С1 ГИА по математике - упрощение выражений. Сокращение дробей

С1 ГИА по математике – упрощение выражений. Сокращение дробей

В этой статье рассмотрим упрощение выражений, а также и сокращение дробей, числители и знаменатели которых состоят из буквенных выражений. Как правило, в таких выражениях нужно поискать формулы сокращенного умножения – они сильно облегчают жизнь. Тем не менее, встречаются и такие задания, где подстановка значения неизвестной без предварительного упрощения делает решение даже проще. Рассмотрим несколько примеров.

1. Найдите значение выражения при a=1/3 :

$1/a-{a^2-25}/{5a}+a/5$

Имеем сумму дробей, и очевидно, что необходимо все привести к общему знаменателю, который равен :

$5/{5a}-{a^2-25}/{5a}+{a^2}/{5a}={30}/{5a}=6/a$

Можем произвести подстановку:

6/a=6*3=18

Ответ: 18

2. Найдите значение выражения при a=5, b=sqrt{3} :

${2a}/{4a^2-10ab}-{5b}/{4a^2-25b^2}$

В знаменателе второй дроби – разность квадратов, а в знаменателе первой можно вынести за скобки общий множитель:

{2a}/{2a(2a-5b)}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}=1/{2a-5b}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}

Приводим к общему знаменателю:

$1/{2a-5b}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}=(2a+5b)/{(2a-5b)(2a+5b)}-{5b}/{(2a-5b)(2a+5b)}={2a}/{4a^2-25b^2}$

Теперь пришло время сделать подстановку:

${2a}/{4a^2-25b^2}=10/{4*25-25*3}=10/25=40/100=0.4$

Ответ: 0,4

3. Найдите значение выражения при c=-1 :

(4/{5c}+{5c}/4+2)*{4c}/{5c+4}

Здесь как раз тот случай, когда вычислительные затраты меньше при непосредственной подстановке без предварительного упрощения выражения:

(4/{5(-1)}+{5(-1)}/4+2)*{4(-1)}/{5(-1)+4}=(-0.8-1.25+2)*4=-0.05*4=-0.2

Ответ: -0,2

4. Найдите значение выражения при a=sqrt{5}, b=sqrt{180} :

${(a+b)^2/{a^3-a^2b-ab^2+b^3}}:{1/{a-b}}$

Упростим выражение:

${(a+b)^2/{a^3+b^3-a^2b-ab^2}}*(a-b)={{(a+b)^2}/{(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)}}*(a-b)=$

$={(a+b)/{(a^2-ab+b^2)-ab}}*(a-b)={(a+b)/{(a-b)^2}}*(a-b)={a+b}/{a-b}$

Сделаем подстановку:

{a+b}/{a-b}={sqrt{5}+sqrt{180}}/{sqrt{5}-sqrt{180}}={sqrt{5}+sqrt{9*4*5}}/{sqrt{5}-sqrt{9*4*5}}={sqrt{5}+6sqrt{5}}/{sqrt{5}-6sqrt{5}}={7sqrt{5}}/(-5sqrt{5})=-1.4

Ответ: -1,4

5. Сократите дробь:

${(t-1)^2(t^2-4)}/{(t^3-8)(t^2-1)}$

В числителе присутствуют как разность квадратов, так и квадрат разности. В знаменателе – разность кубов и разность квадратов. Разложим на “простые кирпичики” каждую из “сборок”:

${(t-1)^2(t^2-4)}/{(t^3-8)(t^2-1)}={(t-1)^2(t-2)(t+2)}/{(t-2)(t^2+2t+4)(t+1)(t-1)}={(t-1)(t+2)}/{(t^2+2t+4)(t+1)}={(t-1)(t+2)}/{(t^2+2t+4)(t+1)}$