Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 21 (ГИА С1)

С1 ГИА по математике – упрощение выражений, содержащих корни

 

 

Рассмотрим задачи, связанные с упрощением выражений, содержащих иррациональные числа.

1.          sqrt{a}sqrt{b}=sqrt{ab}

2.          sqrt{a}/sqrt{b}=sqrt{a/b}

3.          (sqrt{a})^n=sqrt{a^n}

4.          sqrt{ab}=sqrt{delim{|}{a}{|}}sqrt{delim{|}{b}{|}}

5.          sqrt{a/b}=sqrt{delim{|}{a}{|}}/sqrt{delim{|}{b}{|}}

6.          sqrt{a^n}=(sqrt{delim{|}{a}{|}})^n

7.          root{n}{a}=root{mn}{(a^m)}

8.          root{n}{a}*root{n}{b}=root{n}{ab}

9.          root{n}{a}/root{n}{b}=root{n}{a/b}

10.        root{n}{root{m}{a}}=root{mn}{(a)}

11.        (root{n}{a})^m=root{n}{(a^m)}

 

Решим несколько задач из задания С1:

1.Найдите значение выражения:

{6-4sqrt{2}}/{sqrt{2}-1}-2sqrt{2}

Избавимся от иррациональности в знаменателе. У нас там присутствует разность двух чисел, одно из которых иррациональное. Умножим дробь на сумму этих чисел, тогда в знаменателе окажется разность квадратов, что и позволит избавиться от иррациональности. Этот метод – умножения на сопряженное – используется также и в теории комплексных чисел.

{6-4sqrt{2}}/{sqrt{2}-1}-2sqrt{2}=(6-4sqrt{2})(sqrt{2}+1)/{(sqrt{2}-1)(sqrt{2}+1)}-2sqrt{2}=(6-4sqrt{2})(sqrt{2}+1)/(2-1)-2sqrt{2}

Раскрываем скобки в числителе:

(6sqrt{2}-8+6-4sqrt{2})-2sqrt{2}=2sqrt{2}-2-2sqrt{2}=-2

Ответ: -2

2.Найдите значение выражения:

{6+2sqrt{5}}/{sqrt{5}+1}-sqrt{5}

Так же, домножая на сопряженное, избавляемся от иррациональности в знаменателе:

({6+2sqrt{5})({sqrt{5}-1})}/{({sqrt{5}+1})({sqrt{5}-1})}-sqrt{5}=(6+2sqrt{5})(sqrt{5}-1)/{5-1}-sqrt{5}={6sqrt{5}-6+10-2sqrt{5}}/4-sqrt{5}=sqrt{5}+1-sqrt{5}=1

Ответ:1

В заданиях также часто встречаются такие:

3. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) sqrt{26}

б) 5sqrt{3}

в) 5

г) 2sqrt{3}+3sqrt{2}

Способ решения может быть таким: возведем все эти числа в квадрат. Наибольший квадрат соответствует наибольшему числу:

а) 26

б) 25*3=75

в) 25

г) (2sqrt{3}+3sqrt{2})^2=4*3+12sqrt{6}+18=30+12sqrt{6}

Осталось выбрать из чисел б) и г). Здесь нужно вспомнить, что sqrt{6}<sqrt{9}

Тогда  30+12sqrt{6}<30+12sqrt{9}

30+12sqrt{6}<30+12*3

30+12sqrt{6}<66<75

Значит, среди представленных чисел число 5sqrt{3} – наибольшее.

Ответ: б)

 

 

Решим еще одно такое задание:

4. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) sqrt{24}

б) 2sqrt{8}

в) 6

г) sqrt{8}+sqrt{10}

Возводим в квадраты:

а) 24

б) 4*8=32

в) 36

г) (sqrt{8}+sqrt{10})^2=8+2sqrt{80}+10=18+2sqrt{80}

Подумаем, к какому числу близко число sqrt{80}? Оно меньше 9, но больше 8, так как sqrt{64}<sqrt{80}<sqrt{81}

Тогда 18+2sqrt{64}<18+2sqrt{80}<18+2sqrt{81}, и 34<18+2sqrt{80}<36.

Число 6 – наибольшее.

Ответ: в)

Попробуем теперь упрощать выражения, содержащие корни.

5. Упростите выражение:

{sqrt{2}*sqrt{99}}/sqrt{66}

Воспользуемся свойствами корня. “Втащим” все под один корень:

sqrt{198}/sqrt{66}=sqrt{198/66}=sqrt{{11*18}/{6*11}}=sqrt{3}

Ответ: sqrt{3}

6. Найдите значение выражения:

5sqrt{23}*2sqrt{2}*sqrt{46}

Представим число 46 как 23*2:

5sqrt{23}*2sqrt{2}*sqrt{23*2}=5sqrt{23}*2sqrt{2}*sqrt{23}*sqrt{2}

Теперь переставим сомножители:

5sqrt{23}*sqrt{23}*2sqrt{2}*sqrt{2}=5sqrt{23^2}*2sqrt{2^2}=5*23*2*2=20*23=230*2=460

Ответ: 460.

Еще один тип заданий:

7. Какое из чисел sqrt{80},sqrt{0,49},sqrt{17{1/9}}является рациональным?

Рациональным является число, представимое сократимой дробью. Попробуем записать наши числа иначе:

sqrt{80}=sqrt{4*4*5}=4sqrt{5}

sqrt{0,49}=sqrt{49/100}=7/10

sqrt{17{1/9}}=sqrt{154/9}

Ни первое, ни третье числа не являются сократимыми дробями, значит, они иррациональны.

Ответ: sqrt{0,49}

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *