Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 23 (ГИА С3), Функции

С3 ГИА – построение графиков функций.

Для того, чтобы хорошо решать это задание, нужно быть знакомым с построением различных графиков функций, в том числе содержащих модуль. Предлагаю тем, кто неуверенно себя чувствует при решении таких заданий, перейти по ссылкам и изучить (или повторить) данные разделы. Задание С3 связано как с исследованием расположения корней квадратного трехчлена, так и с определением области определения функции, и области ее значений. На конкретных примерах мы попробуем научиться решать различные типы таких заданий.

Задача 1. Построить график функции y=x^2+4 и определить, при каких значениях k график функции y=kx имеет с графиком 1 общую точку. Построить все такие прямые.

Задача о касательных к параболе

Графиком предложенной функции является парабола, ветви которой направлены вверх и вершина, которую подняли вверх на 4 единицы, лежит на оси ординат. Ее координаты (0;4). Второй график – это прямая, проходящая через начало координат, причем ее наклон может меняться (его определяет коэффициент k). Такая прямая только в одном случае имеет с параболой одну общую точку – если является касательной. Причем, поскольку данная парабола симметрична относительно оси ординат, то к ней можно провести две касательных – с точками касания в первом и третьем квадрантах: Чтобы определить, в какой точке прямая коснется параболы, нужно приравнять обе функции: x^2+4=kx

x^2-kx+4=0

Поскольку точка касания – единственная общая точка данных графиков, то дискриминант данного уравнения равен нулю: D=b^2-4ac=k^2-16=0 Откуда k^2=16 и k=pm{4}. Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой: x^2+4=4x и решить это уравнение: x^2-4x+4=0 (x-2)^2=0 Тогда касание произойдет в точке  x=2 и симметричной ей точке x=-2.

Задача 2. Построить график функции y=-delim{|}{x^2-4x+3}{|} и определить, при каких значениях a график функции y=a имеет с графиком три или более общие точки.

График, который подвергнется преобразованиям

Преобразованный график

Строить этот график будем поэтапно: сначала построим график y=x^2-4x+3, затем – график функции y=delim{|}{x^2-4x+3}{|}, и, наконец, искомый – y=-delim{|}{x^2-4x+3}{|}: Парабола с ветвями, направленными вверх, стандартной формы, координаты вершины (2;-1) Теперь построим график y=delim{|}{x^2-4x+3}{|}. Поскольку модуль берется от всего выражения, то, чтобы получить этот график, нужно отразить вверх симметрично относительно оси х все точки, имеющие отрицательную ординату. И, наконец, поставив минус, мы “перевернем” весь график вверх тормашками:

“Опрокидываем” преобразованный график

Осталось выяснить, в каком же случае прямая y=a  – а это прямая, параллельная оси абсцисс –  будет иметь три (или же более) общие точки с графиком построенной нами функции. Прямая показана на рисунке зеленым цветом. Видно, что ниже указанного положения прямая будет иметь только две общие точки с графиком. Если y=-1, то прямая имеет три точки с графиком – пересекает две его ветви и касается вершины. Выше прямая будет иметь четыре точки пересечения с графиком, однако при y=0 точек пересечения уже снова две. Значит, ответ надо записать так: a in[-1;0)

Задача 3. Построить график функции y=delim{|}{x^2+2x-8}{|} и определить, при каких значениях a график функции y=a имеет с ним три и более общие точки.

Исходный график

Окончательный вид

Также построим график в два этапа: саму параболу (координаты ее вершины (-1;-9)), затем отразим всю часть, лежащую ниже оси х, вверх:   Тогда три и более (а именно – четыре) общих точки графики y=delim{|}{x^2+2x-8}{|} и  y=a будут иметь при a in(0;9]


Задача 4. Построить график функции y={lbrace}matrix{2}{1}{{{x+4, x<=1}} {x^2-6x+10, x>1}}” title=”y={lbrace}matrix{2}{1}{{{x+4, x<=1}} {x^2-6x+10, x>1}}”/><img src= и определить, при каких значениях a график функции y=a имеет с ним 2 общие точки.

Из условия ясно, что такой график состоит из двух кусочков. Один из них – прямая, второй – парабола. Первый существует в точке 1 и левее ее, второй – правее этой точки. Нарисуем эти графики:

Кусочная функция

Координаты вершины параболы:  x_0=-{b/2a}=-{-6}/2=3;  y_0=3^2-6(3)+10=1

Красным показаны прямые  y=1 и  y=5 – именно они, и только они, имеют две общие точки с построенным графиком. Ответ:  a=1,  a=5.

 Задача 5. Построить график функции y={x^3-x^2+25x-25}/{x-1} и определить, при каких значениях k график функции y=kx не имеет с графиком общих точек.

Давайте сначала попробуем упростить данное выражение, кроме того, нужно, безусловно, определить область допустимых значений данной функции. ОДЗ: x<>1″ title=”x<>1″/><img src=. Теперь попробуем упростить данное выражение:y={x^3-x^2+25x-25}/{x-1}={x^2(x-1)+25(x-1)}/{x-1}={(x-1)(x^2+25)}/{x-1}=x^2+25

Определение коэффициента наклона касательной

Полученная функция – квадратичная, ее графиком является парабола. Данная парабола симметрична относительно оси y, ее вершина имеет координаты (0; 25). Необходимо заметить, что точка с координатами (1; 26) – выколотая точка (по ОДЗ). Тогда прямая, проходящая через начало координат – а именно таким будет график функции  y=kx, не будет иметь с параболой общих точек в трех случаях: если коэффициент k меньше, чем у касательной, расположенной справа, или он больше, чем у касательной, расположенной слева, или искомая прямая проходит прямо через выколотую точку. Наверное, проще найти, каков этот коэффициент именно в третьем случае: так как прямая проходит через начало координат, достаточно подставить координаты нашей выколотой точки в уравнение прямой и найти k26=k*1, откуда k=26. Теперь определим коэффициент наклона касательных, для этого приравняем оба уравнения:  x^2+25=kx, и найдем дискриминант, который должен быть равен нулю при наличии единственной общей точки у двух этих графиков функций: x^2-kx+25=0 D=b^2-4ac=k^2-4*25=0 Откуда k^2=100 и k=pm{10} Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой: x^2+25=10x и решить это уравнение: x^2-10x+25=0 (x-5)^2=0 Тогда касание произойдет в точке  x=5 и симметричной ей точке x=-5. Ответ: k<10,  k>-10″ title=”k>-10″/><img src= и  k=26.

Задача 6. Построить график функции y={x-3}/{x^2-3x} и определить, при каких значениях a он не имеет общих точек с  графиком функции y=a.

Гипербола с выколотой точкой

Определим ОДЗ функции: x<>0″ title=”x<>0″/><img src=,  x<>3″ title=”x<>3″/><img src=. (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: y={x-3}/{x(x-3)}=1/x  – видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка x=3 – выколотая точка. В точке x=0 гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты. Тогда, если прямая  y=a пройдет через выколотую точку, графики не будут иметь общих точек. Найдем a: для этого определим ординату выколотой точки:  y=1/x=1/3: Ответ:  a=1/3.

Задача 7. Построить график функции y={x-1}/{x^2-x} и определить, при каких значениях k график функции y=kx имеет с графиком 1 общую точку.

Подбор коэффициента наклона прямой

Определим ОДЗ функции: x<>0″ title=”x<>0″/><img src=,  x<>1″ title=”x<>1″/><img src=. (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение: y={x-1}/{x(x-1)}=1/x  – видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка x=1 – выколота. В точке x=0 гипербола не существует, оси координат – ее асимптоты. Тогда, если прямая  y=kx пройдет через выколотую точку, графики  будут иметь одну общую точку. Найдем k: для этого подставим в уравнение прямой абсциссу и  ординату выколотой точки:  1=k/1,  k=1: Ответ: k=1

Задача 8. Построить график функции y=x^2-4delim{|}{x}{|}+3 и определить, при каких значениях a график функции y=a имеет с ним 2 общие точки.

Построение функции с модулем

Эта функция – функция типа y=f(delim{|}{x}{|}), и чтобы построить график данной функции, необходимо отразить всю часть графика, расположенную справа от оси х, налево: Тогда, если a=-1, то график y=-1 коснется обеих вершинок нашей “дублированной” параболы, то есть a=-1 – один из ответов. Также, если  a>3″ title=”a>3″/>, то  <img src= пересечет обе ветви параболы, то есть все a>3″ title=”a>3″/><img src= нас устраивают. Ответ: a=-1,a>3″ title=”a>3″/><img src=.

Задача 9. Построить график функции y={(x^2-2x)delim{|}{x}{|}}/{x-2} и определить, при каких значениях c график функции y=c не имеет с ним общих точек.

Кубическая парабола с выколотой точкой

Определим ОДЗ исходной функции: x<>2″ title=”x<>2″/><img src=. Теперь можно упростить выражение: y={{(x^2-2x)}delim{|}{x}{|}}/{x-2}=={{(x(x-2))}delim{|}{x}{|}}/{x-2}=={{x}delim{|}{x}{|}}.

График представлен на рисунке. Не забудем про выколотую точку – это точка с координатами (2;4). Поэтому, если прямая y=c пройдет именно через эту точку, она не  будет иметь  общих точек с полученным нами графиком. Ответ: с=4.

Задача 10. Построить график функции y=delim{|}{x-1}{|}-delim{|}{x+1}{|}+x и определить, при каких значениях k график функции y=kx имеет с ним одну общую точку.

Для того, чтобы построить данный график, необходимо раскрыть модули. С этой целью приравняем подмодульное выражение к нулю, чтобы узнать, в какой точке оно меняет знак: x-1=0 x=1 и x+1=0 x=-1 Нанесем эти точки на числовую прямую и расставим знаки:

 

У нас получились три интервала, на каждом из которых можно теперь раскрыть модули: 1. y=1-x-({-}x-1)+x=x+2, x<=-1 2. y=1-x-x-1+x=-x, -1<=x<=1 3. y=x-1-(x+1)+x=x-2, x>=1″ title=”y=x-1-(x+1)+x=x-2, x>=1″/><img src= Тогда наша функция – кусочно-линейная: y={lbrace}matrix{3}{1}{{x+2, x<=-1} {-x, -1<=x<=1}{x-1, x>=1}}” title=”y={lbrace}matrix{3}{1}{{x+2, x<=-1} {-x, -1<=x<=1}{x-1, x>=1}}”/><img src=.

Она выглядит так:

Кусочно-линейная функция

Зеленым цветом показано одно из возможных положений прямой  y=kx. При таком расположении прямой k>1″ title=”k>1″/><img src=, и может расти бесконечно. Заметим, что крайнее положение прямой – при k=1. При таком коэффициенте наклона она параллельна правой и левой частям графика, и имеет с ним одну точку пересечения – точку (0;0). Точно так же коэффициент наклона может быть и отрицательным. При этом коэффициент k=-1 – не войдет в ответ, так как в этом случае функция y=kx будет иметь общий отрезок с кусочно-линейной функцией, что не соответствует требованиям задачи. Таким образом,

Ответ: k in ({-{infty}};-1)union{[}1;{infty}).

Задача 11. При каких m вершины парабол y=-x^2+4mx-m и y=x^2+2mx-2 расположены по одну сторону от оси х?

Обратим внимание на то, что у двух данных парабол ветви направлены в разные стороны: у первой старший коэффициент отрицателен, а у второй – положителен. Поэтому вершины будут лежать по одну сторону от оси, если одна из них будет иметь точки пересечения с осью х, а другая – нет. Иными словами, дискриминант одного квадратного уравнения должен быть положителен, а другого – отрицателен. Это приводит нас к двум системам неравенств:

Дискриминант и наличие пересечений параболы с осью х

{lbrace}matrix{2}{1}{{D_1>0} {D_2<0}}.

Или же наоборот: {lbrace}matrix{2}{1}{{D_1<0} {D_2>0}}” title=”{lbrace}matrix{2}{1}{{D_1<0} {D_2>0}}”/><img src=. Эти два случая изображены на рисунке:

Определим дискриминанты обоих квадратных уравнений:

D_1=b^2-4ac=16m^2-4(-1)({-}m)=16m^2-4m

D_1=b^2-4ac=(2m)^2-4(1)(-2)=4m^2+8

Тогда имеем систему неравенств:

{lbrace}matrix{2}{1}{{16m^2-4m>0} {4m^2+8<0}} – решений нет, так как квадрат числа – неотрицателен, и сумма квадрата числа с положительным числом не может быть меньше ноля.

{lbrace}matrix{2}{1}{{16m^2-4m<0} {4m^2+8>0}}” title=”{lbrace}matrix{2}{1}{{16m^2-4m<0} {4m^2+8>0}}”/><img src= – в этой системе второе неравенство всегда соблюдается, решение первого – 4m^2-m<0m(4m-1)<00<m<1/4

Мы рассмотрели один способ решения – с использованием дискриминанта. Есть еще один способ решения такого задания – с помощью координат вершины параболы. Решим последнюю задачу вторым способом.

Нам потребуется определить координаты вершин обеих парабол:

1. x_0=({-}b)/{2a}=({-}4m)/(-2)=2m

y_0=({-}2m)^2+4m*2m-m=4m^2-m

2. x_0=({-}b)/{2a}=({-}m)/2=-m

y_0=({-}m)^2-2m^2-2=-m^2-2

Ординаты вершин должны иметь один знак по условию, тогда имеем систему неравенств:

{lbrace}matrix{2}{1}{{4m^2-m<0} {-m^2-2<0}}

{lbrace}matrix{2}{1}{{4m^2-m>0} {-m^2-2>0}}” title=”{lbrace}matrix{2}{1}{{4m^2-m>0} {-m^2-2>0}}”/><img src= – вторая система решений не имеет, а именно, нет решений у второго неравенства, поэтому решим первую. Второе неравенство первой системы справедливо всегда, осталось решить неравенство:

{4m^2-m<0}

Решение этого неравенства и есть ответ задачи: 0<m<1/4

До встречи в новых постах, удачи на экзаменах!

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *