С1 ГИА по математике – решение уравнений и систем уравнений.

Один из способов решения уравнений – это замена переменной. Очень часто он может упростить решение очень значительно, и даже может быть единственным методом решения. Рассмотрим примеры:

1.

В данном случае замена уже подсказана нам:

, это выражение присутствует в уравнении в квадрате, значит, введя замену, получим квадратное уравнение. Тогда это выражение может присутствовать в уравнении и в первой степени, нужно только отыскать его, выделить, определив, с каким множителем оно вошло в уравнение:

Вводим замену и уравнение становится таким:

Получили обычное квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета, или рассчитать дискриминант. В данном случае подобрать корни действительно несложно:

Тогда уравнение превращается в два следующих уравнения:

 или 

Осталось решить их, и получим четыре корня исходного уравнения. Решение первого:

Это полный квадрат, корень:.

Решение второго:

Подбираем корни по теореме Виета:

Ответ:

2. Решим уравнение:

Здесь можно произвести не замену, а разложить на множители, даже если сначала общий множитель и не очевиден. Давайте попробуем его выделить:

Корни очевидны – 

Ответ:

3. Решим уравнение:

Разложим на множители:

Корни очевидны – 

Ответ:

4. Решим систему уравнений:

Первое уравнение подскажет путь решения. Действительно, представим второе уравнение в таком виде:

Тогда сумму  можем заменить на число 17, воспользовавшись первым уравнением. Получим:

Теперь система очень упростилась, из второго уравнения можем выразить либо х, либо у. Выразим х и подставим в первое уравнение системы:

Первое уравнение станет квадратным, если домножить его на . Однако при этом возможно возникновение посторонних корней, поэтому полученные корни необходимо подставить в исходную систему и проверить.

Тогда корни:

Таким значениям y соответствуют значения х:

Ответ:(8;9), (9;8) – при записи пар чисел, являющихся ответом решения системы уравнений, эти пары записывают в круглых скобках.

5. Другая система:

Решим методом подстановки. Выразим переменную из первого уравнения:

Подставляем во второе:

Второе уравнение стало квадратным, решим его.

Обратим внимание на то, что сумма коэффициентов квадратичной функции равна 0: .

В таком случае один из корней квадратного уравнения равен 1, а второй можно найти как  – смотри здесьподробности

Тогда корни:

Таким значениям x соответствуют значения y:

Ответ:(1;-3), (-5;-9)

6. Еще одна система:

Сначала умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

Теперь система легко решится вычитанием второго уравнения из первого:

Тогда находим х:

Ответ:(4;-3)