Решение прямоугольных треугольников

1.В тре­уголь­ни­ке ABC  угол C равен , BC = 12 , . Най­ди­те AC.

Задача 1

Эта задача совсем уж простая: из определения тангенса мы знаем, что он численно равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Тогда , или , откуда .

Ответ: 8.

  2. В треугольнике АВС угол С равен  , , ВС=3. Найдите .

Задача 2

Тангенс, по определению, это отношение противолежащего катета к прилежащему. Противолежащий нам известен, а вот прилежащий – нет. Его нужно найти, и для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

Тогда , откуда , , . Теперь можем определить тангенс угла А: .

В бланк мы запишем ответ в десятичном виде: 1,5.

Ответ:  1,5

3. В треугольнике АВС угол С равен  , , AС=2. Найдите .

По определению, косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Поэтому необходимо отыскать величину гипотенузы в этом треугольнике, и опять теорема Пифагора поможет нам в этом.

Задача 3

Тогда: , откуда  , ,  .

Теперь определим косинус угла А:

Не забываем, что вписывать ответ в бланк нужно в десятичном виде: 

Ответ: 0,25

4. В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны, AH –  высота, . Найдите .

Задача 4

Так как треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Это значит, что косинус угла СВА такой же, как и угла ВАС. Тогда в треугольнике АНВ (прямоугольном) мы знаем косинус угла В, а это значит, что и синус угла А в нем такой же:

.

Зная синус угла, всегда можно определить его косинус по основному тригонометрическому тождеству:

Ответ: 0,2

5. В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны 5, . Найдите .

Задача 5

Рассмотрим наш треугольник. Сразу бросается в глаза то, что он равнобедренный. Поэтому угол А будет равен углу B. Мы знаем, что синус угла легко определить в прямоугольном треугольнике, поэтому проведем высоту СН – тогда образуется прямоугольный треугольник ACH. Также CH будет и биссектрисой угла С, и медианой этого треугольника – поскольку он равнобедренный. Тогда, раз СН – медиана, то она поделит сторону АВ нашего треугольника пополам, и отрезки AH  и BH равны:

В прямоугольном треугольнике ACH нам известны катет и гипотенуза, и этого достаточно, чтобы найти искомый синус. Вы скажете: как же так, ведь нам известен прилежащий катет, а нужен противолежащий? Действительно, зная прилежащий катет, можем определить косинус угла А:

Но ведь основное тригонометрическое тождество тоже никто не отменял! Всегда можно найти синус, зная косинус, и наоборот!

Конечно, здесь также можно было воспользоваться теоремой Пифагора, найти катет СН (высоту треугольника) и затем уже найти синус угла А – это второй путь решения данной задачи.

Ответ: 0,4