Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 21 (ГИА С1)

С1 ГИА по математике – решение уравнений и систем уравнений.

 

 

Один из способов решения уравнений – это замена переменной. Очень часто он может упростить решение очень значительно, и даже может быть единственным методом решения. Рассмотрим примеры:

1. (x^2-2x)^2-7x^2+14x-8=0

В данном случае замена уже подсказана нам:

x^2-2x=t, это выражение присутствует в уравнении в квадрате, значит, введя замену, получим квадратное уравнение. Тогда это выражение может присутствовать в уравнении и в первой степени, нужно только отыскать его, выделить, определив, с каким множителем оно вошло в уравнение:

(x^2-2x)^2-7(x^2-2x)-8=0

Вводим замену и уравнение становится таким:

t^2-7t-8=0

Получили обычное квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета, или рассчитать дискриминант. В данном случае подобрать корни действительно несложно:

t_1=-1, t_2=8

Тогда уравнение превращается в два следующих уравнения:

x^2-2x=-1  или x^2-2x=8

Осталось решить их, и получим четыре корня исходного уравнения. Решение первого:

x^2-2x+1=0

Это полный квадрат, корень:x=1.

Решение второго:

x^2-2x-8=0

Подбираем корни по теореме Виета:

x_1=-2, x_2=4

Ответ: x in {delim{lbrace}{1; {-2}; 4}{rbrace}}

2. Решим уравнение:

x^3+x^2-49x-49=0

Здесь можно произвести не замену, а разложить на множители, даже если сначала общий множитель и не очевиден. Давайте попробуем его выделить:

x^2(x+1)-49(x+1)=0

(x^2-49)(x+1)=0

Корни очевидны – x_1=-7, x_2=7, x_3=-1

Ответ: x in {delim{lbrace}{7; {-7}; -1}{rbrace}}

3. Решим уравнение:

x^3-2x^2-64x+128=0

Разложим на множители:

x^2(x-2)-64(x-2)=0

(x^2-64)(x-2)=0

Корни очевидны – x_1=-8, x_2=8, x_3=2

Ответ: x in {delim{lbrace}{8; {-8}; 2}{rbrace}}

 

 

4. Решим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+y=17} {xy-9y-9x+81=0}}}{ }

Первое уравнение подскажет путь решения. Действительно, представим второе уравнение в таком виде:

xy-9(y+x)+81=0

Тогда сумму y+x можем заменить на число 17, воспользовавшись первым уравнением. Получим:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+y=17} {xy-{9*17}+81=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+y=17} {xy-72=0}}}{ }

Теперь система очень упростилась, из второго уравнения можем выразить либо х, либо у. Выразим х и подставим в первое уравнение системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+y=17} {xy=72}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{72/y+y=17} {x=72/y}}}{ }

Первое уравнение станет квадратным, если домножить его на y. Однако при этом возможно возникновение посторонних корней, поэтому полученные корни необходимо подставить в исходную систему и проверить.

72+y^2=17y

y^2-17y+72=0

D=b^2-4ac=17^2-4*72=1

Тогда корни:

y_1={17+1}/2=9

y_2={17-1}/2=8

Таким значениям y соответствуют значения х:

x_1=8

x_2=9

Ответ:(8;9), (9;8) – при записи пар чисел, являющихся ответом решения системы уравнений, эти пары записывают в круглых скобках.

5. Другая система:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-y=4} {xy+5y+3x+15=0}}}{ }

Решим методом подстановки. Выразим переменную y из первого уравнения:

y=x-4

Подставляем во второе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y=x-4} {x(x-4)+5(x-4)+3x+15=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y=x-4} {x^2-4x+5x-20+3x+15=0}}}{ }

Второе уравнение стало квадратным, решим его.

x^2+4x-5=0

Обратим внимание на то, что сумма коэффициентов квадратичной функции равна 0: a+b+c=1+4-5=0.

В таком случае один из корней квадратного уравнения равен 1, а второй можно найти как c/a – смотри здесьподробности

Тогда корни:

x_1=1

x_2={-5}/1=-5

Таким значениям x соответствуют значения y:

y_1=-3

y_2=-9

Ответ:(1;-3), (-5;-9)

6. Еще одна система:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3x-y=15} {{{x+6}/2}-y/3=6}}}{ }

Сначала умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

3(x+6)-2y=36

3x-2y=18

Теперь система легко решится вычитанием второго уравнения из первого:

y=-3

Тогда находим х:

3x=18+2y

3x=12

x=4

Ответ:(4;-3)

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *