Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория относительности

Релятивистское замедление времени

Всем доброго времени суток! Разберем несколько простых задач, чтобы познакомиться с началами теории относительности. Научимся “чувствовать” себя частицами, несущимися со скоростью света…

Задача 1. Во сколько раз увеличивается продолжительность существования нестабильной частицы в ИСО, неподвижной относительно Земли, если частица движется со скоростью u = 0,99c?

Релятивистское замедление времени:

    \[\Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

Следовательно, продолжительность существования увеличится в n раз:

    \[n=\frac{\Delta t }{\Delta t_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

    \[n=\frac{1}{\sqrt{1-(0,99)^2}}=7,09\]

Ответ: увеличится в 7,1 раза.

Задача 2.  Космическая частица движется со скоростью u= 0,95c. Какой промежуток времени \Delta t соответствует t = 1 мкс собственного времени частицы?

Релятивистское замедление времени:

    \[\Delta t=\frac{t}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

    \[\Delta t=\frac{t}{\sqrt{1-0,95^2}}=3,2t\]

Следовательно, 1 мкс будет соответствовать 3,2 мкс.

Релятивистское замедление времени

Задача 3.  Сколько времени t_1 для жителя Земли и t_2 для космонавтов
займет путешествие до звезды и обратно на ракете, летящей со скоростью \upsilon = 0,99c? Расстояние до звезды s= 40 световых лет.

Для жителя Земли время – это путь, деленный на скорость:

    \[t_z=\frac{40c\cdot2}{0,99c}=80,8\]

А для космонавта время идет медленнее:

    \[t_k=t_z\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=80,8\sqrt{1-0,99^2}=11,4\]

Ответ: для жителя земли пройдет почти 81 год, а для космонавта – 11,4 года.

Задача 4.  Длина неподвижного стержня l_0 = 1 м. Определить длину стержня, если он движется со скоростью u= 0,6c.

Релятивистское изменение длины:

    \[l=l_0\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\sqrt{1-0,6^2}=0,8\]

Ответ: 0,8 м.

Задача 5. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит \eta = 25%?

Если укорочение произошло на 25%, следовательно, новая длина – 75% от «старой»:

    \[0,75l_0=l_0\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}\]

    \[(0,75)^2=1-\frac{\upsilon^2}{c^2}\]

    \[\frac{\upsilon^2}{c^2}=1-(0,75)^2\]

    \[\frac{\upsilon}{c}=\sqrt{1-(0,75)^2}=0,66\]

    \[\upsilon=0,66c=1,98\cdot10^8\]

Ответ: при скорости \upsilon=0,66c=1,98\cdot10^8 м/с

Задача 6.  На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость спутника u = 7,9 км/с. На сколько отстанут часы, находящиеся на спутнике, от часов земного наблюдателя за время \tau_0 = 0,5 года?

Релятивистское замедление времени:

    \[\Delta t=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

Следовательно, часы отстанут на время t-\Delta t,

    \[\tau_0-\Delta t=\tau_0 (1-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}})= t(1-\left(1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right)^{-\frac{1}{2}})\]

А вот дальше… Дальше нужно знать биномиальное разложение… Но нас ведь не испугать!

    \[1-\left( 1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right)^{-\frac{1}{2}}=1-(1^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\cdot 1^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(-\frac{u^2}{c^2}\right)+ \frac{\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{2})}{1\cdot2}\cdot 1^{-\frac{3}{2}}\cdot \frac{u^4}{c^4}+ \ldots\right)\]

Так как отношение \left(\frac{u}{c}\right)^2<<1, то в этом разложении оставим только два слагаемых, остальными пренебрежем:

    \[1-(1^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\cdot 1^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(-\frac{u^2}{c^2}\right))= \frac{1}{2}\frac{u^2}{c^2}\]

Тогда

    \[\tau_0-\Delta t=\frac{\tau_0}{2}\frac{u^2}{c^2}=\frac{0,5\cdot365\cdot24\cdot3600}{2}\cdot \frac{7,9^2\cdot10^6}{3^2\cdot10^16}=0,0055\]

Ответ: отстанут на t-\Delta t=0,005 c

 

Задача 7.  Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью u= 0,6c. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

С точки зрения наблюдателя укорочение времени произойдет в \frac{t}{t_0} раз:

    \[\frac{t}{t_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-{0,6}^2}}=\frac{1}{0,8}=1,25\]

Ответ: в 1,25 раза.

Задача 8.  Собственное время жизни мю-мезона \tau_0 = 2 мкс. От точки рождения до точки отсчета в лабораторной  системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l= 6 км. С какой скоростью (в долях скорости света) двигался мю-мезон?

Нужно найти отношение \frac{u}{c}, обозначим это отношение \gamma:

    \[\gamma=\frac{u}{c}\]

Расстояние 6 км – это такое расстояние, которое видит наблюдатель в лабораторной системе отсчета. А какое время для наблюдателя пройдет? 2 мкс – это столько для частицы прошло, а для наблюдателя с учетом замедления:

    \[\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\gamma^2}}\]

Скорость частицы равна u=\frac{l}{\tau}:

    \[u=\frac{ l}{\tau}=\frac{ l\sqrt{1-\gamma^2}}{ \tau_0}\]

    \[\frac{u}{c}=\gamma =\frac{ l\sqrt{1-\gamma^2}}{ c\tau_0}\]

    \[\gamma^2 =\frac{ l^2(1-\gamma^2)}{ c^2\tau_0^2}\]

    \[\gamma^2\left(1+\frac{ l_0^2}{ c^2 \tau_0^2}\right) =\frac{ l_0^2}{c^2 \tau_0^2}\]

    \[\gamma^2=\frac{ l_0^2}{c^2 \tau_0^2}:\frac{ c^2 \tau_0^2}{l_0^2+ c^2 \tau_0^2}=\frac{ l_0^2}{ l_0^2+ c^2 \tau_0^2}\]

    \[\gamma=\sqrt{\frac{ l_0^2}{ l_0^2+ c^2 \tau_0^2}}=\sqrt{\frac{ 36\cdot10^6}{ 36\cdot10^6+ 9\cdot10^{16}\cdot 4 \cdot10^{-12}}}=\sqrt{\frac{1}{1+0,01}}=0,995\]

Задачу можно было бы решить иначе. Мы перешли в лабораторную систему отсчета, а ведь можно было перейти в систему отсчета, связанную с частицей. Тогда нужно было бы не время пересчитать, а расстояние.

Ответ: \gamma=\frac{u}{c}=0,995.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *