Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение по окружности, Относительность движения

Решение сложных задач. Движение по кругу

В статье собраны задачи из книги “Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач” на тему “Движение по окружности”. Правда, понадобятся знание формул равноускоренного движения и закон сложения классических скоростей, потому что такие задачи, как правило, сочетают в себе несколько областей знаний.

Задача 1. У мальчика, сидящего на расстоянии м от оси на вращающейся с угловой скоростью рад/с карусели, выпали из кармана с интервалом с два камушка. На каком расстоянии друг от друга ударятся о землю эти камушки, если высота, с которой они упали, равна м?

К задаче 1.

Обозначим искомое расстояние . Тогда по теореме косинусов запишем:

   

Здесь (обозначено жирной рыжей линией) – расстояние, которое пролетят камушки по горизонтали после отрыва от карусели, – неизвестный нам отрезок касательной, – угол, на который повернется карусель за 1 с. Все эти величины нам предстоит определить.

Сначала займемся отрезком . Запишем теорему косинусов для треугольника :

   

Теперь запишем теорему косинусов для треугольника  :

   

Отсюда, приравняв оба выражения, найдем:

   

Теперь определим . Движение камушков по вертикали – свободное падение. С высоты камушки будут падать время . При этом камушки будут обладать линейной скоростью , поэтому улетят на расстояние

   

Наконец, угол поворота карусели:

   

Теперь упростим выражение для :

   

   

Подставим выражение для :

   

Заменим выражение на :

   

Подставим найденный угол:

   

Подставляем :

   

Наконец, извлекаем корень:

   

Подставим числа:

   

Ответ: 6 м.

 

Задача 2. Колесо катится без проскальзывания по ленте транспортера, движущейся горизонтально со скоростью м/с, в направлении движения ленты. Известно, что относительно неподвижного наблюдателя скорость точки , находящейся на ободе колеса на его горизонтальном диаметре, составляет с горизонтом угол . Найти скорость центра колеса относительно неподвижного наблюдателя.

К задаче 2

Тангенс угла равен отношению вертикальной и горизонтальной составляющей скорости:

   

Вертикальная составляющая  скорости точки – скорость точки относительно центра колеса – равна скорости центра колеса относительно мгновенного центра вращения – точки соприкосновения с лентой.

Относительно неподвижного наблюдателя скорость центра колеса равна сумме скоростей колеса (объект относительно системы отсчета) и системы отсчета (лента транспортера). Поэтому чтобы найти скорость объекта относительно системы отсчета, нужно вычесть из скорости точки , а именно, ее горизонтальной составляющей, скорость ленты транспортера:

   

Горизонтальная составляющая скорости как раз равна скорости колеса относительно неподвижного наблюдателя. Тогда:

   

   

   

   

Подставим числа:

   

Ответ: 2,36 м/с

 

Задача 3. Ведущая шестерня радиусом см вращается с постоянной угловой скоростью рад/с и приводит во вращение шестерню радиусом см. В некоторый момент времени метки и совпадают. Через какой минимальный промежуток времени  относительная скорость меток станет равной нулю?

К задаче 3

Вектора линейных скоростей всегда  равны по модулю. Относительная скорость будет равна нулю тогда, когда вектора линейных скоростей будут параллельны. То есть это случится тогда, когда оба вектора вместе, суммарно развернутся на – это минимальное время, до этого момента между векторами всегда есть некоторый угол. Вследствие разных радиусов угловые скорости вращения тоже разные:

   

Отсюда:

   

С другой стороны:

   

   

   

Угол, на который повернется ведущая шестерня, равен , а угол, на который повернется ведомая шестерня, .

Перепишем последнюю пропорцию:

   

   

   

Определим угол :

   

Найдем теперь время:

   

   

   

Ответ: 2,1 с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *