Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Физика

Сертификация по физике – 1

Задачи, предлагавшиеся на сертификационном испытании портала “Профи.ру” для репетиторов. Данные задачи попались мне в первой попытке сдать этот экзамен.

Задача 1. В далёкой-далёкой галактике на планете  Орто  Плутония  насос  выбрасывает  струю  жидкости плотностью  \rho=1,01 г/см^3  диаметром   0,031 м  со скоростью  2,39\cdot 10^6 мкм/с.  Чему равна необходимая для этого мощность?

Выразите искомую величину в единицах «нВт» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Найдем расход воды, \frac{m}{t}:

    \[\frac{m}{t}=\frac{\rho V}{t}=\frac{\rho l S}{t}\]

Но отношение \frac{l}{t} – скорость потока воды. Поэтому

    \[\frac{m}{t}=\rho \upsilon  S\]

Площадь сечения струи равна

    \[S=\frac{\pi d^2}{4}\]

Тогда расход

    \[\frac{m}{t}= \frac{\pi d^2\rho \upsilon }{4}\]

Кинетическая энергия единицы массы воды равна

    \[E_k=\frac{m \upsilon^2}{2}\]

Насос совершает работу, чтобы придать струе (единицам массы воды) такую скорость, поэтому кинетическая энергия – это работа насоса: E_k=A.

Ну а мощность – это скорость выполнения им работы:

    \[P=\frac{A}{t}=\frac{m \upsilon^2}{2t}\]

Подставим найденный расход. Понятно, что все единицы нужно переводить в систему СИ:

    \[P=\frac{ \upsilon^2}{2}\cdot \frac{m}{t}=\frac{ \upsilon^2}{2}\cdot \frac{\pi d^2\rho \upsilon }{4}=\frac{\pi \upsilon^3 d^2\rho }{8}=\frac{3,14 \cdot (2,39\cdot 10^6\cdot10^{-6})^3 \cdot 0,031^2 \cdot 1010}{8}=5,2\]

Так как ответ просят в нановаттах, то

Ответ: P=5,2\cdot10^9 нВт.

Задача 2. Имеется два водных раствора соли. Для получения смеси, содержащей 10 граммов соли и 90 граммов воды, берут первого раствора в 2 раза больше по весу, чем второго. Через неделю из каждого килограмма первого и второго растворов испарилось по 150 граммов воды, и для получения такой же смеси, как и раньше, требуется первого раствора уже в 4 раза больше по весу, чем второго. Сколько граммов соли содержалось первоначально в 100 граммах каждого раствора?

Ответ запишите в виде пары ( y;x), гдеy — количество граммов соли в 100 граммах первого раствора, x — количество граммов соли в 100 граммах второго раствора. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Задача больше математическая. Слова «по весу» очевидно, можно заменить на слова «по массе». Составим таблицу по первому условию.

Таблица для первого условия.

Масса, кгПроцентное содержание соли, %Массовое содержание соли, кг
1 раствор2my 2m*y/100
2 растворmx m*x/100
Смесь3m102m*y/100+m*x/100

Запишем процентное содержание соли, во-первых, по данным первых двух столбцов последней строки, во-вторых, по данным последнего столбца и приравняем.

    \[3m\cdot0,1=0,02 my+0,01 mx\]

Умножим но 100 для удобства, и сократим m:

    \[30=2y+x\]

Теперь составим таблицу для второго условия, когда вода частично испарилась. Очевидно, что, раз воды стало меньше, то концентрация растворов увеличилась. Так как воды стало вместо 100 г – 85, то прежняя соль приходится теперь на 85 г и процентное содержание стало \frac{y}{0,85} и \frac{x}{0,85}.

Таблица для второго условия.

Масса, кгПроцентное содержание соли, %Массовое содержание соли, кг
1 раствор4my/0,854m*y/85
2 растворmx /0,85m*x/85
Смесь5m104m*y/85+m*x/85

Опять по последней строке составляем уравнение:

    \[5m\cdot0,1=\frac{4 my}{85}+\frac{mx}{85}\]

Умножим на 85 для удобства, и сократим m:

    \[42,5=4y+x\]

Имеем систему, давайте ее решим.

    \[\begin{Bmatrix}{ 30=2y+x }\\{ 42,5=4y+x }\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ y=6,25 }\\{x=17,50 }\end{matrix}\]

Ответ: (6,25; 17,50)

 

Задача 3. В далёкой-далёкой галактике на планете Нал-Хатта демонстрационная установка состоит из наклонной плоскости, плавно переходящей в «мёртвую» петлю радиусом 1,38 м. Установка закреплена на тележке, стоящей на горизонтальной плоскости. Груз массой 3,39\cdot 10^{−3} ц съезжает с наклонной плоскости с высоты 678 см, отсчитанной от нижней точки петли. Чему равно ускорение свободного падения на этой планете, если нормальная сила реакции в верхней точке петли равна 38,9 Н, a масса установки вместе с тележкой составляет 8,35\cdot10^3 г? Трением можно пренебречь.

К задаче 3

Выразите искомую величину в единицах «см/с^2» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Понятно, что все единицы нужно переводить в систему СИ. Тогда

R=1,38 м, m=0,339 кг – масса груза, M=8,35 кг – масса установки, h=6,78 м.

Здесь потребуется использование законов сохранения импульса и энергии. Вначале груз обладал потенциальной энергией, равной

    \[E_p=mgh\]

Импульс всей системы  до начала движения 0, а потом и груз, и тележка приобретут скорости:

    \[0=m\upsilon_1-M\upsilon_2\]

Откуда

    \[\upsilon_2=\frac{ m\upsilon_1}{M}\]

То есть и у тележки, и у груза есть кинетическая энергия на тот момент, когда груз оказывается в верхней точке петли. Но у груза будет к этому моменту и потенциальная энергия:

    \[mgh=\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{M\upsilon_2^2}{2}+mg\cdot 2R\]

Подставляем скорость тележки:

    \[mgh=\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m^2\upsilon_1^2}{2M}+mg\cdot 2R\]

Сокращаем на m:

    \[gh=\frac{\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_1^2}{2M}+g\cdot 2R\]

Определяем скорость грузика относительно планеты Нал-Хатта:

    \[\upsilon_1^2=\frac{2gM(h-2R)}{m+M}\]

    \[\upsilon_1=\sqrt{\frac{2gM(h-2R)}{m+M}}\]

Относительно установки скорость грузика равна

    \[\upsilon=\upsilon_1+\upsilon_2=\upsilon_1(1+\frac{m}{M})\]

    \[\upsilon=\sqrt{2g(h-2R)( 1+\frac{m}{M})}\]

Теперь рассмотрим грузик в верхней точке петли. По горизонтальной оси ускорения нет, по вертикальной – есть, причем это ускорение одно и то же что относительно тележки, что относительно планеты, поэтому можно записать по второму закону Ньютона:

    \[ma_n=N+mg\]

    \[\frac{m\upsilon^2}{R}=N+mg\]

    \[N+mg=\frac{2mg(h-2R)( 1+\frac{m}{M})}{RM}\]

Выражаем g:

    \[g=\frac{NR}{2m(h-2R)( 1+\frac{m}{M})-mR}=\frac{38,9\cdot1,38}{2\cdot0,339(6,78-2\cdot1,38)( 1+\frac{0,339}{8,35})-0,339\cdot1,38}=5,56795\]

Ответ получен в м/с^2, тогда в см/с^2  это будет 556,795. Округлим до двух значащих: 5,6\cdot10^2 см/с^2.

Ответ: g=5,6\cdot10^2 см/с^2.

Задача 4. Однажды летним тёплым вечером Винни Пух вспоминал, как на прошлый день рождения друзья подарили ему воздушные шарики и он полетел за мёдом к пчёлам. «Интересно, до какого минимального объёма мне нужно будет надуть шарики на день рождения в этом году, чтобы я смог полакомиться мёдом?» — подумал медвежонок. Чему равен минимальный объём надутого шарика, если известно, что молярная масса воздуха равна 29 кг/кмоль, шарики изготовлены из материала с низкой теплопроводностью, на День Рождения Винни Пуха ему подарили 568 воздушных шариков, температура воздуха будет 1\cdot10^1^{\circ}C, атмосферное давление будет 1\cdot10^5 Дж/м^3, масса Винни Пуха 9,97\cdot 10^{-4} т , температура воздуха в надутом шарике 42^{\circ} C? Массой ненадутых шариков, объёмом Винни Пуха и силами упругости в оболочках надутых шариков можно пренебречь.

Выразите искомую величину в единицах «л» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Переведем все единицы в СИ: M=29 г/моль, или M=29\cdot10^{-3} кг/моль. p=10^5 Па, T_1=283 К – это температура окружающего воздуха, T_2=315 К – это температура воздуха в шарике. Шарик не остывает: оболочка с низкой теплопроводностью. m=0,997 кг – масса Пуха.

Запишем условие плавания:

    \[Mg=F_a\]

Здесь M – это суммарная масса Пуха и воздуха в шариках.

Тогда условие может быть переписано в виде:

    \[(m+m_v)g=\rho_v g V\]

Или, с учетом количества шариков,

    \[m+m_v=\rho_v N V_1\]

Где V_1 – искомый объем одного шарика.

    \[V_1=\frac{ m+m_v }{\rho_v N }\]

Масса воздуха в шариках равна

    \[m_v=Nm_1\]

Где m_1 – масса воздуха в одном шарике.

Для шарика запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

    \[pV_1=\frac{m_1}{M}RT_2\]

    \[m_1=\frac{ pV_1M}{RT_2}\]

А масса воздуха во всех шариках

    \[m_v=Nm_1=\frac{ pV_1MТ}{RT_2}\]

Осталось найти плотность воздуха. Для этого запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для наружного воздуха:

    \[pV_n=\frac{m_n}{M}RT_1\]

Плотность \rho_v=\frac{m_n}{V_n}=\frac{pM}{RT_1}.

Вернемся к искомому объему:

    \[V_1=\frac{ m }{\rho_v N }+\frac {m_v }{\rho_v N }=\frac{ m }{\rho_v N }+\frac {pV_1M }{RT_2\rho_v }\]

    \[V_1\left(1-\frac{pM}{RT_2\rho_v }\right)=\frac{m}{\rho_v N }\]

    \[V_1=\frac{m}{\rho_v N -\frac{pMN}{RT_2}}\]

Подставим плотность воздуха:

    \[V_1=\frac{mRT_1}{pMN(1-\frac{T_1}{T_2})}\]

    \[V_1=\frac{ 0,997\cdot 8,31 \cdot283}{10^5\cdot29\cdot10^{-3} \cdot568(1-\frac{283}{315})}=0,0142\]

Ответ получен в м^3, в литрах это 14,2. Так как надо округлить до двух значащих, то 14 л.

Ответ: 14 л.

Задача 5. Два упругих шарика подвешены на тонких нитях рядом так, что они находятся на одной высоте и касаются друг друга. Длины нитей равны 0,83 м и 6,69\cdot10^{14} фм, a массы шариков — соответственно 4,5\cdot 10^3 г и 2,05 кг. Меньший из шариков отклонили на угол 1,35 и отпустили. Определите, на какую высоту поднимется больший из шариков после абсолютно упругого центрального удара.

К задаче 5

Выразите искомую величину в единицах «м» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Переведем величины в более привычные:

l_1=0,83 м, l_2=0,669 м, m_1=4,5 кг, m_2=2,05 кг.

Угол, видимо, в радианах. В градусах это будет \alpha=77,4^{\circ}

Определим высоту, на которую подняли меньший из шариков:

    \[h_2=l_2-l_2\cos{\alpha}\]

Таким образом, ему сообщили потенциальную энергию. К моменту удара он обладал кинетической энергией, при ударе часть этой энергии передалась большему шарику. Но надо не забыть, что удар упругий, так что меньший из шариков отскочит – то есть у него тоже будет кинетическая энергия. Тогда по закону сохранения энергии

    \[\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon'_2^2}{2}\]

    \[m_2(\upsilon_2^2-\upsilon'_2^2)=m_1\upsilon_1^2~~~~~~~~~~~~(1)\]

По закону сохранения импульса:

    \[m_2\upsilon_2= m_1\upsilon_1- m_2\upsilon'_2\]

    \[m_2(\upsilon_2+\upsilon'_2)= m_1\upsilon_1~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Разделим (1) на (2):

    \[\frac{\upsilon_2^2-\upsilon'_2^2}{\upsilon_2+\upsilon'_2}=\upsilon_1\]

    \[\upsilon_2-\upsilon'_2=\upsilon_1\]

    \[\upsilon'_2=\upsilon_2-\upsilon_1\]

Подставим эту скорость в закон сохранения импульса:

    \[m_2\upsilon_2= m_1\upsilon_1- m_2(\upsilon_2-\upsilon_1)\]

    \[2m_2\upsilon_2= (m_1+m_2)\upsilon_1\]

    \[\upsilon_1=\frac{2m_2\upsilon_2}{ m_1+m_2}\]

Теперь, зная скорость первого шара, можем определить высоту подъема.

    \[h_1=\frac{\upsilon_1^2}{2g}=\frac{4m_2^2\upsilon_2^2}{2g(m_1+m_2)^2}=\frac{2m_2^2\upsilon_2^2}{g(m_1+m_2)^2}\]

Мы не определили скорость второго шара перед ударом! Давайте сделаем это сейчас:

    \[\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=m_2 g h_2\]

    \[\upsilon_2^2=2 g h_2\]

Подставляем:

    \[h_1=\frac{2m_2^2\cdot 2g h_2}{g(m_1+m_2)^2}=\frac{4m_2^2(l_2- l_2\cos{\alpha})}{ (m_1+m_2)^2}\]

    \[h_1=\frac{4\cdot2,05^2(0,669-0,669\cos{77,4^{\circ}})}{( 2,05+4,5)^2}=0,205\]

Ответ с округлением до двух значащих: h_1=0,21 м.

Задача 6. Аккумулятор с ЭДС 1,44\cdot10^4 мВ и внутренним сопротивлением 52,7 мОм заряжается от источника с ЭДС 4,52\cdot 10^{10} нВ и внутренним сопротивлением 6,27\cdot10^{-11} ГОм. Параллельно аккумулятору подключён резистор сопротивлением 4,61\cdot 10^{-8} ГОм. Чему равна сила тока в резисторе?

Выразите искомую величину в единицах «А» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 3 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Пересчитаем два источника в один. При этом схема станет одноконтурной и определить ток в резисторе станет очень легко. Для пересчета воспользуемся формулами:

    \[\frac{E}{r}=\frac{E_1}{r_1}+\frac{E_2}{r_2}\]

    \[\frac{1}{r}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\]

Переведем все в систему СИ:

E_1=14,4 В, E_2=45,2 В, r_1=0,0527 Ом, r_2=0,0627 Ом, R=46,1 Ом.

Тогда

    \[r=\frac{r_1r_2}{ r_1+r_2}=\frac{0,0527\cdot0,0627}{0,0527+0,0627}=0,0286\]

    \[E=\frac{E_1 r}{r_1}+\frac{E_2 r}{r_2}=\frac{14,4\cdot0,0286}{0,0527}+\frac{45,2\cdot0,0286}{0,0627}=28,466\]

Определяем ток в контуре с таким эквивалентным источником и резистором R:

    \[I=\frac{E}{R+r}=\frac{28,466}{46,1+0,0286}=0,617\]

Ответ: I=0, 617 А.

 

Задача 7. Сила тока в проводнике равномерно увеличилась от нуля до 0,0848 кА. Чему равна продолжительность этого процесса, если заряд, прошедший при этом через поперечное сечение проводника равен 4,16\cdot 10^9 мкКл?

К задаче 7

Выразите искомую величину в единицах «мс» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 3 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Так как интегралы мы применять не можем, то воспользуемся либо способом усреднения тока, либо графическим способом. При первом для расчета надо взять среднее значение тока: вначале он нулевой, в конце – 84,8 А. поэтому берем среднее арифметическое: 42,4 А.

    \[I=\frac{\Delta q}{\Delta t}\]

    \[\Delta t=\frac{\Delta q}{I}=\frac{4,16\cdot 10^9\cdot10^{-6}}{42,4}=98,1132\]

При решении графическим способом строим зависимость тока от времени и записываем заряд как площадь под графиком:

    \[q=\frac{I_mt}{2}\]

Откуда

    \[t=\frac{2q}{I_m}=\frac{2\cdot4,16\cdot 10^9\cdot10^{-6}}{84,8}=98,1132\]

Ответ: t=98113 мс, а с округлением до трех значащих t=981\cdot10^2 мс.

Задача 8. Возбуждающее ядро массой 4,1852\cdot10^{-28} т двигалось со скоростью 4,07\cdot10^4 см/с. Известно, что после испускания гамма-кванта оно остановилось. Чему равна частота этого гамма-кванта?

Выразите искомую величину в единицах «1/с» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Начнем с перевода единиц в СИ:

m_1=4,1852\cdot10^{-25} кг, \upsilon_1=407 м/с.

Ядро обладало импульсом, который, очевидно «перехватил» гамма-квант. Определим его массу из этого условия:

    \[m_2 c=m_1 \upsilon_1\]

    \[m_2=\frac{ m_1 \upsilon_1}{c}\]

С другой стороны, масса гамма-кванта равна

    \[m_2=\frac{h \nu}{c^2}\]

Приравняем эти два выражения:

    \[\frac{ m_1 \upsilon_1}{c}=\frac{h \nu}{c^2}\]

Или

    \[m_1 \upsilon_1=\frac{h \nu}{c}\]

Откуда

    \[\nu=\frac{m_1c^2}{h}=\frac{4,1852\cdot10^{-25}\cdot9\cdot10^{16}}{6,62\cdot10^{-34}}=77\cdot10^{18}\]

Ответ: \nu=77\cdot10^{18} Гц.

Задача 9. Один конец горизонтальной пружины прикреплён к вертикальной стене, а другой конец — к деревянному бруску массой 821 г, лежащему на гладком столе. В этот брусок попадает и застревает в нём пуля, летящая горизонтально со скоростью 2840,4 км/ч, направленной вдоль оси пружины. Чему равна масса пули, если максимальная величина сжатия пружины равна 2,68\cdot10^{11} пм, a коэффициент её жёсткости равен 6,22\cdot10^3 Н/м?

К задаче 9

Выразите искомую величину в единицах «ц» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 3 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

По закону сохранения импульса можно записать:

    \[m\upsilon_1=(M+m) \upsilon_2\]

Откуда

    \[\upsilon_2=\frac{ m\upsilon_1}{M+m}\]

Кинетическая энергия бруска с пулей переходит в потенциальную энергию сжатой пружины, следовательно,

    \[E_k=E_p\]

    \[\frac{(M+m)\upsilon_2^2}{2}=\frac{kx^2}{2}\]

    \[(M+m)\upsilon_2^2=kx^2\]

Подставляем скорость:

    \[(M+m)\cdot\frac{ m^2\upsilon_1^2}{(M+m)^2}=kx^2\]

    \[\frac{ m^2\upsilon_1^2}{M+m}=kx^2\]

    \[\upsilon_1^2 m^2-kx^2m-kx^2M=0\]

    \[m_{1,2}=\frac{kx^2 \pm \sqrt{k^2x^4+4kx^2M\upsilon_1^2}}{2\upsilon_1^2}\]

Пришло время переводить в систему СИ данные: M=0,821 кг, \upsilon=789 м/с, x=0,268 м, k=6220 Н/м.

    \[m_{1,2}=\frac{6220\cdot 0,268^2 \pm \sqrt{6220^2\cdot0,268^4+4\cdot6220\cdot0,268^2\cdot0,821\cdot789^2}}{2\cdot789^2}=0,024\]

Второй корень отрицателен.

Ответ: m=24 г.

Комментариев - 2

  • Галина Владимировна
    |

    Во второй задаче нет упомянутых автором таблиц!

    Ответить
  • Галина Владимировна
    |

    В условии 4-ой задачи дана очень странная масса Винни-Пуха! Я всегда думала, что это “чудо” полегче!

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *