Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 16 (C4)

С4. Задача с двумя окружностями.



Четырехугольник ABKD вписан в окружность W с радиусом sqrt{37}. На отрезке KD точка С так, что ВС перпендикулярна KD. Около треугольника КВС описана окружность Q радиуса 6. Эта окружность касается AD и AB. Найти AB, угол BAD, площадь четырехугольника  ABKD.

Нарисуем чертеж:

Рисунок к задаче

Уточнение и дополнение рисунка

Здесь черная окружность – это окружность Q радиуса 6 с центром в точке О, а красная – W с радиусом sqrt{37} и центром в точке S. Соответствующим цветом показаны и радиусы окружностей. Так как треугольник AKC по условию прямоугольный, то центр описанной около него окружности лежит на середине его гипотенузы. Известно, что окружность Q касается AD. Тогда AD перпендикулярна АК, угол КАD – прямой. У вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180circ. Значит, угол BDK, который противоположен углу КАD – тоже прямой и BD перпендикулярна KD. Значит, BD параллельна AC (так как они обе перпендикулярны KD).

По условию, окружность Q касается BD, то есть ее радиус ON, проведенный к точке касания, перпендикулярен BD (рисунок справа). Значит, радиус ON перпендикулярен AC. Отрезок OP таким образом – высота равнобедренного треугольника AOC. Треугольники BOP и OPC равны (по трем сторонам).Проведем перпендикуляр из точки О к отрезку KD – OM. Треугольник KOM равен треугольнику AOP (по равенству гипотенуз и катета – для прямоугольных треугольников этого достаточно), и равен треугольнику OMC. Значит, все четыре треугольника равны  DeltaВOP=  DeltaOPC=  DeltaOCM=  DeltaOMK (у них равные катеты). А поскольку они все равнобедренные,то угол AKC=45circ. Тогда можем найти угол ABD, он равен 135circ.

Определим теперь длину отрезка АВ. Для этого необходимо точно понимать расположение центра S окружности W.

Точка S лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АК, так как этот отрезок – хорда окружности W. Кроме того, из установленного ранее равенства треугольников выясняется, что треугольник AKC – равнобедренный, значит, ОС – его высота и она-то и есть упомянутый серединный перпендикуляр. Можем определить расстояние между центрами обеих окружностей: OS=sqrt{(sqrt{37})^2-6^2}=1

Теперь проведем вспомогательные отрезки (на рисунке – зеленым цветом) – ST и SB. ST проведем параллельно OA, тогда его длина – 6, а SB представляет собой радиус окружности W и равен  sqrt{37}. В прямоугольном  DeltaOТВ определим катет ТВ:

 

Дополнительные построения

TB=sqrt{(sqrt{37})^2-6^2}=1

Дополнительные построения, окончание решения

Эти построения позволяют найти длину отрезка AB – он равен 2(сумма расстояний TB и OS).

Осталось определить площадь исходного четырехугольника. Достроим его до треугольника FKD. Треугольник FKD – прямоугольный и равнобедренный, так как его углы по 45circ. Чтобы найти площадь четырехугольника, найдем площадь треугольника  FKD и вычтем из нее площадь треугольника FAB. Он также прямоугольный и равнобедренный, и его катет равен 2 (АВ). Площадь его тогда 2, а гипотенуза FB=sqrt{2^2+2^2}=2sqrt{2}. Гипотенуза большого треугольника FKD равна 14: АО +ОК+AF=6+6+2=14, а, так как он равнобедренный, можем найти его катеты:  FD=sqrt{(14^2)/2}=sqrt{98}. Тогда его площадь:  S_FKD=(sqrt{98})^2/2=49.

Наконец, искомая площадь:  S_ABKD=S_FKD-S_FAB=49-2=47



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *