Рыбак на льду

Задача о рыбаке на зимней рыбалке. Эх, оказаться бы на таком прозрачном льду, что сквозь него дно видно! И какими должны быть морозы, чтобы встал  лед такой толщины, вы только представьте! Кстати, прозрачность льда зависит от наличия в нем пузырьков воздуха. Если лед замерзает медленно, воздух успевает выделиться из воды, и тогда лед будет прозрачным. В холодильнике же замерзание происходит быстро и со всех сторон сразу, поэтому пузырьки оказываются “зажаты” в центре.

Задача. Рыбаку, стоящему на прозрачном льду озера, кажется, что дно находится на глубине м от поверхности льда. Найдите действительную глубину озера , если толщина льда см, показатель преломления льда , воды – .

Разрез озера

Проведем продолжение падающего луча (показан рыжим цветом, штрихом). Из точки дна, куда попадет преломленный луч, восставим перпендикуляр. Найдем точку пересечения продолжения падающего луча и перпендикуляра – расстояние до этой  точки и кажется рыбаку глубиной озера (точка A).

Нам нужно определить величину – но мы ведь можем определить и величину – это в итоге тоже приведет нас к решению. Запишем закон Снеллиуса для границы воздух – лед и для границы раздела лед – вода:

Теперь для треугольника (прямоугольного с углом ) можно записать, что

А для треугольника , аналогично,

Из (1) следует, что

Но, если считать угол малым, то можно перейти от синуса к тангенсу:

А из треугольника следует, что

Поэтому, объединяя (5) и (6), получим

Откуда

Из (3) следует, что

Из (2) определим (при подстановке синус угла заменен полученным для него выражением):

Тогда, подставляя в (4) все полученные величины, и переходя, опять же, от тангенса к синусу вследствие малости угла , получим:

Ответ: м.