Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 9 (ГИА В6)

Решение прямоугольных треугольников

 

 

1.В тре­уголь­ни­ке ABC  угол C равен 90{circ}, BC = 12 , tg A=1,5. Най­ди­те AC.

Задача 1

Эта задача совсем уж простая: из определения тангенса мы знаем, что он численно равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Тогда tg A={CB}/{AC}, или 1,5=12/{AC}, откуда AC=12/{1,5}=8.

Ответ: 8.

 

  2. В треугольнике АВС угол С равен  90{circ}AB=sqrt{13}, ВС=3. Найдите tg A.

Задача 2

Тангенс, по определению, это отношение противолежащего катета к прилежащему. Противолежащий нам известен, а вот прилежащий – нет. Его нужно найти, и для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

Тогда {AC}^2={AB}^2-{CB}^2, откуда AC=sqrt{{AB}^2-{CB}^2}AC=sqrt{(sqrt{13})^2-{3}^2}AC=sqrt{4}=2. Теперь можем определить тангенс угла А: tg A=CB/AC=3/2.

В бланк мы запишем ответ в десятичном виде: 1,5.

Ответ:  1,5

3. В треугольнике АВС угол С равен  90{circ}BC=2sqrt{15}, AС=2. Найдите cos A.

По определению, косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Поэтому необходимо отыскать величину гипотенузы в этом треугольнике, и опять теорема Пифагора поможет нам в этом.

Задача 3

Тогда: {AB}^2={AC}^2+{CB}^2, откуда  AB=sqrt{{AC}^2+{CB}^2}, AC=sqrt{(2sqrt{15})^2+{2}^2},  AC=sqrt{2^2*15+4}=8.

Теперь определим косинус угла А:

cos A=AC/AB=2/8=1/4

Не забываем, что вписывать ответ в бланк нужно в десятичном виде: cos A=1/4={25*1}/{4*25}=25/100=0,25

Ответ: 0,25

 

 

4. В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны, AH –  высота, cosBAC={2sqrt{6}}/5. Найдите cos BAH.

Задача 4

Так как треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Это значит, что косинус угла СВА такой же, как и угла ВАС. Тогда в треугольнике АНВ (прямоугольном) мы знаем косинус угла В, а это значит, что и синус угла А в нем такой же:

cos B={HB}/{AB}=sin A.

Зная синус угла, всегда можно определить его косинус по основному тригонометрическому тождеству:

cos^2 A+ sin^2 A=1

cos^2 A=1-sin^2 A

cos A=sqrt{1-sin^2 A}=sqrt{1-{2^2(sqrt{6})^2}/25}=sqrt{25/25-24/25}=sqrt{1/25}=1/5=0,2

Ответ: 0,2

5. В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны 5, AB=2sqrt{21}. Найдите sin A.

Задача 5

Рассмотрим наш треугольник. Сразу бросается в глаза то, что он равнобедренный. Поэтому угол А будет равен углу B. Мы знаем, что синус угла легко определить в прямоугольном треугольнике, поэтому проведем высоту СН – тогда образуется прямоугольный треугольник ACH. Также CH будет и биссектрисой угла С, и медианой этого треугольника – поскольку он равнобедренный. Тогда, раз СН – медиана, то она поделит сторону АВ нашего треугольника пополам, и отрезки AH  и BH равны:

AH=BH=AB/2={2sqrt{21}}/2=sqrt{21}

В прямоугольном треугольнике ACH нам известны катет и гипотенуза, и этого достаточно, чтобы найти искомый синус. Вы скажете: как же так, ведь нам известен прилежащий катет, а нужен противолежащий? Действительно, зная прилежащий катет, можем определить косинус угла А:

cos A=AH/AC=sqrt{21}/5

Но ведь основное тригонометрическое тождество тоже никто не отменял! Всегда можно найти синус, зная косинус, и наоборот!

cos^2 A+ sin^2 A=1

sin^2 A=1-cos^2 A

sin A=sqrt{1-cos^2 A}=sqrt{1-21/25}=sqrt{25/25-21/25}=sqrt{4/25}=2/5=0,4

Конечно, здесь также можно было воспользоваться теоремой Пифагора, найти катет СН (высоту треугольника) и затем уже найти синус угла А – это второй путь решения данной задачи.

Ответ: 0,4

 

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *