Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитный поток

Самоиндукция

[latexpage]

Задачи разные, последняя – довольно непростая. Обращаю ваше внимание на необходимость подсчеты вести в системе СИ: то есть переводить длины в м, площади-  в м$^2$, различные мили- и микро- величины не забывать представлять с помощью соответствующих степеней 10-ки.

Задача 1. Через соленоид индуктивностью $L=0,2$ мГн и площадью поперечного сечения $S=10$ см$^2$ проходит ток силой $I=0,5$ А. Какова индукция магнитного поля внутри соленоида, если он содержит $N=200$ витков?

$$\Phi=NBS=LI$$

Откуда

$$B=\frac{LI}{NS}=\frac{0,2\cdot10^{-3}\cdot0,5}{200\cdot10\cdot10^{-4}}=5\cdot10^{-4}$$

Ответ: 500 мкТл

Задача 2. Плоская прямоугольная рамка со сторонами 5 см и 15 см находится в магнитном поле с индукцией $B=0,2$ Тл, перпендикулярной плоскости рамки. По рамке течет ток $I=1$ А. Эту рамку превращают в окружность, не изменяя периметра и ориентации плоскости рамки. При этом сила тока также не изменяется.  Найти величину работы по изменению формы рамки.

При изменении формы рамки изменится ее площадь. Поэтому

$$A=I\Delta\Phi=IB\Delta S$$

Периметр прямоугольной рамки равен 40 см, а ее площадь – 75 см$^2$. Тогда длина окружности тоже равна 40 см, а ее радиус

$$2 \pi R=40$$

$$R=\frac{40}{2\pi}=\frac{20}{\pi}$$

А площадь рамки будет

$$S=\pi R^2=\frac{400}{\pi}$$

Изменение площади (в см$^2$):

$$\Delta S=\frac{400}{\pi}-75=52$$

Работа равна

$$A=IB\Delta S=1\cdot0,2\cdot52\cdot10^{-4}=0,001$$

Ответ: 1 мДж

Задача 3. Катушка сопротивлением $R=10$ Ом и индуктивностью $L=0,02$ Гн находится в переменном магнитном поле. Когда создаваемый этим полем поток увеличился на $\Delta \Phi=4\cdot10^{-3}$ Вб, ток в катушке возрос на $\Delta I=10$ мА. Какой заряд прошел за это время по катушке?

С одной стороны,

$$E=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$$

С другой стороны, она будет складываться из падения напряжения на резисторе и ЭДС самоиндукции на катушке:

$$E=IR+L\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{\Delta q}{\Delta t}R+ L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

То есть, приравнивая, имеем:

$$\Delta \Phi=\Delta q\cdot R+L \Delta I$$

Тогда

$$\Delta q=\frac{\Delta \Phi – L \Delta I }{R}=\frac{4\cdot10^{-3}-0,02\cdot10^{-2}}{10}=3,8\cdot10^{-4}$$

Ответ: 0,38 мКл

Задача 4. Два одинаковых конденсатора емкостью $C=8$ мкФ каждый и катушка индуктивности ($L=10$ мТл) соединены по схеме (см. рис.). В начальный момент ключ $K$ разомкнут, левый конденсатор заряжен до напряжения $U=1$ В. Правый конденсатор не заряжен, и ток в катушке отсутствует. Определите максимальное значение силы тока в катушке после замыкания ключа. Сопротивлением катушки пренебречь.

Рисунок 1 к задаче 4

На первом конденсаторе заряд равен $q_1=C_1U_1$, и он им поделится со вторым, когда ключ замкнется. «Дележ» произойдет таким образом, что напряжения на обоих конденсаторах будут равны: пополам, ведь емкости тоже одинаковые. Тогда:

$$q_1’=q_2’=\frac{C_1U_1}{2}=4\cdot10^{-6}$$

Новое напряжение будет равно

$$U_2=\frac{q_1’}{C_1}=\frac{4\cdot10^{-6}}{8\cdot10^{-6}}=0,5$$

Так как конденсаторы соединены параллельно, их емкости можно сложить, получив эквивалентный конденсатор:

$$C_2=2C=16\cdot10^{-6}$$

Тогда энергия поля такого конденсатора равна

$$W_e=\frac{C_2U_2^2}{2}$$

Эта энергия перейдет в энергию магнитного поля:

$$W_e=W_m=\frac{LI^2}{2}$$

Откуда

$$ C_2U_2^2= LI^2$$

$$I=\sqrt{\frac{2W_e}{L}}=U_2\sqrt{\frac{ C_2}{L}}=0,5\sqrt{\frac{16\cdot10^{-6}}{10^{-2}}}=0,02$$

Ответ: 0,02 А.

Задача 5. Две катушки индуктивностями $L_1=5$ мГн и $L_2=1$ мГн подключены через ключи $K_1$ и $K_2$ к конденсатору емкости $C=20$ нФ. В начальный момент времени оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до напряжения $U_0=30$ В. Сначала замыкают ключ $K_1$ и, когда напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают ключ 2. Определите минимальный ток, протекающий через катушку $L_1$ после замыкания ключа $K_2$. Сопротивлением катушек пренебречь.

Рисунок 2 к задаче 5

В тот момент, когда замыкают второй ключ, вся энергия сосредоточилась в первой катушке:

$$\frac{L_1I_m^2}{2}=\frac{CU^2}{2}$$

Откуда

$$I_m=U\sqrt{\frac{C}{L_1}}$$

Но это – максимальное значение тока, а нас просят найти минимальное. Когда замкнут второй ключ, напряжение на катушках равное: $E_1=E_2$, и, следовательно,

$$L_1\frac{dI_1}{dt}= L_2\frac{dI_2}{dt}$$

То есть

$$L_1\Delta I_1= L_2\Delta I_2$$

Тогда разность между фактическим током в первой катушке и максимальным в любой момент времени равна $I_1(t)-I_m$, и это позволяет записать:

$$ L_1(I_1(t)-I_m)=L_2 I_2(t)$$

В момент времени, когда $\frac{dI_1}{dt}=0$, $E_1=0$, то есть заряд на конденсаторе равен нулю (вся энергия сосредоточена в катушках). Для такого момента времени можно записать закон сохранения энергии:

$$\frac{L_1I_1^2}{2}+\frac{L_2I_2^2}{2}=\frac{L_1I_m^2}{2}$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{Bmatrix}{ L_1(I_1(t)-I_m)=L_2 I_2(t)}\\{ L_1I_1^2+L_2I_2^2=L_1I_m^2}\end{matrix}$$

$$I_2=\frac{ L_1(I_m-I_1(t))}{L_2}$$

Тогда

$$L_1I_1^2+\frac{ L_1^2(I_m-I_1(t))^2}{L_2}=L_1I_m^2$$

$$I_1+I_m=\frac{L_1}{L_2}(I_m-I_1)$$

$$I_1(\frac{L_1}{L_2}+1)=I_m(\frac{L_1}{L_2}-1)$$

$$I_1=I_m\frac{L_1-L_2}{L_2+L_1}$$

А если подставить $I_m=U\sqrt{\frac{C}{L_1}}$, то

$$I_1=U\sqrt{\frac{C}{L_1}}\cdot\frac{L_1-L_2}{L_2+L_1}$$

Комментариев - 2

  • Владислав
    |

    Анна Валерьевна а почему 2 задачу нельзя решать через W=LI^2/2 = ФI/2. A

    Ответить
    • Анна
      |

      Я думаю, что индуктивность рамки при изменении ее формы изменится, ведь она определяется геометрическими размерами.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *