Сертификация по физике – 1

[latexpage]

Задачи, предлагавшиеся на сертификационном испытании портала “Профи.ру” для репетиторов. Данные задачи попались мне в первой попытке сдать этот экзамен.

Задача 1. В далёкой-далёкой галактике на планете  Орто  Плутония  насос  выбрасывает  струю  жидкости плотностью  $\rho=1,01$ г/см$^3$  диаметром   0,031 м  со скоростью  $2,39\cdot 10^6$ мкм/с.  Чему равна необходимая для этого мощность?

Выразите искомую величину в единицах «нВт» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Найдем расход воды, $\frac{m}{t}$:

$$\frac{m}{t}=\frac{\rho V}{t}=\frac{\rho l S}{t}$$

Но отношение $\frac{l}{t}$ – скорость потока воды. Поэтому

$$\frac{m}{t}=\rho \upsilon  S$$

Площадь сечения струи равна

$$S=\frac{\pi d^2}{4}$$

Тогда расход

$$\frac{m}{t}= \frac{\pi d^2\rho \upsilon }{4}$$

Кинетическая энергия единицы массы воды равна

$$E_k=\frac{m \upsilon^2}{2}$$

Насос совершает работу, чтобы придать струе (единицам массы воды) такую скорость, поэтому кинетическая энергия – это работа насоса: $E_k=A$.

Ну а мощность – это скорость выполнения им работы:

$$P=\frac{A}{t}=\frac{m \upsilon^2}{2t}$$

Подставим найденный расход. Понятно, что все единицы нужно переводить в систему СИ:

$$P=\frac{ \upsilon^2}{2}\cdot \frac{m}{t}=\frac{ \upsilon^2}{2}\cdot \frac{\pi d^2\rho \upsilon }{4}=\frac{\pi \upsilon^3 d^2\rho }{8}=\frac{3,14 \cdot (2,39\cdot 10^6\cdot10^{-6})^3 \cdot 0,031^2 \cdot 1010}{8}=5,2$$

Так как ответ просят в нановаттах, то

Ответ: $P=5,2\cdot10^9$ нВт.

Задача 2. Имеется два водных раствора соли. Для получения смеси, содержащей 10 граммов соли и 90 граммов воды, берут первого раствора в 2 раза больше по весу, чем второго. Через неделю из каждого килограмма первого и второго растворов испарилось по 150 граммов воды, и для получения такой же смеси, как и раньше, требуется первого раствора уже в 4 раза больше по весу, чем второго. Сколько граммов соли содержалось первоначально в 100 граммах каждого раствора?

Ответ запишите в виде пары $( y;x)$, где$y$ — количество граммов соли в 100 граммах первого раствора, $x$ — количество граммов соли в 100 граммах второго раствора. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Задача больше математическая. Слова «по весу» очевидно, можно заменить на слова «по массе». Составим таблицу по первому условию.

Таблица для первого условия.

	Масса, кг	Процентное содержание соли, %	Массовое содержание соли, кг
1 раствор	2m	y	2m*y/100
2 раствор	m	x	m*x/100
Смесь	3m	10	2m*y/100+m*x/100

Запишем процентное содержание соли, во-первых, по данным первых двух столбцов последней строки, во-вторых, по данным последнего столбца и приравняем.

$$3m\cdot0,1=0,02 my+0,01 mx$$

Умножим но 100 для удобства, и сократим $m$:

$$30=2y+x$$

Теперь составим таблицу для второго условия, когда вода частично испарилась. Очевидно, что, раз воды стало меньше, то концентрация растворов увеличилась. Так как воды стало вместо 100 г – 85, то прежняя соль приходится теперь на 85 г и процентное содержание стало $\frac{y}{0,85}$ и $\frac{x}{0,85}$.

Таблица для второго условия.

	Масса, кг	Процентное содержание соли, %	Массовое содержание соли, кг
1 раствор	4m	y/0,85	4m*y/85
2 раствор	m	x /0,85	m*x/85
Смесь	5m	10	4m*y/85+m*x/85

Опять по последней строке составляем уравнение:

$$5m\cdot0,1=\frac{4 my}{85}+\frac{mx}{85}$$

Умножим на 85 для удобства, и сократим $m$:

$$42,5=4y+x$$

Имеем систему, давайте ее решим.

$$\begin{Bmatrix}{ 30=2y+x }\\{ 42,5=4y+x }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ y=6,25 }\\{x=17,50 }\end{matrix}$$

Ответ: (6,25; 17,50)

 

Задача 3. В далёкой-далёкой галактике на планете Нал-Хатта демонстрационная установка состоит из наклонной плоскости, плавно переходящей в «мёртвую» петлю радиусом 1,38 м. Установка закреплена на тележке, стоящей на горизонтальной плоскости. Груз массой $3,39\cdot 10^{−3}$ ц съезжает с наклонной плоскости с высоты 678 см, отсчитанной от нижней точки петли. Чему равно ускорение свободного падения на этой планете, если нормальная сила реакции в верхней точке петли равна 38,9 Н, a масса установки вместе с тележкой составляет $8,35\cdot10^3$ г? Трением можно пренебречь.

Выразите искомую величину в единицах «см/с$^2$» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Понятно, что все единицы нужно переводить в систему СИ. Тогда

$R=1,38$ м, $m=0,339$ кг – масса груза, $M=8,35$ кг – масса установки, $h=6,78$ м.

Здесь потребуется использование законов сохранения импульса и энергии. Вначале груз обладал потенциальной энергией, равной

$$E_p=mgh$$

Импульс всей системы  до начала движения 0, а потом и груз, и тележка приобретут скорости:

$$0=m\upsilon_1-M\upsilon_2$$

Откуда

$$\upsilon_2=\frac{ m\upsilon_1}{M}$$

То есть и у тележки, и у груза есть кинетическая энергия на тот момент, когда груз оказывается в верхней точке петли. Но у груза будет к этому моменту и потенциальная энергия:

$$ mgh=\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{M\upsilon_2^2}{2}+mg\cdot 2R$$

Подставляем скорость тележки:

$$ mgh=\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m^2\upsilon_1^2}{2M}+mg\cdot 2R$$

Сокращаем на $m$:

$$ gh=\frac{\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_1^2}{2M}+g\cdot 2R$$

Определяем скорость грузика относительно планеты Нал-Хатта:

$$\upsilon_1^2=\frac{2gM(h-2R)}{m+M}$$

$$\upsilon_1=\sqrt{\frac{2gM(h-2R)}{m+M}}$$

Относительно установки скорость грузика равна

$$\upsilon=\upsilon_1+\upsilon_2=\upsilon_1(1+\frac{m}{M})$$

$$\upsilon=\sqrt{2g(h-2R)( 1+\frac{m}{M})}$$

Теперь рассмотрим грузик в верхней точке петли. По горизонтальной оси ускорения нет, по вертикальной – есть, причем это ускорение одно и то же что относительно тележки, что относительно планеты, поэтому можно записать по второму закону Ньютона:

$$ma_n=N+mg$$

$$\frac{m\upsilon^2}{R}=N+mg$$

$$ N+mg=\frac{2mg(h-2R)( 1+\frac{m}{M})}{RM}$$

Выражаем $g$:

$$g=\frac{NR}{2m(h-2R)( 1+\frac{m}{M})-mR}=\frac{38,9\cdot1,38}{2\cdot0,339(6,78-2\cdot1,38)( 1+\frac{0,339}{8,35})-0,339\cdot1,38}=5,56795$$

Ответ получен в м/с$^2$, тогда в см/с$^2$  это будет 556,795. Округлим до двух значащих: $5,6\cdot10^2$ см/с$^2$.

Ответ: $g=5,6\cdot10^2$ см/с$^2$.

Задача 4. Однажды летним тёплым вечером Винни Пух вспоминал, как на прошлый день рождения друзья подарили ему воздушные шарики и он полетел за мёдом к пчёлам. «Интересно, до какого минимального объёма мне нужно будет надуть шарики на день рождения в этом году, чтобы я смог полакомиться мёдом?» — подумал медвежонок. Чему равен минимальный объём надутого шарика, если известно, что молярная масса воздуха равна 29 кг/кмоль, шарики изготовлены из материала с низкой теплопроводностью, на День Рождения Винни Пуха ему подарили 568 воздушных шариков, температура воздуха будет $1\cdot10^1^{\circ}$C, атмосферное давление будет $1\cdot10^5$ Дж/м$^3$, масса Винни Пуха $9,97\cdot 10^{-4}$ т , температура воздуха в надутом шарике $42^{\circ}$ C? Массой ненадутых шариков, объёмом Винни Пуха и силами упругости в оболочках надутых шариков можно пренебречь.

Выразите искомую величину в единицах «л» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Переведем все единицы в СИ: $M=29$ г/моль, или $M=29\cdot10^{-3}$ кг/моль. $p=10^5$ Па, $T_1=283$ К – это температура окружающего воздуха, $T_2=315$ К – это температура воздуха в шарике. Шарик не остывает: оболочка с низкой теплопроводностью. $m=0,997$ кг – масса Пуха.

Запишем условие плавания:

$$Mg=F_a$$

Здесь $M$ – это суммарная масса Пуха и воздуха в шариках.

Тогда условие может быть переписано в виде:

$$(m+m_v)g=\rho_v g V$$

Или, с учетом количества шариков,

$$m+m_v=\rho_v N V_1$$

Где $V_1$ – искомый объем одного шарика.

$$V_1=\frac{ m+m_v }{\rho_v N }$$

Масса воздуха в шариках равна

$$m_v=Nm_1$$

Где $m_1$ – масса воздуха в одном шарике.

Для шарика запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$pV_1=\frac{m_1}{M}RT_2$$

$$m_1=\frac{ pV_1M}{RT_2}$$

А масса воздуха во всех шариках

$$m_v=Nm_1=\frac{ pV_1MТ}{RT_2}$$

Осталось найти плотность воздуха. Для этого запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для наружного воздуха:

$$pV_n=\frac{m_n}{M}RT_1$$

Плотность $\rho_v=\frac{m_n}{V_n}=\frac{pM}{RT_1}$.

Вернемся к искомому объему:

$$V_1=\frac{ m }{\rho_v N }+\frac {m_v }{\rho_v N }=\frac{ m }{\rho_v N }+\frac {pV_1M }{RT_2\rho_v }$$

$$V_1\left(1-\frac{pM}{RT_2\rho_v }\right)=\frac{m}{\rho_v N }$$

$$V_1=\frac{m}{\rho_v N -\frac{pMN}{RT_2}}$$

Подставим плотность воздуха:

$$V_1=\frac{mRT_1}{pMN(1-\frac{T_1}{T_2})}$$

$$V_1=\frac{ 0,997\cdot 8,31 \cdot283}{10^5\cdot29\cdot10^{-3} \cdot568(1-\frac{283}{315})}=0,0142$$

Ответ получен в м$^3$, в литрах это 14,2. Так как надо округлить до двух значащих, то 14 л.

Ответ: 14 л.

Задача 5. Два упругих шарика подвешены на тонких нитях рядом так, что они находятся на одной высоте и касаются друг друга. Длины нитей равны 0,83 м и $6,69\cdot10^{14}$ фм, a массы шариков — соответственно $4,5\cdot 10^3$ г и 2,05 кг. Меньший из шариков отклонили на угол 1,35 и отпустили. Определите, на какую высоту поднимется больший из шариков после абсолютно упругого центрального удара.

Выразите искомую величину в единицах «м» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Переведем величины в более привычные:

$l_1=0,83$ м, $l_2=0,669$ м, $m_1=4,5$ кг, $m_2=2,05$ кг.

Угол, видимо, в радианах. В градусах это будет $\alpha=77,4^{\circ}$

Определим высоту, на которую подняли меньший из шариков:

$$h_2=l_2-l_2\cos{\alpha}$$

Таким образом, ему сообщили потенциальную энергию. К моменту удара он обладал кинетической энергией, при ударе часть этой энергии передалась большему шарику. Но надо не забыть, что удар упругий, так что меньший из шариков отскочит – то есть у него тоже будет кинетическая энергия. Тогда по закону сохранения энергии

$$\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon’_2^2}{2}$$

$$m_2(\upsilon_2^2-\upsilon’_2^2)=m_1\upsilon_1^2~~~~~~~~~~~~(1)$$

По закону сохранения импульса:

$$m_2\upsilon_2= m_1\upsilon_1- m_2\upsilon’_2$$

$$m_2(\upsilon_2+\upsilon’_2)= m_1\upsilon_1~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Разделим (1) на (2):

$$\frac{\upsilon_2^2-\upsilon’_2^2}{\upsilon_2+\upsilon’_2}=\upsilon_1$$

$$\upsilon_2-\upsilon’_2=\upsilon_1$$

$$\upsilon’_2=\upsilon_2-\upsilon_1$$

Подставим эту скорость в закон сохранения импульса:

$$m_2\upsilon_2= m_1\upsilon_1- m_2(\upsilon_2-\upsilon_1)$$

$$2m_2\upsilon_2= (m_1+m_2)\upsilon_1$$

$$\upsilon_1=\frac{2m_2\upsilon_2}{ m_1+m_2}$$

Теперь, зная скорость первого шара, можем определить высоту подъема.

$$h_1=\frac{\upsilon_1^2}{2g}=\frac{4m_2^2\upsilon_2^2}{2g(m_1+m_2)^2}=\frac{2m_2^2\upsilon_2^2}{g(m_1+m_2)^2}$$

Мы не определили скорость второго шара перед ударом! Давайте сделаем это сейчас:

$$\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=m_2 g h_2$$

$$\upsilon_2^2=2 g h_2$$

Подставляем:

$$h_1=\frac{2m_2^2\cdot 2g h_2}{g(m_1+m_2)^2}=\frac{4m_2^2(l_2- l_2\cos{\alpha})}{ (m_1+m_2)^2}$$

$$h_1=\frac{4\cdot2,05^2(0,669-0,669\cos{77,4^{\circ}})}{( 2,05+4,5)^2}=0,205$$

Ответ с округлением до двух значащих: $h_1=0,21$ м.

Задача 6. Аккумулятор с ЭДС $1,44\cdot10^4$ мВ и внутренним сопротивлением 52,7 мОм заряжается от источника с ЭДС $4,52\cdot 10^{10}$ нВ и внутренним сопротивлением $6,27\cdot10^{-11}$ ГОм. Параллельно аккумулятору подключён резистор сопротивлением $4,61\cdot 10^{-8}$ ГОм. Чему равна сила тока в резисторе?

Выразите искомую величину в единицах «А» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 3 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Пересчитаем два источника в один. При этом схема станет одноконтурной и определить ток в резисторе станет очень легко. Для пересчета воспользуемся формулами:

$$\frac{E}{r}=\frac{E_1}{r_1}+\frac{E_2}{r_2}$$

$$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}$$

Переведем все в систему СИ:

$E_1=14,4$ В, $E_2=45,2$ В, $r_1=0,0527$ Ом, $r_2=0,0627$ Ом, $R=46,1$ Ом.

Тогда

$$r=\frac{r_1r_2}{ r_1+r_2}=\frac{0,0527\cdot0,0627}{0,0527+0,0627}=0,0286$$

$$E=\frac{E_1 r}{r_1}+\frac{E_2 r}{r_2}=\frac{14,4\cdot0,0286}{0,0527}+\frac{45,2\cdot0,0286}{0,0627}=28,466$$

Определяем ток в контуре с таким эквивалентным источником и резистором $R$:

$$I=\frac{E}{R+r}=\frac{28,466}{46,1+0,0286}=0,617$$

Ответ: $I=0, 617$ А.

 

Задача 7. Сила тока в проводнике равномерно увеличилась от нуля до 0,0848 кА. Чему равна продолжительность этого процесса, если заряд, прошедший при этом через поперечное сечение проводника равен $4,16\cdot 10^9$ мкКл?

Выразите искомую величину в единицах «мс» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 3 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Так как интегралы мы применять не можем, то воспользуемся либо способом усреднения тока, либо графическим способом. При первом для расчета надо взять среднее значение тока: вначале он нулевой, в конце – 84,8 А. поэтому берем среднее арифметическое: 42,4 А.

$$I=\frac{\Delta q}{\Delta t}$$

$$\Delta t=\frac{\Delta q}{I}=\frac{4,16\cdot 10^9\cdot10^{-6}}{42,4}=98,1132$$

При решении графическим способом строим зависимость тока от времени и записываем заряд как площадь под графиком:

$$q=\frac{I_mt}{2}$$

Откуда

$$t=\frac{2q}{I_m}=\frac{2\cdot4,16\cdot 10^9\cdot10^{-6}}{84,8}=98,1132$$

Ответ: $t=98113$ мс, а с округлением до трех значащих $ t=981\cdot10^2$ мс.

Задача 8. Возбуждающее ядро массой $4,1852\cdot10^{-28}$ т двигалось со скоростью $4,07\cdot10^4$ см/с. Известно, что после испускания гамма-кванта оно остановилось. Чему равна частота этого гамма-кванта?

Выразите искомую величину в единицах «1/с» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

Начнем с перевода единиц в СИ:

$m_1=4,1852\cdot10^{-25}$ кг, $\upsilon_1=407$ м/с.

Ядро обладало импульсом, который, очевидно «перехватил» гамма-квант. Определим его массу из этого условия:

$$m_2 c=m_1 \upsilon_1$$

$$m_2=\frac{ m_1 \upsilon_1}{c}$$

С другой стороны, масса гамма-кванта равна

$$m_2=\frac{h \nu}{c^2}$$

Приравняем эти два выражения:

$$\frac{ m_1 \upsilon_1}{c}=\frac{h \nu}{c^2}$$

Или

$$m_1 \upsilon_1=\frac{h \nu}{c}$$

Откуда

$$\nu=\frac{m_1c^2}{h}=\frac{4,1852\cdot10^{-25}\cdot9\cdot10^{16}}{6,62\cdot10^{-34}}=77\cdot10^{18}$$

Ответ: $\nu=77\cdot10^{18}$ Гц.

Задача 9. Один конец горизонтальной пружины прикреплён к вертикальной стене, а другой конец — к деревянному бруску массой 821 г, лежащему на гладком столе. В этот брусок попадает и застревает в нём пуля, летящая горизонтально со скоростью 2840,4 км/ч, направленной вдоль оси пружины. Чему равна масса пули, если максимальная величина сжатия пружины равна $2,68\cdot10^{11}$ пм, a коэффициент её жёсткости равен $6,22\cdot10^3$ Н/м?

Выразите искомую величину в единицах «ц» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 3 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.

По закону сохранения импульса можно записать:

$$m\upsilon_1=(M+m) \upsilon_2$$

Откуда

$$\upsilon_2=\frac{ m\upsilon_1}{M+m}$$

Кинетическая энергия бруска с пулей переходит в потенциальную энергию сжатой пружины, следовательно,

$$E_k=E_p$$

$$\frac{(M+m)\upsilon_2^2}{2}=\frac{kx^2}{2}$$

$$(M+m)\upsilon_2^2=kx^2$$

Подставляем скорость:

$$(M+m)\cdot\frac{ m^2\upsilon_1^2}{(M+m)^2}=kx^2$$

$$\frac{ m^2\upsilon_1^2}{M+m}=kx^2$$

$$\upsilon_1^2 m^2-kx^2m-kx^2M=0$$

$$m_{1,2}=\frac{kx^2 \pm \sqrt{k^2x^4+4kx^2M\upsilon_1^2}}{2\upsilon_1^2}$$

Пришло время переводить в систему СИ данные: $M=0,821$ кг, $\upsilon=789$ м/с, $x=0,268$ м, $k=6220$ Н/м.

$$m_{1,2}=\frac{6220\cdot 0,268^2 \pm \sqrt{6220^2\cdot0,268^4+4\cdot6220\cdot0,268^2\cdot0,821\cdot789^2}}{2\cdot789^2}=0,024$$

Второй корень отрицателен.

Ответ: $m=24$ г.