Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 21 (ГИА С1)

С1 ГИА по математике – неравенства




Встречаются в заданиях C1 также и неравенства и их системы. Давайте вспомним метод интервалов и разберем некоторые приемы решения неравенств.

Начинаем с простых, таких, какие обычно в С1 не встретишь, но вспомнить основы никому не помешает, верно?

1. Решите неравенство:

2x-3<=3-x

Переносим неизвестное в левую часть, числа – в правую (или наоборот, кому как удобно):

2x+x<=6

3x<=6

x<=2

Записываем ответ: x{in} (-{infty};2]

Квадратная скобка показывает, что число 2 входит в ответ.

2. Решите неравенство:

x^2-5x+4>=0″ title=”x^2-5x+4>=0″/><img src=

Неравенство квадратное, воспользуемся методом интервалов. Но для этого надо определить точки перемены знака, поэтому сначала решаем квадратное уравнение:

x^2-5x+4=0

Уравнение приведенное, корни отыскиваются по теореме Виета:

x_1=1; x_2=4

Изобразим эти точки на числовой оси. Это корни квадратного уравнения, значит, это точки, где парабола, построенная по этому уравнению, пересекает ось х. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент положителен):

Точки закрашены, поскольку неравенство нестрогое и точки входят в ответ. Расставляем знаки: на самом правом интервале знак определяет старший коэффициент, он у нас положительный, значит, поставим “плюс”, далее знаки меняются. В ответ включаем те интервалы, над которыми стоит “плюс”:

Ответ: x{in} (-{infty};1]union[4;+{infty})

3. Решите неравенство:

{x^2-x-2}/{x+1}>=0″ title=”{x^2-x-2}/{x+1}>=0″/><img src=

Здесь тоже на помощь придет метод интервалов, но потребуется числитель разложить на множители. Решим для этого уравнение:

x^2-x-2=0

x_1=-1; x_2=2

Тогда запишем наше неравенство так:

{(x+1)(x-2)}/{x+1}>=0″ title=”{(x+1)(x-2)}/{x+1}>=0″/><img src=

Так как и в числителе, и в знаменателе – одно и то же число (x+1), то можем сократить этот множитель, эта операция никак не повлияет на знак неравенства:

x-2>=0″ title=”x-2>=0″/><img src=

x>=2″ title=”x>=2″/><img src=

Ответ: x{in}[2;+{infty})



4. Решите неравенство:

{2x^2-x-1}/{x+2}<=0

Раскладываем числитель на множители, пользуясь тем, что сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна 0:

2x^2-x-1=0

x_1=1; x_2=-0.5

Перепишем неравенство:

{2(x-1)(x+0.5)}/{x+2}<=0

Чтобы решить такое неравенство методом интервалов, отмечаем на числовой оси как корни уравнения 2x^2-x-1=0, так и корни уравнения x+2=0. При этом первые закрашиваем или выкалываем в соответствии со знаком неравенства, а вторые всегда выкалываем, так как знаменатель не должен быть равен нулю:

У нас неравенство нестрогое, поэтому точки (-0.5) и 1 закрашены. Расставляем знаки промежутков знакопостоянства неравенства, начиная с самого правого. В числителе старший член с “плюсом”, в знаменателе  – тоже с “плюсом”, поэтому ставим “плюс” над самым правым промежутком, далее знаки будут меняться, как на рисунке.

В ответ включаем те промежутки, над которыми стоит знак “минус”:

Ответ: x{in}(-{infty};2)union{[}-0.5;1{]}

5. Решите неравенство:

{4x-3}/{3}-{x-3}/2>0″ title=”{4x-3}/{3}-{x-3}/2>0″/><img src=

Умножим оба слагаемых на 6 – так мы избавимся от знаменателей. Поскольку умножаем на положительное число, знак неравенства не изменится:

2(4x-3)-3(x-3)>0″ title=”2(4x-3)-3(x-3)>0″/><img src=

Раскрываем скобки и упрощаем:

8x-6-3x+9>0″ title=”8x-6-3x+9>0″/><img src=

5x+3>0″ title=”5x+3>0″/><img src=

Переносим 3 вправо:

5x>-3″ title=”5x>-3″/><img src=

Делим на коэффициент при х:

x>-3/5″ title=”x>-3/5″/><img src=

Ответ: x{in}(-0.6;{infty})

6. Решите неравенство:

(sqrt{10}-3)(15x-45)>0″ title=”(sqrt{10}-3)(15x-45)>0″/><img src=

Как известно, произведение больше ноля, если оба сомножителя либо одновременно больше ноля, либо меньше. В первой скобке неизвестное отсутствует, то есть в первой скобке заключено число. Наша задача  – понять, положительное оно или отрицательное. Можно догадаться, что sqrt{10}>3″ title=”sqrt{10}>3″/><img src=. то есть разность этих двух чисел – положительна. Тогда и выражение во второй скобке больше нуля:

15x-45>0″ title=”15x-45>0″/><img src=

Осталось решить это простое неравенство:

15x>45″ title=”15x>45″/><img src=

x>3″ title=”x>3″/><img src=

Ответ: x{in} (3;+{infty})

7. Решите неравенство:

x^2(-9-x^2)<9(-9-x^2)

Перенесем все в одну сторону:

x^2(-9-x^2)-9(-9-x^2)<0

(x^2-9)(-9-x^2)<0

Так как число  (-9-x^2) заведомо меньше ноля, значит, второй сомножитель положителен:

x^2-9>0″ title=”x^2-9>0″/><img src=

Решением этого квадратного неравенства будут два промежутка:

Ответ: x{in} (-{infty};-3)union(3;+{infty})

8. Решите систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{2t-1}/2-{4t-6}/5<=0} {4t^2+30>(2t+5)^2-15t}}}{ }” title=”delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{2t-1}/2-{4t-6}/5<=0} {4t^2+30>(2t+5)^2-15t}}}{ }”/><img src=

Будем решать неравенства по одному. Первое умножим на 10, чтобы избавиться от знаменателя сразу в обоих слагаемых:

5(2t-1)-2(4t-6)<=0

Раскроем скобки:

10t-5-8t+12<=0

2t+7<=0

2t<=-7

t<=-3.5

Решаем второе, раскрываем скобки справа:

4t^2+30>4t^2+20t+25-15t” title=”4t^2+30>4t^2+20t+25-15t”/><img src=

Упрощаем:

5>5t” title=”5>5t”/><img src=

t<1

Накладываем решения друг на друга:

 

Общее решение обоих неравенств и будет решением всей системы.

Ответ: x{in} (-{infty};-3.5]

9. Решим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{4m+3}/6<=1} {9m^2-3m+3<-m^2-7m+35}}}{ }

Решаем первое неравенство:

{4m+3}/6<=1

Избавляемся от знаменателя:

4m+3<=6

4m<=3

m<=3/4

Решаем второе:

9m^2-3m+3<-m^2-7m+35

10m^2+4m-32<0

5m^2+2m-16<0

Решим квадратное уравнение, чтобы найти точки перемены знака неравенства:

5m^2+2m-16=0

D=b^2-4ac=4-4*5*(-16)=324

m_1=1.6, m_2=-2

Парабола обращена ветвями вверх, неравенство строгое, поэтому точки выкалываем. Тогда решение второго неравенства:

-2<m<1.6

Накладываем решения неравенств:

 

Ответ: x{in} (-2;0.75]


Комментариев - 2

  • Станислав
    |

    В 5 номере ответ разве не (-0,6;+бесконечность)?

    Ответить
    • Анна
      |

      Ну конечно!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *