Задачи, предлагавшиеся на сертификационном испытании портала “Профи.ру” для репетиторов. Данные задачи попались мне в первой попытке сдать этот экзамен.
Задача 1. В далёкой-далёкой галактике на планете Орто Плутония насос выбрасывает струю жидкости плотностью г/см
диаметром 0,031 м со скоростью
мкм/с. Чему равна необходимая для этого мощность?
Выразите искомую величину в единицах «нВт» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.
Найдем расход воды, :
Но отношение – скорость потока воды. Поэтому
Площадь сечения струи равна
Тогда расход
Кинетическая энергия единицы массы воды равна
Насос совершает работу, чтобы придать струе (единицам массы воды) такую скорость, поэтому кинетическая энергия – это работа насоса: .
Ну а мощность – это скорость выполнения им работы:
Подставим найденный расход. Понятно, что все единицы нужно переводить в систему СИ:
Так как ответ просят в нановаттах, то
Ответ: нВт.
Задача 2. Имеется два водных раствора соли. Для получения смеси, содержащей 10 граммов соли и 90 граммов воды, берут первого раствора в 2 раза больше по весу, чем второго. Через неделю из каждого килограмма первого и второго растворов испарилось по 150 граммов воды, и для получения такой же смеси, как и раньше, требуется первого раствора уже в 4 раза больше по весу, чем второго. Сколько граммов соли содержалось первоначально в 100 граммах каждого раствора?
Ответ запишите в виде пары , где
— количество граммов соли в 100 граммах первого раствора,
— количество граммов соли в 100 граммах второго раствора. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.
Задача больше математическая. Слова «по весу» очевидно, можно заменить на слова «по массе». Составим таблицу по первому условию. (nf,k14)
Запишем процентное содержание соли, во-первых, по данным первых двух столбцов последней строки, во-вторых, по данным последнего столбца и приравняем.
Умножим но 100 для удобства, и сократим :
Теперь составим таблицу для второго условия, когда вода частично испарилась. Очевидно, что, раз воды стало меньше, то концентрация растворов увеличилась. Так как воды стало вместо 100 г – 85, то прежняя соль приходится теперь на 85 г и процентное содержание стало и
.
Nf,k15
Опять по последней строке составляем уравнение:
Умножим на 85 для удобства, и сократим :
Имеем систему, давайте ее решим.
Ответ: (6,25; 17,50)
Задача 3. В далёкой-далёкой галактике на планете Нал-Хатта демонстрационная установка состоит из наклонной плоскости, плавно переходящей в «мёртвую» петлю радиусом 1,38 м. Установка закреплена на тележке, стоящей на горизонтальной плоскости. Груз массой ц съезжает с наклонной плоскости с высоты 678 см, отсчитанной от нижней точки петли. Чему равно ускорение свободного падения на этой планете, если нормальная сила реакции в верхней точке петли равна 38,9 Н, a масса установки вместе с тележкой составляет
г? Трением можно пренебречь.

К задаче 3
Выразите искомую величину в единицах «см/с» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.
Понятно, что все единицы нужно переводить в систему СИ. Тогда
м,
кг – масса груза,
кг – масса установки,
м.
Здесь потребуется использование законов сохранения импульса и энергии. Вначале груз обладал потенциальной энергией, равной
Импульс всей системы до начала движения 0, а потом и груз, и тележка приобретут скорости:
Откуда
То есть и у тележки, и у груза есть кинетическая энергия на тот момент, когда груз оказывается в верхней точке петли. Но у груза будет к этому моменту и потенциальная энергия:
Подставляем скорость тележки:
Сокращаем на :
Определяем скорость грузика относительно планеты Нал-Хатта:
Относительно установки скорость грузика равна
Теперь рассмотрим грузик в верхней точке петли. По горизонтальной оси ускорения нет, по вертикальной – есть, причем это ускорение одно и то же что относительно тележки, что относительно планеты, поэтому можно записать по второму закону Ньютона:
Выражаем :
Ответ получен в м/с, тогда в см/с
это будет 556,795. Округлим до двух значащих:
см/с
.
Ответ: см/с
.
Задача 4. Однажды летним тёплым вечером Винни Пух вспоминал, как на прошлый день рождения друзья подарили ему воздушные шарики и он полетел за мёдом к пчёлам. «Интересно, до какого минимального объёма мне нужно будет надуть шарики на день рождения в этом году, чтобы я смог полакомиться мёдом?» — подумал медвежонок. Чему равен минимальный объём надутого шарика, если известно, что молярная масса воздуха равна 29 кг/кмоль, шарики изготовлены из материала с низкой теплопроводностью, на День Рождения Винни Пуха ему подарили 568 воздушных шариков, температура воздуха будет C, атмосферное давление будет
Дж/м
, масса Винни Пуха
т , температура воздуха в надутом шарике
C? Массой ненадутых шариков, объёмом Винни Пуха и силами упругости в оболочках надутых шариков можно пренебречь.
Выразите искомую величину в единицах «л» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.
Переведем все единицы в СИ: г/моль, или
кг/моль.
Па,
К – это температура окружающего воздуха,
К – это температура воздуха в шарике. Шарик не остывает: оболочка с низкой теплопроводностью.
кг – масса Пуха.
Запишем условие плавания:
Здесь – это суммарная масса Пуха и воздуха в шариках.
Тогда условие может быть переписано в виде:
Или, с учетом количества шариков,
Где – искомый объем одного шарика.
Масса воздуха в шариках равна
Где – масса воздуха в одном шарике.
Для шарика запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:
А масса воздуха во всех шариках
Осталось найти плотность воздуха. Для этого запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для наружного воздуха:
Плотность .
Вернемся к искомому объему:
Подставим плотность воздуха:
Ответ получен в м, в литрах это 14,2. Так как надо округлить до двух значащих, то 14 л.
Ответ: 14 л.
Задача 5. Два упругих шарика подвешены на тонких нитях рядом так, что они находятся на одной высоте и касаются друг друга. Длины нитей равны 0,83 м и фм, a массы шариков — соответственно
г и 2,05 кг. Меньший из шариков отклонили на угол 1,35 и отпустили. Определите, на какую высоту поднимется больший из шариков после абсолютно упругого центрального удара.

К задаче 5
Выразите искомую величину в единицах «м» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.
Переведем величины в более привычные:
м,
м,
кг,
кг.
Угол, видимо, в радианах. В градусах это будет
Определим высоту, на которую подняли меньший из шариков:
Таким образом, ему сообщили потенциальную энергию. К моменту удара он обладал кинетической энергией, при ударе часть этой энергии передалась большему шарику. Но надо не забыть, что удар упругий, так что меньший из шариков отскочит – то есть у него тоже будет кинетическая энергия. Тогда по закону сохранения энергии
По закону сохранения импульса:
Разделим (2) на (1):
Подставим эту скорость в закон сохранения импульса:
Теперь, зная скорость первого шара, можем определить высоту подъема.
Мы не определили скорость второго шара перед ударом! Давайте сделаем это сейчас:
Подставляем:
Ответ с округлением до двух значащих: м.
Задача 6. Аккумулятор с ЭДС мВ и внутренним сопротивлением 52,7 мОм заряжается от источника с ЭДС
нВ и внутренним сопротивлением
ГОм. Параллельно аккумулятору подключён резистор сопротивлением
ГОм. Чему равна сила тока в резисторе?
Выразите искомую величину в единицах «А» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 3 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.
Пересчитаем два источника в один. При этом схема станет одноконтурной и определить ток в резисторе станет очень легко. Для пересчета воспользуемся формулами:
Переведем все в систему СИ:
В,
В,
Ом,
Ом,
Ом.
Тогда
Определяем ток в контуре с таким эквивалентным источником и резистором :
Ответ: А.
Задача 7. Сила тока в проводнике равномерно увеличилась от нуля до 0,0848 кА. Чему равна продолжительность этого процесса, если заряд, прошедший при этом через поперечное сечение проводника равен мкКл?

К задаче 7
Выразите искомую величину в единицах «мс» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 3 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.
Так как интегралы мы применять не можем, то воспользуемся либо способом усреднения тока, либо графическим способом. При первом для расчета надо взять среднее значение тока: вначале он нулевой, в конце – 84,8 А. поэтому берем среднее арифметическое: 42,4 А.
При решении графическим способом строим зависимость тока от времени и записываем заряд как площадь под графиком:
Откуда
Ответ: мс, а с округлением до трех значащих
мс.
Задача 8. Возбуждающее ядро массой т двигалось со скоростью
см/с. Известно, что после испускания гамма-кванта оно остановилось. Чему равна частота этого гамма-кванта?
Выразите искомую величину в единицах «1/с» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 2 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.
Начнем с перевода единиц в СИ:
кг,
м/с.
Ядро обладало импульсом, который, очевидно «перехватил» гамма-квант. Определим его массу из этого условия:
С другой стороны, масса гамма-кванта равна
Приравняем эти два выражения:
Или
Откуда
Ответ: Гц.
Задача 9. Один конец горизонтальной пружины прикреплён к вертикальной стене, а другой конец — к деревянному бруску массой 821 г, лежащему на гладком столе. В этот брусок попадает и застревает в нём пуля, летящая горизонтально со скоростью 2840,4 км/ч, направленной вдоль оси пружины. Чему равна масса пули, если максимальная величина сжатия пружины равна пм, a коэффициент её жёсткости равен
Нм?

К задаче 9
Выразите искомую величину в единицах «ц» и укажите в качестве ответа её численное значение, округлённое до 3 значащих цифр. Если вопрос задачи допускает несколько вариантов ответа, то укажите их все в виде множества.
По закону сохранения импульса можно записать:
Откуда
Кинетическая энергия бруска с пулей переходит в потенциальную энергию сжатой пружины, следовательно,
Подставляем скорость:
Пришло время переводить в систему СИ данные: кг,
м/с,
м,
Н/м.
Второй корень отрицателен.
Ответ: г.
Как вышло - так и...
В №29 ответ 9.8...
Понял. Спасибо большое за ответ и разбор этого...
[latexpage] Это же килограммы. Граммов будет $70\cdot10^{-3}$, или 70...
Добрый день! В задании 10 получилось такое же число, но не понимаю почему в ответе...