Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 21 (ГИА С1)

С1 ГИА по математике – работа с параметром



Порой в задачах С1 встречаются такие задания, для решения которых необходимо хорошо помнить, что такое квадратичная функция, как от коэффициентов квадратного уравнения зависит расположение параболы в координатных осях, сколько корней имеет квадратное уравнение в том или ином случае, помнить теорему Виета, знать, как составить квадратное уравнение по его корням и т.п.

Рассмотрим несколько заданий разных типов, например:

1. Один из корней данного уравнения равен 4, найдите второй корень и число а:

x^2+x-a=0

Уравнение приведенное, его коэффициенты можно определить по теореме Виета:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-1} {x_1*x_2=-a}}}{ }

Подставляем известный корень:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4+x_2=-1} {4*x_2=-a}}}{ }

Из первого уравнения x_2=-5, тогда a=20

Ответ:  x_2=-5, a=20

2. Один из корней данного уравнения равен 4, найдите второй корень и число а:

x^2-ax-8=0

Воспользуемся теоремой Виета:delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=a} {x_1*x_2=-8}}}{ }

Подставляем известный корень:delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4+x_2=a} {4*x_2=-8}}}{ }

Из второго уравнения x_2=-2, тогда a=2

Ответ:  x_2=-2, a=2

3. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -5 и 8.

Приведенное квадратное уравнение записывается: x^2+px+q=0

Снова обратимся к теореме Виета.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-p} {x_1*x_2=q}}}{ }

Тогда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(-5)+8=-p} {(-5)*8=q}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{p=-3} {q=-40}}}{ }

Ответ:  x^2-3x-40=0

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: 9 и -4.

Решение аналогично:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-p} {x_1*x_2=q}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(-4)+9=-p} {(-4)*9=q}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{p=-5} {q=-36}}}{ }

Ответ:  x^2-5x-36=0



5.  Квадратное уравнение x^2+bx+3=0 имеет один корень, равный 1. Найдите коэффициент b и другой корень.

Здесь используем тот факт (вытекающий, кстати, тоже из теоремы Виета), что, если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то один из корней равен 1, а другой c/a:

Уравнение:

ax^2+bx+c=0

a+b+c=0 {doubleright} x_1=1, x_2=c/a

В таком случае наш второй корень равен 3, а коэффициент b=-4 

Теперь решим эту же задачу “в лоб”, пользуясь теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-p} {x_1*x_2=q}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1+x_2=-p} {1*x_2=3}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{p=-4} {x_2=3}}}{ }

Ответ:  x_2=3, b=-4

6. Квадратное уравнение 3x^2+5x+2m=0 имеет один корень, равный (-1). Найдите коэффициент m и другой корень.

Здесь используем второй важный факт: если сумма коэффициентов квадратного уравнения a+c равна b, то один из корней равен (-1), а другой (-c/a):

Уравнение:

ax^2+bx+c=0

a-b+c=0 {doubleright} x_1=-1, x_2=-c/a

В этом случае наш второй корень равен  x_2={-2m}/3=-2/3 , а коэффициент m=-1 

Ответ:  m=-1, x_2=-2/3

7. Один из корней квадратного уравнения x^2+3x+c=0 больше другого на 1. Найдите корни уравнения и коэффициент c.

Запишем уравнения для корней по теореме Виета:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-p} {x_1*x_2=q}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-3} {x_1*x_2=c}}}{ }

Запишем уравнение по условию задачи:

x_1+1=x_2

Сделаем теперь замену и определим корни и искомый коэффициент:

x_1+x_1+1=-3

x_1=-2

x_2=-1

c=x_1*x_2=2

Уравнение будет записано так:

x^2+3x+2=0

Ответ: x_1=-2, x_2=-1, c=2

8. Отношение корней квадратного уравнения x^2+bx+12=0 равно 3. Найдите корни уравнения и коэффициент b.

Запишем уравнения для корней по теореме Виета:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-p} {x_1*x_2=q}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-b} {x_1*x_2=12}}}{ }

Запишем уравнение по условию задачи:

x_1/x_2=3

Тогда x_1=3x_2

Делаем  замену и определяем корни и искомый коэффициент:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3x_2+x_2=-b} {3x_2*x_2=12}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4x_2=-b} {(x_2)^2=4}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b=pm{8}} {x_2=pm{2}}}}{ }

Значит,  x_1=pm{6}

Так как произведение корней положительно, то имеем два набора подходящих нам корней и коэффициента b:

Ответ: 1. x_1=6, x_2=2, b=-8

2.x_1=-6, x_2=-2, b=8



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *