Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика

Рыбак на льду

Задача о рыбаке на зимней рыбалке. Эх, оказаться бы на таком прозрачном льду, что сквозь него дно видно! И какими должны быть морозы, чтобы встал  лед такой толщины, вы только представьте! Кстати, прозрачность льда зависит от наличия в нем пузырьков воздуха. Если лед замерзает медленно, воздух успевает выделиться из воды, и тогда лед будет прозрачным. В холодильнике же замерзание происходит быстро и со всех сторон сразу, поэтому пузырьки оказываются “зажаты” в центре.

Задача. Рыбаку, стоящему на прозрачном льду озера, кажется, что дно находится на глубине L=2,5 м от поверхности льда. Найдите действительную глубину озера H, если толщина льда h=65 см, показатель преломления льда n_l=1,31, воды – n_v=1,33.

Разрез озера

Проведем продолжение падающего луча (показан рыжим цветом, штрихом). Из точки дна, куда попадет преломленный луч, восставим перпендикуляр. Найдем точку пересечения продолжения падающего луча и перпендикуляра – расстояние до этой  точки и кажется рыбаку глубиной озера (точка A).

Нам нужно определить величину H – но мы ведь можем определить и величину H-h – это в итоге тоже приведет нас к решению. Запишем закон Снеллиуса для границы воздух – лед и для границы раздела лед – вода:

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n_l~~~~~~~~~~~~~(1)\]

    \[\frac{\sin \beta}}{\sin{\gamma}}=\frac{n_v}{n_l}~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Теперь для треугольника ABC (прямоугольного с углом \alpha) можно записать, что

    \[\frac{d}{L}=\operatorname{tg}{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~(3)\]

А для треугольника KDF, аналогично,

    \[\frac{d-l}{H-h}=\operatorname{tg}{\gamma}~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)\]

Из (1) следует, что

    \[\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n_l}\]

Но, если считать угол малым, то можно перейти от синуса к тангенсу:

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n_l}~~~~~~~~~~~~(5)\]

А из треугольника FCE следует, что

    \[\frac{l}{h}=\operatorname{tg}{\beta}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(6)\]

Поэтому, объединяя (5) и (6), получим

    \[\frac{l}{h}=\frac{\sin{\alpha}}{n_l}\]

Откуда

    \[l=h\frac{\sin{\alpha}}{n_l}\]

Из (3) следует, что

    \[d=L\operatorname{tg}{\alpha}\approx  L\sin{\alpha}\]

Из (2) определим \sin{\gamma} (при подстановке синус угла \beta заменен полученным для него выражением):

    \[\sin{\gamma}=\frac{\sin{\beta}\cdot n_l}{n_v}\approx\frac{\sin{\alpha}}{n_v}\]

Тогда, подставляя в (4) все полученные величины, и переходя, опять же, от тангенса к синусу вследствие малости угла \gamma, получим:

    \[\frac{ L- \frac {h}{n_l}}{H-h}\sin{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{n_v}\]

    \[H-h= (L- \frac {h}{n_l}) n_v\]

    \[H=h+Ln_v-h\frac { n_v }{n_l}\]

    \[H= Ln_v+h\left(1-\frac { n_v }{n_l}\right)= 2,5\cdot1,33+0,65\left(1-\frac { 1,33 }{1,31}\right)=3,315\]

Ответ: H=3,315 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *