Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитный поток

Самоиндукция

Задачи разные, последняя – довольно непростая. Обращаю ваше внимание на необходимость подсчеты вести в системе СИ: то есть переводить длины в м, площади-  в м^2, различные мили- и микро- величины не забывать представлять с помощью соответствующих степеней 10-ки.

Задача 1. Через соленоид индуктивностью L=0,2 мГн и площадью поперечного сечения S=10 см^2 проходит ток силой I=0,5 А. Какова индукция магнитного поля внутри соленоида, если он содержит N=200 витков?

    \[\Phi=NBS=LI\]

Откуда

    \[B=\frac{LI}{NS}=\frac{0,2\cdot10^{-3}\cdot0,5}{200\cdot10\cdot10^{-4}}=5\cdot10^{-4}\]

Ответ: 500 мкТл

Задача 2. Плоская прямоугольная рамка со сторонами 5 см и 15 см находится в магнитном поле с индукцией B=0,2 Тл, перпендикулярной плоскости рамки. По рамке течет ток I=1 А. Эту рамку превращают в окружность, не изменяя периметра и ориентации плоскости рамки. При этом сила тока также не изменяется.  Найти величину работы по изменению формы рамки.

При изменении формы рамки изменится ее площадь. Поэтому

    \[A=I\Delta\Phi=IB\Delta S\]

Периметр прямоугольной рамки равен 40 см, а ее площадь – 75 см^2. Тогда длина окружности тоже равна 40 см, а ее радиус

    \[2 \pi R=40\]

    \[R=\frac{40}{2\pi}=\frac{20}{\pi}\]

А площадь рамки будет

    \[S=\pi R^2=\frac{400}{\pi}\]

Изменение площади (в см^2):

    \[\Delta S=\frac{400}{\pi}-75=52\]

Работа равна

    \[A=IB\Delta S=1\cdot0,2\cdot52\cdot10^{-4}=0,001\]

Ответ: 1 мДж

Задача 3. Катушка сопротивлением R=10 Ом и индуктивностью L=0,02 Гн находится в переменном магнитном поле. Когда создаваемый этим полем поток увеличился на \Delta \Phi=4\cdot10^{-3} Вб, ток в катушке возрос на \Delta I=10 мА. Какой заряд прошел за это время по катушке?

С одной стороны,

    \[E=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\]

С другой стороны, она будет складываться из падения напряжения на резисторе и ЭДС самоиндукции на катушке:

    \[E=IR+L\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{\Delta q}{\Delta t}R+ L\frac{\Delta I}{\Delta t}\]

То есть, приравнивая, имеем:

    \[\Delta \Phi=\Delta q\cdot R+L \Delta I\]

Тогда

    \[\Delta q=\frac{\Delta \Phi - L \Delta I }{R}=\frac{4\cdot10^{-3}-0,02\cdot10^{-2}}{10}=3,8\cdot10^{-4}\]

Ответ: 0,38 мКл

Задача 4. Два одинаковых конденсатора емкостью C=8 мкФ каждый и катушка индуктивности (L=10 мТл) соединены по схеме (см. рис.). В начальный момент ключ K разомкнут, левый конденсатор заряжен до напряжения U=1 В. Правый конденсатор не заряжен, и ток в катушке отсутствует. Определите максимальное значение силы тока в катушке после замыкания ключа. Сопротивлением катушки пренебречь.

Рисунок 1 к задаче 4

На первом конденсаторе заряд равен q_1=C_1U_1, и он им поделится со вторым, когда ключ замкнется. «Дележ» произойдет таким образом, что напряжения на обоих конденсаторах будут равны: пополам, ведь емкости тоже одинаковые. Тогда:

    \[q_1'=q_2'=\frac{C_1U_1}{2}=4\cdot10^{-6}\]

Новое напряжение будет равно

    \[U_2=\frac{q_1'}{C_1}=\frac{4\cdot10^{-6}}{8\cdot10^{-6}}=0,5\]

Так как конденсаторы соединены параллельно, их емкости можно сложить, получив эквивалентный конденсатор:

    \[C_2=2C=16\cdot10^{-6}\]

Тогда энергия поля такого конденсатора равна

    \[W_e=\frac{C_2U_2^2}{2}\]

Эта энергия перейдет в энергию магнитного поля:

    \[W_e=W_m=\frac{LI^2}{2}\]

Откуда

    \[C_2U_2^2= LI^2\]

    \[I=\sqrt{\frac{2W_e}{L}}=U_2\sqrt{\frac{ C_2}{L}}=0,5\sqrt{\frac{16\cdot10^{-6}}{10^{-2}}}=0,02\]

Ответ: 0,02 А.

Задача 5. Две катушки индуктивностями L_1=5 мГн и L_2=1 мГн подключены через ключи K_1 и K_2 к конденсатору емкости C=20 нФ. В начальный момент времени оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до напряжения U_0=30 В. Сначала замыкают ключ K_1 и, когда напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают ключ 2. Определите минимальный ток, протекающий через катушку L_1 после замыкания ключа K_2. Сопротивлением катушек пренебречь.

Рисунок 2 к задаче 5

В тот момент, когда замыкают второй ключ, вся энергия сосредоточилась в первой катушке:

    \[\frac{L_1I_m^2}{2}=\frac{CU^2}{2}\]

Откуда

    \[I_m=U\sqrt{\frac{C}{L_1}}\]

Но это – максимальное значение тока, а нас просят найти минимальное. Когда замкнут второй ключ, напряжение на катушках равное: E_1=E_2, и, следовательно,

    \[L_1\frac{dI_1}{dt}= L_2\frac{dI_2}{dt}\]

То есть

    \[L_1\Delta I_1= L_2\Delta I_2\]

Тогда разность между фактическим током в первой катушке и максимальным в любой момент времени равна I_1(t)-I_m, и это позволяет записать:

    \[L_1(I_1(t)-I_m)=L_2 I_2(t)\]

В момент времени, когда \frac{dI_1}{dt}=0, E_1=0, то есть заряд на конденсаторе равен нулю (вся энергия сосредоточена в катушках). Для такого момента времени можно записать закон сохранения энергии:

    \[\frac{L_1I_1^2}{2}+\frac{L_2I_2^2}{2}=\frac{L_1I_m^2}{2}\]

Решим систему уравнений:

    \[\begin{Bmatrix}{ L_1(I_1(t)-I_m)=L_2 I_2(t)}\\{ L_1I_1^2+L_2I_2^2=L_1I_m^2}\end{matrix}\]

    \[I_2=\frac{ L_1(I_m-I_1(t))}{L_2}\]

Тогда

    \[L_1I_1^2+\frac{ L_1^2(I_m-I_1(t))^2}{L_2}=L_1I_m^2\]

    \[I_1+I_m=\frac{L_1}{L_2}(I_m-I_1)\]

    \[I_1(\frac{L_1}{L_2}+1)=I_m(\frac{L_1}{L_2}-1)\]

    \[I_1=I_m\frac{L_1-L_2}{L_2+L_1}\]

А если подставить I_m=U\sqrt{\frac{C}{L_1}}, то

    \[I_1=U\sqrt{\frac{C}{L_1}}\cdot\frac{L_1-L_2}{L_2+L_1}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *