}{4}-Q\]

    \[\upsilon_1=\sqrt{ \upsilon^2-\frac{4Q}{3m}}=\sqrt{ 38,2^2-\frac{4\cdot4240}{3\cdot4,56}}=14,81\]

Ответ: \upsilon_1=1,48\cdot10^{-2} км/с.

 

Комментариев - 4

  • Евгения
    |

    А почему в восьмой задаче у цилиндра нет кинетической энергии вращения?

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, это ошибка в решении. Исправлено. Спасибо!

      Ответить
  • Алексей
    |

    Почему в 3 задаче Вы ищите массу именно сухого газа? А не массу (усредненную) смеси с водяным паром?

    Ответить
    • Анна
      |

      В этой задаче необходимо иметь массу чистого газа, ведь нам надо определить его молярную массу. Зачем нам тогда смесь? Молярная масса жидкости, а значит, и ее пара, нам дана.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *