Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Решение уравнений на основе монотонности функции

В этой статье приведен еще один редкий способ решения уравнений.


Утверждение. Если функция y=f(x) монотонно возрастает, то уравнения f(x)=x и f(f(x)=x имеют одно и то же множество корней.

Следствие. Если n – натуральное число, а функция y=f(x) монотонно возрастает, то уравнения f(x)=x и и f(f(\ldots f(x))\ldots)=x имеют одно и то же множество корней.

Задача 1. Решить уравнение.

    \[x^3-7\sqrt[3]{7x-6}+6=0\]

Перепишем так:

    \[\sqrt[3]{7x-6}=\frac{x^3+6}{7}\]

Возводим в куб:

    \[7x-6=\left(\frac{x^3+6}{7}\right)^3\]

    \[x=\frac{\left(\frac{x^3+6}{7}\right)^3+6}{7}\]

Функция F(x)= \frac{x^3+6}{7} возрастает на всей числовой оси, поэтому в силу приведенного утверждения уравнения f(x)=x и f(f(x)=x имеют одно и то же множество корней.

Поэтому

    \[\frac{x^3+6}{7}=x\]

    \[x^3+6=7x\]

    \[x^3-x-6x+6=0\]

    \[x(x^2-1)-6(x-1)=0\]

    \[(x-1)(x(x+1)-6)=0\]

    \[(x-1)(x^2+x-6)=0\]

Корнями этого уравнения являются числа 1; 2; -3.
Ответ: -3, 1, 2.

Задача 2. Решить уравнение

    \[x^3-8=16\sqrt[3]{ x+1}\]

Перепишем:

    \[x^3=8\left(2\sqrt[3]{ x+1}+1\right)\]

    \[x=2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{ x+1}+1}\]

Рассмотрим функцию f(x)= 2\sqrt[3]{ x+1}. Она возрастает на всей числовой оси, поэтому в силу приведенного утверждения уравнения f(x)=x и f(f(x)=x имеют одно и то же множество корней.

Тогда

    \[2\sqrt[3]{ x+1}=x\]

    \[x^3-8x-8=0\]

    \[x^3+2x^2-2x^2-8x-8=0\]

    \[x^2(x+2)-2(x^2+4x+4)=0\]

    \[x^2(x+2)-2(x+2)^2=0\]

    \[(x+2)(x^2-2x-4)=0\]

Корни x=2 и x=1\pm\sqrt{5}.

 

Приведу еще один способ решить это уравнение.

    \[x^3-8=16\sqrt[3]{ x+1}\]

Перепишем:

    \[\frac{x^3-8}{8}=2\sqrt[3]{ x+1}\]

    \[2\sqrt[3]{ x+1}=t\]

Следовательно,

    \[t^3=8(x+1)\]

    \[x=\frac{t^3-8}{8}\]

Функции t=2\sqrt[3]{ x+1} и t=\frac{x^3-8}{8} взаимно обратные, возрастающие, и их равенство возможно только при x=t.

    \[\frac{x^3-8}{8}=x\]

И далее аналогично (решение выше).

 

Задача 3. Решить систему

    \[\begin{Bmatrix}{ \sqrt{x^2+2+\sqrt{y+x^2+2}}=y}\\{ \sqrt{y^2-7+\sqrt{x+y^2-7}}=x }\end{matrix}\]

 

Рассмотрим функцию f(x;y)= \sqrt{ y+x^2+2}. Она возрастает на всей числовой оси, поэтому в силу приведенного утверждения

    \[\sqrt{ y+x^2+2}=y\]

Аналогично

    \[\sqrt{ x+y^2-7}=x\]

Тогда

 

    \[\begin{Bmatrix}{ x^2=x+y^2-7}\\{ y^2=y+x^2+2 }\end{matrix}\]

 

    \[x^2-x+7=y+x^2+2\]

    \[y = 5-x\]

    \[x^2=x+25-10x+x^2-7\]

    \[9x=18\]

    \[x=2\]

    \[y=3\]

Ответ: (2;3)

Задача 4. Решить уравнение.

    \[\frac{1}{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+\sqrt{x^8+1}}}}=x^{15}\]

Решение. x=0 – не корень уравнения. Поэтому можно записать это уравнение

    \[\frac{1}{x^{15}}= x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+\sqrt{x^8+1}}}\]

Или

 

    \[\frac{1}{x^{16}}= 1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^8}}}}\]

Откуда согласно утверждению

    \[\frac{1}{x^{16}}= 1+\frac{1}{x^{8}}\]

    \[x^{16}+x^8-1=0\]

Можно ввести замену, но можно и обойтись:

    \[D=5\]

    \[x^8=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\]

    \[x=\sqrt[8]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\]

Ответ: x=\sqrt[8]{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *