Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Функции, Функции и их свойства (задание 22)

С3 ГИА – построение графиков функций.

Для того, чтобы хорошо решать это задание, нужно быть знакомым с построением различных графиков функций, в том числе содержащих модуль. Предлагаю тем, кто неуверенно себя чувствует при решении таких заданий, перейти по ссылкам и изучить (или повторить) данные разделы. Задание С3 связано как с исследованием расположения корней квадратного трехчлена, так и с определением области определения функции, и области ее значений. На конкретных примерах мы попробуем научиться решать различные типы таких заданий.

Задача 1. Построить график функции [pmath]y=x^2+4[/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]k[/pmath] график функции [pmath]y=kx[/pmath] имеет с графиком 1 общую точку. Построить все такие прямые.

Задача о касательных к параболе

Графиком предложенной функции является парабола, ветви которой направлены вверх и вершина, которую подняли вверх на 4 единицы, лежит на оси ординат. Ее координаты (0;4). Второй график – это прямая, проходящая через начало координат, причем ее наклон может меняться (его определяет коэффициент [pmath]k[/pmath]). Такая прямая только в одном случае имеет с параболой одну общую точку – если является касательной. Причем, поскольку данная парабола симметрична относительно оси ординат, то к ней можно провести две касательных – с точками касания в первом и третьем квадрантах: Чтобы определить, в какой точке прямая коснется параболы, нужно приравнять обе функции: [pmath]x^2+4=kx[/pmath]

[pmath]x^2-kx+4=0[/pmath]

Поскольку точка касания – единственная общая точка данных графиков, то дискриминант данного уравнения равен нулю: [pmath]D=b^2-4ac=k^2-16=0[/pmath] Откуда [pmath]k^2=16[/pmath] и [pmath]k=pm{4}[/pmath]. Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой: [pmath]x^2+4=4x[/pmath] и решить это уравнение: [pmath]x^2-4x+4=0[/pmath] [pmath](x-2)^2=0[/pmath] Тогда касание произойдет в точке  [pmath]x=2[/pmath] и симметричной ей точке [pmath]x=-2[/pmath].

Задача 2. Построить график функции [pmath]y=-delim{|}{x^2-4x+3}{|}[/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]a[/pmath] график функции [pmath]y=a[/pmath] имеет с графиком три или более общие точки.

График, который подвергнется преобразованиям

Преобразованный график

Строить этот график будем поэтапно: сначала построим график [pmath]y=x^2-4x+3[/pmath], затем – график функции [pmath]y=delim{|}{x^2-4x+3}{|}[/pmath], и, наконец, искомый – [pmath]y=-delim{|}{x^2-4x+3}{|}[/pmath]: Парабола с ветвями, направленными вверх, стандартной формы, координаты вершины (2;-1) Теперь построим график [pmath]y=delim{|}{x^2-4x+3}{|}[/pmath]. Поскольку модуль берется от всего выражения, то, чтобы получить этот график, нужно отразить вверх симметрично относительно оси х все точки, имеющие отрицательную ординату. И, наконец, поставив минус, мы “перевернем” весь график вверх тормашками:

“Опрокидываем” преобразованный график

Осталось выяснить, в каком же случае прямая [pmath]y=a[/pmath]  – а это прямая, параллельная оси абсцисс –  будет иметь три (или же более) общие точки с графиком построенной нами функции. Прямая показана на рисунке зеленым цветом. Видно, что ниже указанного положения прямая будет иметь только две общие точки с графиком. Если [pmath]y=-1[/pmath], то прямая имеет три точки с графиком – пересекает две его ветви и касается вершины. Выше прямая будет иметь четыре точки пересечения с графиком, однако при [pmath]y=0[/pmath] точек пересечения уже снова две. Значит, ответ надо записать так: [pmath]a in [/pmath][-1;0)

Задача 3. Построить график функции [pmath]y=delim{|}{x^2+2x-8}{|}[/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]a[/pmath] график функции [pmath]y=a[/pmath] имеет с ним три и более общие точки.

Исходный график

Окончательный вид

Также построим график в два этапа: саму параболу (координаты ее вершины (-1;-9)), затем отразим всю часть, лежащую ниже оси х, вверх:   Тогда три и более (а именно – четыре) общих точки графики [pmath]y=delim{|}{x^2+2x-8}{|}[/pmath] и  [pmath]y=a[/pmath] будут иметь при [pmath]a in [/pmath](0;9]


Задача 4. Построить график функции [pmath]y={lbrace}matrix{2}{1}{{{x+4, x<=1}} {x^2-6x+10, x>1}}[/pmath][pmath][/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]a[/pmath] график функции [pmath]y=a[/pmath] имеет с ним 2 общие точки.

Из условия ясно, что такой график состоит из двух кусочков. Один из них – прямая, второй – парабола. Первый существует в точке 1 и левее ее, второй – правее этой точки. Нарисуем эти графики:

Кусочная функция

Координаты вершины параболы:  [pmath]x_0=-{b/2a}=-{-6}/2=3[/pmath];  [pmath]y_0=3^2-6(3)+10=1[/pmath]

Красным показаны прямые  [pmath]y=1[/pmath] и  [pmath]y=5[/pmath] – именно они, и только они, имеют две общие точки с построенным графиком. Ответ:  [pmath]a=1[/pmath],  [pmath]a=5[/pmath].

 Задача 5. Построить график функции [pmath]y={x^3-x^2+25x-25}/{x-1}[/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]k[/pmath] график функции [pmath]y=kx[/pmath] не имеет с графиком общих точек.

Давайте сначала попробуем упростить данное выражение, кроме того, нужно, безусловно, определить область допустимых значений данной функции. ОДЗ: [pmath]x<>1[/pmath][pmath][/pmath]. Теперь попробуем упростить данное выражение:[pmath]y={x^3-x^2+25x-25}/{x-1}=[/pmath][pmath]{x^2(x-1)+25(x-1)}/{x-1}=[/pmath][pmath]{(x-1)(x^2+25)}/{x-1}=[/pmath][pmath]x^2+25[/pmath]

Определение коэффициента наклона касательной

Полученная функция – квадратичная, ее графиком является парабола. Данная парабола симметрична относительно оси y, ее вершина имеет координаты (0; 25). Необходимо заметить, что точка с координатами (1; 26) – выколотая точка (по ОДЗ). Тогда прямая, проходящая через начало координат – а именно таким будет график функции  [pmath]y=kx[/pmath], не будет иметь с параболой общих точек в трех случаях: если коэффициент [pmath]k[/pmath] меньше, чем у касательной, расположенной справа, или он больше, чем у касательной, расположенной слева, или искомая прямая проходит прямо через выколотую точку. Наверное, проще найти каков этот коэффициент именно в третьем случае: так как прямая проходит через начало координат, достаточно подставить координаты нашей выколотой точки в уравнение прямой и найти [pmath]k[/pmath]: [pmath]26=k*1[/pmath], откуда [pmath]k=26[/pmath]. Проверим, не будет ли такая прямая иметь общих точек с параболой. Приравняем [pmath]y=26x=x^2+25[/pmath]. По сумме коэффициентов это уравнение имеет корень 1, но и второй корень – 25, поэтому такая прямая будет иметь еще одну точку пересечения с параболой. В ответ эту прямую мы не включим. Теперь определим коэффициент наклона касательных, для этого приравняем оба уравнения:  [pmath]x^2+25=kx[/pmath], и найдем дискриминант, который должен быть равен нулю при наличии единственной общей точки у двух этих графиков функций: [pmath]x^2-kx+25=0[/pmath] [pmath]D=b^2-4ac=k^2-4*25=0[/pmath] Откуда [pmath]k^2=100[/pmath] и [pmath]k=pm{10}[/pmath] Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой: [pmath]x^2+25=10x[/pmath] и решить это уравнение: [pmath]x^2-10x+25=0[/pmath] [pmath](x-5)^2=0[/pmath] Тогда касание произойдет в точке  [pmath]x=5[/pmath] и симметричной ей точке [pmath]x=-5[/pmath]. Ответ: [pmath]k<10[/pmath][pmath][/pmath],  [pmath]k>-10[/pmath][pmath][/pmath].

Задача 6. Построить график функции [pmath]y={x-3}/{x^2-3x}[/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]a[/pmath] он не имеет общих точек с  графиком функции [pmath]y=a[/pmath].

Гипербола с выколотой точкой

Определим ОДЗ функции: [pmath]x<>0[/pmath][pmath][/pmath],  [pmath]x<>3[/pmath][pmath][/pmath]. (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: [pmath]y={x-3}/{x(x-3)}=1/x[/pmath]  – видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка [pmath]x=3[/pmath] – выколотая точка. В точке [pmath]x=0[/pmath] гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты (одна из них войдет в ответ). Тогда, если прямая  [pmath]y=a[/pmath] пройдет через выколотую точку, графики не будут иметь общих точек. Найдем [pmath]a[/pmath]: для этого определим ординату выколотой точки:  [pmath]y=1/x=1/3[/pmath]: Ответ:  [pmath]a=1/3[/pmath] и [pmath]a=0[/pmath].

Задача 7. Построить график функции [pmath]y={x-1}/{x^2-x}[/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]k[/pmath] график функции [pmath]y=kx[/pmath] имеет с графиком 1 общую точку.

Подбор коэффициента наклона прямой

Определим ОДЗ функции: [pmath]x<>0[/pmath][pmath][/pmath],  [pmath]x<>1[/pmath][pmath][/pmath]. (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: [pmath]y={x-1}/{x(x-1)}=1/x[/pmath]  – видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка [pmath]x=1[/pmath] – выколота. В точке [pmath]x=0[/pmath] гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты. Тогда, если прямая  [pmath]y=kx[/pmath] пройдет через выколотую точку, графики  будут иметь одну общую точку. Найдем [pmath]k[/pmath]: для этого подставим в уравнение прямой абсциссу и  ординату выколотой точки:  [pmath]1=k/1[/pmath],  [pmath]k=1[/pmath]: Ответ: [pmath]k=1[/pmath]

Задача 8. Построить график функции [pmath]y=x^2-4delim{|}{x}{|}+3[/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]a[/pmath] график функции [pmath]y=a[/pmath] имеет с ним 2 общие точки.

Построение функции с модулем

Эта функция – функция типа [pmath]y=f(delim{|}{x}{|})[/pmath], и чтобы построить график данной функции, необходимо отразить всю часть графика, расположенную справа от оси х, налево: Тогда, если [pmath]a=-1[/pmath], то график [pmath]y=-1[/pmath] коснется обеих вершинок нашей “дублированной” параболы, то есть [pmath]a=-1[/pmath] – один из ответов. Также, если  [pmath]a>3[/pmath], то  [pmath]y=a[/pmath] пересечет обе ветви параболы, то есть все [pmath]a>3[/pmath][pmath][/pmath] нас устраивают. Ответ: [pmath]a=-1[/pmath],[pmath]a>3[/pmath][pmath][/pmath].

Задача 9. Построить график функции [pmath]y={(x^2-2x)delim{|}{x}{|}}/{x-2}[/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]c[/pmath] график функции [pmath]y=c[/pmath] не имеет с ним общих точек.

Кубическая парабола с выколотой точкой

Определим ОДЗ исходной функции: [pmath]x<>2[/pmath][pmath][/pmath]. Теперь можно упростить выражение: [pmath]y={{(x^2-2x)}delim{|}{x}{|}}/{x-2}=[/pmath][pmath]={{(x(x-2))}delim{|}{x}{|}}/{x-2}=[/pmath][pmath]={{x}delim{|}{x}{|}}[/pmath].

График представлен на рисунке. Не забудем про выколотую точку – это точка с координатами (2;4). Поэтому, если прямая [pmath]y=c[/pmath] пройдет именно через эту точку, она не  будет иметь  общих точек с полученным нами графиком. Ответ: с=4.

Задача 10. Построить график функции [pmath]y=delim{|}{x-1}{|}-delim{|}{x+1}{|}+x[/pmath] и определить, при каких значениях [pmath]k[/pmath] график функции [pmath]y=kx[/pmath] имеет с ним одну общую точку.

Для того, чтобы построить данный график, необходимо раскрыть модули. С этой целью приравняем подмодульное выражение к нулю, чтобы узнать, в какой точке оно меняет знак: [pmath]x-1=0[/pmath] [pmath]x=1[/pmath] и [pmath]x+1=0[/pmath] [pmath]x=-1[/pmath] Нанесем эти точки на числовую прямую и расставим знаки:

 

У нас получились три интервала, на каждом из которых можно теперь раскрыть модули: 1. [pmath]y=1-x-({-}x-1)+x=x+2, x<=-1[/pmath][pmath][/pmath] 2. [pmath]y=1-x-x-1+x=-x, -1<=x<=1[/pmath][pmath][/pmath] 3. [pmath]y=x-1-(x+1)+x=x-2, x>=1[/pmath][pmath][/pmath] Тогда наша функция – кусочно-линейная: [pmath]y={lbrace}matrix{3}{1}{{x+2, x<=-1} {-x, -1<=x<=1}{x-1, x>=1}}[/pmath][pmath][/pmath].

Она выглядит так:

Кусочно-линейная функция

Зеленым цветом показано одно из возможных положений прямой  [pmath]y=kx[/pmath]. При таком расположении прямой [pmath]k>1[/pmath][pmath][/pmath], и может расти бесконечно. Заметим, что крайнее положение прямой – при k=1. При таком коэффициенте наклона она параллельна правой и левой частям графика, и имеет с ним одну точку пересечения – точку (0;0). Точно так же коэффициент наклона может быть и отрицательным. При этом коэффициент k=-1 – не войдет в ответ, так как в этом случае функция [pmath]y=kx[/pmath] будет иметь общий отрезок с кусочно-линейной функцией, что не соответствует требованиям задачи. Таким образом,

Ответ: [pmath]k in ({-{infty}};-1)union{[}1;{infty}[/pmath]).

Задача 11. При каких [pmath]m[/pmath] вершины парабол [pmath]y=-x^2+4mx-m[/pmath] и [pmath]y=x^2+2mx-2[/pmath] расположены по одну сторону от оси х?

Обратим внимание на то, что у двух данных парабол ветви направлены в разные стороны: у первой старший коэффициент отрицателен, а у второй – положителен. Поэтому вершины будут лежать по одну сторону от оси, если одна из них будет иметь точки пересечения с осью х, а другая – нет. Иными словами, дискриминант одного квадратного уравнения должен быть положителен, а другого – отрицателен. Это приводит нас к двум системам неравенств:

Дискриминант и наличие пересечений параболы с осью х

[pmath]{lbrace}matrix{2}{1}{{D_1>0} {D_2<0}}[/pmath][pmath][/pmath].

Или же наоборот: [pmath]{lbrace}matrix{2}{1}{{D_1<0} {D_2>0}}[/pmath][pmath][/pmath]. Эти два случая изображены на рисунке:

Определим дискриминанты обоих квадратных уравнений:

[pmath]D_1=b^2-4ac=16m^2-4(-1)({-}m)=16m^2-4m[/pmath]

[pmath]D_1=b^2-4ac=(2m)^2-4(1)(-2)=4m^2+8[/pmath]

Тогда имеем систему неравенств:

[pmath]{lbrace}matrix{2}{1}{{16m^2-4m>0} {4m^2+8<0}}[/pmath][pmath][/pmath] – решений нет, так как квадрат числа – неотрицателен, и сумма квадрата числа с положительным числом не может быть меньше ноля.

[pmath]{lbrace}matrix{2}{1}{{16m^2-4m<0} {4m^2+8>0}}[/pmath][pmath][/pmath] – в этой системе второе неравенство всегда соблюдается, решение первого – [pmath]4m^2-m<0[/pmath][pmath][/pmath], [pmath]m(4m-1)<0[/pmath][pmath][/pmath], [pmath]0<m<1/4[/pmath][pmath][/pmath]

Мы рассмотрели один способ решения – с использованием дискриминанта. Есть еще один способ решения такого задания – с помощью координат вершины параболы. Решим последнюю задачу вторым способом.

Нам потребуется определить координаты вершин обеих парабол:

1. [pmath]x_0=({-}b)/{2a}=({-}4m)/(-2)=2m[/pmath]

[pmath]y_0=({-}2m)^2+4m*2m-m=4m^2-m[/pmath]

2. [pmath]x_0=({-}b)/{2a}=({-}m)/2=-m[/pmath]

[pmath]y_0=({-}m)^2-2m^2-2=-m^2-2[/pmath]

Ординаты вершин должны иметь один знак по условию, тогда имеем систему неравенств:

[pmath]{lbrace}matrix{2}{1}{{4m^2-m<0} {-m^2-2<0}}[/pmath][pmath][/pmath]

[pmath]{lbrace}matrix{2}{1}{{4m^2-m>0} {-m^2-2>0}}[/pmath][pmath][/pmath] – вторая система решений не имеет, а именно, нет решений у второго неравенства, поэтому решим первую. Второе неравенство первой системы справедливо всегда, осталось решить неравенство:

[pmath]{4m^2-m<0}[/pmath][pmath][/pmath]

Решение этого неравенства и есть ответ задачи: [pmath]0<m<1/4[/pmath][pmath][/pmath]

До встречи в новых постах, удачи на экзаменах!

Комментариев - 2

  • |

    Задача 5. Построить график функции y={x^3-x^2+25x-25}/{x-1} и определить, при каких значениях k график функции y=kx не имеет с графиком общих точек.
    В ответе есть, что k =26. Но при этом прямая у=кх пройдем через выколотую точку с х=1, но и пройдет через точку с х= 25, т.е будет иметь одну общую точку. На другой страничке сайта в построении функций Вы сами пишете парабола растет быстрее, чем прямая, значит, будет еще одна точка пересечения. Находим их из уравнения.
    Задача 6. Построить график функции y={x-3}/{x^2-3x} и определить, при каких значениях a он не имеет общих точек с графиком функции y=a. В ответе дается только а=1/3. Но есть еще горизонтальная асимптота с а=0.

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо большое, Майя! Поправила.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *