Сертификация по физике – 4

[latexpage]

Задачи представляют собой вариант экзамена по физике для репетиторов, предлагаемый порталом “Профи.ру”.

Задача 1. В далекой-далекой галактике на планете Бендомир горизонтальная поверхность разделена на две части: гладкую и шероховатую. На границе этих частей находится имперский штурмовик массой $M=0,16$ т. Со стороны гладкой части на него налетает робот ВВ-8 массой $m=2,21\cdot10^4$ г (потому что на гладкой поверхности он не может повернуть),  движущийся со скоростью $5,5\cdot10^6$ мкм/с, и сбивает его с ног. Найдите, на каком расстоянии от места удара остановился имперский штурмовик после абсолютно упругого центрального соударения с ВВ-8, если коэффициент трения штурмовика о поверхность 0,0583, а ускорение свободного падения на этой планете 4,79 м/с$^2$. Энергию вращения ВВ-8 не учитывайте, размерами робота и штурмовика пренебрегите. Выразите искомую величину в единицах «дм» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Так как удар упругий, то BB-8 отлетит назад с той же скоростью, но отсчитываться эта скорость будет относительно штурмовика. Поэтому, если $\upsilon_2$ – скорость штурмовика, а $\upsilon_1=\upsilon$ – скорость ВВ-8 после удара, то

$$\vec{\upsilon}-\vec{\upsilon_2}=-\vec{\upsilon_1}$$

$$\upsilon=\upsilon_2+\upsilon_1$$

По закону сохранения импульса

$$m\upsilon=M\upsilon_2-m\upsilon_1$$

$$ m\upsilon=M\upsilon_2-m(\upsilon-\upsilon_2)$$

$$ 2m\upsilon=(M+m)\upsilon_2$$

Тогда

$$\upsilon_2=\frac{2m\upsilon }{ M+m }$$

Кинетическая энергия штурмовика перейдет в работу силы трения:

$$E_k=\frac{M\upsilon_2^2}{2}=\mu M g S$$

Путь равен:

$$S=\frac{\upsilon_2^2}{2\mu g }=\frac{2m^2\upsilon^2}{(M+m)^2\mu g}=\frac{2\cdot22,1^2\cdot5,5^2}{(160+22,1)^2\cdot0,0583\cdot4,79}=3,2$$

Ответ: 32 дм.

Задача 2. Два шарика расположены на расстоянии $5,61\cdot10^{16}$ мм друг от друга, имеют одинаковые отрицательные заряды и число избыточных электронов на каждом шарике равно $6,58\cdot10^{16}$. Рассчитайте, с какой силой взаимодействуют шарики. Выразите искомую величину в единицах «МН» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Сила Кулона равна

$$F=\frac{kq^2}{r^2}$$

Заряды шариков

$$q=ne$$

То есть

$$F=\frac{k n^2\cdot e^2}{r^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 6,58^2\cdot 10^{32}\cdot 1,6^2\cdot10^{-38}}{5,61^2\cdot 10^{26}}=31,7\cdot 10^{-23}$$

С округлением имеем: $F=3,2\cdot 10^{-28}$ МН.

Задача 3. Влажный газ объемом $3,09\cdot10^7$ см$^3$ при температуре 254 К, относительной влажности 84% и давлении $3,06\cdot10^4$ Па имеет массу 0,163 ц. Чему равна молярная масса газа, если давление насыщенного пара равно $1,13\cdot10^4$ кг / м $\cdot$c$^2$? Молярную массу жидкости примите равной 83,9 г/моль. Выразите искомую величину в единицах «кг/моль» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Давление влажного газа складывается из давления пара и давления сухого газа:

$$p_{vl}=p_{suh}+p_{para}$$

Давление пара известно:

$$ p_{para}=0,84p_n$$

$$ p_{suh}= p_{vl}-0,84p_n$$

Масса пара может быть определена с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона:

$$ p_{para} V=\frac{m_{para}}{M_{para}}RT$$

$$ m_{para}=\frac{ p_{para} VM_{para} }{RT}=\frac{ 0,84p_n VM_{para} }{RT}=\frac{ 0,84\cdot 1,13\cdot10^4\cdot30,9\cdot 83,9\cdot10^{-3} }{8,31\cdot254}=11,659$$

Тогда масса сухого газа

$$m_g=m- m_{para}=16,3-11,66=4,64$$

Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона уже для газа:

$$ p_{suh}V=\frac{m_g}{M_g}RT$$

Откуда

$$M_g=\frac{m_gRT}{p_{suh}V}=\frac{m_gRT}{( p_{vl}-0,84p_n)V}=\frac{4,64\cdot8,31\cdot254}{( 3,06\cdot10^4-0,84\cdot 1,13\cdot10^4)30,9}=0,015$$

Ответ: $M_g=1,5\cdot10^{-2}$ кг/моль.

Задача 4. Шкала измерительного прибора содержит 114 делений, цена которых $m=5,37\cdot10^8$ нВ, а его сопротивление $R=8,49\cdot10^{-8}$ ГОм. К нему последовательно подключили резистор сопротивлением $r=3,27\cdot10^{10}$ мкОм. Чему равно максимальное напряжение, которое можно при этом измерить? Выразите искомую величину в единицах «мкВ» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Максимальное напряжение, которое может измерить вольтметр без резистора, равно

$$U_m=n\cdot m=114\cdot0,537=61,218$$

А с резистором

$$\frac{U_m}{U}=\frac{R}{R+r}$$

$$U=\frac{U_m(R+r)}{R}=61,218\cdot\frac{84,9+32700}{84,9}=23640$$

Ответ: $ U=2,4\cdot10^{10}$ мкВ.

Задача 5. На катод фотоэлемента падает электромагнитное излучение частотой $2,387\cdot10^{20}$ 1/c. Частота волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, $5,67\cdot10^{19}$ Гц. Вылетевшие из катода фотоэлектроны попадают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и начинают двигаться по окружности. Радиус этой окружности равен $1,21\cdot10^{-4}$ км. Чему равна индукция магнитного поля? Релятивистские эффекты не учитывать. Выразите искомую величину в единицах «Тл» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 2 значащих цифр.

Из уравнения фотоэффекта можно найти кинетическую энергию электронов:

$$E_k=h\nu-h\nu_0$$

Уравнение равновесия сил

$$m_e a_n=B e \upsilon$$

$$B=\frac{ m_e a_n }{ \upsilon e }=\frac{m_e\upsilon^2}{R\upsilon e }=\frac{m_e\upsilon}{R e }=\frac{\sqrt{2E_k m_e}}{R e}=\frac{\sqrt{2 m_e h(\nu-\nu_0)}}{R e}=\frac{\sqrt{2\cdot9,1\cdot10^{-31}\cdot6,62\cdot10^{-34}(2,387\cdot10^{20}-5,67\cdot10^{19})}}{0,121\cdot1,6\cdot10^{-19}}=0,024$$

Ответ: $B=0,024$ Тл.

Задача 6. В далекой-далекой галактике на планете Ботавуи корабль повстанцев встретился с имперским крейсером. Осторожный командир повстанцев тут же развернул корабль и отступил с предельно возможной для него скоростью. Трусливый имперец позорно бежал с места встречи, разогнав корабль до скорости, которая составляет $0,525$ от скорости света  в вакууме. Разумеется, каждый потом приписал победу себе, заявив, что он стоял насмерть, а противник сбежал с поля боя. Чему равна доля от скорости света, которую составляет скорость корабля повстанцев, если опытные, но осторожные капитаны кораблей доложили начальству, что скорость (в долях от скорости света) бегства противника с поля боя равна 0,727? Округлите искомую величину до 2 значащих цифр.

Применяем формулу для расчета относительной скорости в случае, когда скорости близки к световой:

$$\omega=\frac{u+\upsilon}{1+\frac{u\cdot \upsilon}{c^2}}$$

Где $\omega=0,727c$ – относительная скорость, $u=0,525c$. Определим $\upsilon$:

$$0,727c =\frac{0,525c +\upsilon}{1+\frac{0,525c \cdot \upsilon}{c^2}}$$

$$0,727c+0,525\cdot0,727\upsilon=0,525c + \upsilon$$

$$0,38\upsilon=0,202c$$

$$\upsilon=0,3258c=0,33c$$

Ответ: 0,33

Задача 7. Изменение потенциальной энергии тела при перемещении его в поле равномерно возрастающей консервативной силы вдоль прямой силовой линии равно $2,97\cdot10^3$ Н$\cdot$ м. На какое расстояние переместилось тело, если вначале перемещения сила была равна $1,64\cdot10^{-6}$ МН, а в конце составила 912 Н? Выразите искомую величину в единицах «нм» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 3 значащих цифр.

К задаче 7

Площадь под графиком – это и есть изменение потенциальной энергии. Эта площадь равна (полусумма оснований на высоту):

$$\Delta E_p=\frac{F_1+F_2}{2}(H_2-H_1)$$

$$ H_2-H_1=\frac{2\Delta E_p }{F_1+F_2}=\frac{2\cdot2,97\cdot10^3}{912+1,64}=6,5$$

Ответ: $ H_2-H_1=6,50\cdot10^9$ нм.

Задача 8. Однородный цилиндр массой $4,56\cdot10^{12}$ нг, катящийся без скольжения со скоростью 38,2 м/с, ударяется о стенку и откатывается от  нее. Чему равна скорость, с которой катится тело после удара, если количество теплоты, выделившейся при ударе, равно $4,24\cdot10^{-6}$ ГДж? Выразите искомую величину в единицах «км/с» и укажите в качестве ответа ее численное значение, округленное до 3 значащих цифр.

Цилиндр обладал как кинетической энергией поступательного, так и вращательного движений. Первая равна

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Вторая

$$E_{\omega}=\frac{J\omega^2}{2}$$

Момент инерции однородного цилиндра

$$J=\frac{mR^2}{2}$$

Угловая скорость, очевидно, равна

$$\omega=\frac{\upsilon}{R}$$

Тогда

$$E_{\omega}=\frac{mR^2}{2}\cdot\frac{\upsilon^2}{2R^2}=\frac{m\upsilon^2}{4}$$

Запишем закон сохранения энергии:

$$E_k+ E_{\omega}=Q+ E_{k1}+E_{\omega1}$$

$$ E_{k1}+E_{\omega1}= E_k+ E_{\omega}-Q$$

Заметим, что, аналогично энергии вращения до удара,

$$E_{\omega1}= \frac{m\upsilon_1^2}{4}$$

Следовательно

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_1^2}{4}=\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{m\upsilon^2}{4}-Q$$

$$\frac{3m\upsilon_1^2}{4}=\frac{3m\upsilon^2}{4}-Q$$

$$\upsilon_1=\sqrt{ \upsilon^2-\frac{4Q}{3m}}=\sqrt{ 38,2^2-\frac{4\cdot4240}{3\cdot4,56}}=14,81$$

Ответ: $\upsilon_1=1,48\cdot10^{-2}$ км/с.