Рыбак на льду

[latexpage]

Задача о рыбаке на зимней рыбалке. Эх, оказаться бы на таком прозрачном льду, что сквозь него дно видно! И какими должны быть морозы, чтобы встал  лед такой толщины, вы только представьте! Кстати, прозрачность льда зависит от наличия в нем пузырьков воздуха. Если лед замерзает медленно, воздух успевает выделиться из воды, и тогда лед будет прозрачным. В холодильнике же замерзание происходит быстро и со всех сторон сразу, поэтому пузырьки оказываются “зажаты” в центре.

Задача. Рыбаку, стоящему на прозрачном льду озера, кажется, что дно находится на глубине $L=2,5$ м от поверхности льда. Найдите действительную глубину озера $H$, если толщина льда $h=65$ см, показатель преломления льда $n_l=1,31$, воды – $n_v=1,33$.

Разрез озера

Проведем продолжение падающего луча (показан рыжим цветом, штрихом). Из точки дна, куда попадет преломленный луч, восставим перпендикуляр. Найдем точку пересечения продолжения падающего луча и перпендикуляра – расстояние до этой  точки и кажется рыбаку глубиной озера (точка A).

Нам нужно определить величину $H$ – но мы ведь можем определить и величину $H-h$ – это в итоге тоже приведет нас к решению. Запишем закон Снеллиуса для границы воздух – лед и для границы раздела лед – вода:

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n_l~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$\frac{\sin \beta}}{\sin{\gamma}}=\frac{n_v}{n_l}~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Теперь для треугольника $ABC$ (прямоугольного с углом $\alpha$) можно записать, что

$$\frac{d}{L}=\operatorname{tg}{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

А для треугольника $KDF$, аналогично,

$$\frac{d-l}{H-h}=\operatorname{tg}{\gamma}~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$

Из (1) следует, что

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n_l}$$

Но, если считать угол малым, то можно перейти от синуса к тангенсу:

$$\operatorname{tg}{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n_l}~~~~~~~~~~~~(5)$$

А из треугольника $FCE$ следует, что

$$\frac{l}{h}=\operatorname{tg}{\beta}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(6)$$

Поэтому, объединяя (5) и (6), получим

$$\frac{l}{h}=\frac{\sin{\alpha}}{n_l}$$

Откуда

$$l=h\frac{\sin{\alpha}}{n_l}$$

Из (3) следует, что

$$d=L\operatorname{tg}{\alpha}\approx  L\sin{\alpha}$$

Из (2) определим $\sin{\gamma}$ (при подстановке синус угла $\beta$ заменен полученным для него выражением):

$$\sin{\gamma}=\frac{\sin{\beta}\cdot n_l}{n_v}\approx\frac{\sin{\alpha}}{n_v}$$

Тогда, подставляя в (4) все полученные величины, и переходя, опять же, от тангенса к синусу вследствие малости угла $\gamma$, получим:

$$\frac{ L- \frac {h}{n_l}}{H-h}\sin{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{n_v}$$

$$H-h= (L- \frac {h}{n_l}) n_v$$

$$H=h+Ln_v-h\frac { n_v }{n_l}$$

$$H= Ln_v+h\left(1-\frac { n_v }{n_l}\right)= 2,5\cdot1,33+0,65\left(1-\frac { 1,33 }{1,31}\right)=3,315$$

Ответ: $H=3,315$ м.