Четырехугольник ABKD вписан в окружность W с радиусом . На отрезке KD точка С так, что ВС перпендикулярна KD. Около треугольника КВС описана окружность Q радиуса 6. Эта окружность касается AD и AB. Найти AB, угол BAD, площадь четырехугольника ABKD.
Нарисуем чертеж:

Рисунок к задаче

Уточнение и дополнение рисунка
Здесь черная окружность – это окружность Q радиуса 6 с центром в точке О, а красная – W с радиусом и центром в точке S. Соответствующим цветом показаны и радиусы окружностей. Так как треугольник AKC по условию прямоугольный, то центр описанной около него окружности лежит на середине его гипотенузы. Известно, что окружность Q касается AD. Тогда AD перпендикулярна АК, угол КАD – прямой. У вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180
. Значит, угол BDK, который противоположен углу КАD – тоже прямой и BD перпендикулярна KD. Значит, BD параллельна AC (так как они обе перпендикулярны KD).
По условию, окружность Q касается BD, то есть ее радиус ON, проведенный к точке касания, перпендикулярен BD (рисунок справа). Значит, радиус ON перпендикулярен AC. Отрезок OP таким образом – высота равнобедренного треугольника AOC. Треугольники BOP и OPC равны (по трем сторонам).Проведем перпендикуляр из точки О к отрезку KD – OM. Треугольник KOM равен треугольнику AOP (по равенству гипотенуз и катета – для прямоугольных треугольников этого достаточно), и равен треугольнику OMC. Значит, все четыре треугольника равны ВOP=
OPC=
OCM=
OMK (у них равные катеты). А поскольку они все равнобедренные,то угол AKC=45
. Тогда можем найти угол ABD, он равен 135
.
Определим теперь длину отрезка АВ. Для этого необходимо точно понимать расположение центра S окружности W.
Точка S лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АК, так как этот отрезок – хорда окружности W. Кроме того, из установленного ранее равенства треугольников выясняется, что треугольник AKC – равнобедренный, значит, ОС – его высота и она-то и есть упомянутый серединный перпендикуляр. Можем определить расстояние между центрами обеих окружностей:
Теперь проведем вспомогательные отрезки (на рисунке – зеленым цветом) – ST и SB. ST проведем параллельно OA, тогда его длина – 6, а SB представляет собой радиус окружности W и равен . В прямоугольном
OТВ определим катет ТВ:

Дополнительные построения

Дополнительные построения, окончание решения
Эти построения позволяют найти длину отрезка AB – он равен 2(сумма расстояний TB и OS).
Осталось определить площадь исходного четырехугольника. Достроим его до треугольника FKD. Треугольник FKD – прямоугольный и равнобедренный, так как его углы по 45. Чтобы найти площадь четырехугольника, найдем площадь треугольника FKD и вычтем из нее площадь треугольника FAB. Он также прямоугольный и равнобедренный, и его катет равен 2 (АВ). Площадь его тогда 2, а гипотенуза
. Гипотенуза большого треугольника FKD равна 14: АО +ОК+AF=6+6+2=14, а, так как он равнобедренный, можем найти его катеты:
. Тогда его площадь:
.
Наконец, искомая площадь:
Ждем-с. Скоро...
Скоро сайт заработает нормально. Сама жду-не...
Спасибо за раздел "Олимпиадная физика". Ваш сайт-лучший сайт на эту...
Пример 2. При х=2.5,...
Уважаемая Анна Валерьевна! Можно еще раз спросить Вас, почему формулы в Ваших...