[latexpage]
В этой статье будем определять импульс электронов, их скорости, кинетическую энергию, периоды вращения частиц.
Задача 1. Электрон движется со скоростью $\upsilon = 0,6c$. Определить импульс электрона.
$$p=m\upsilon=\frac{m_0\upsilon }{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$$
$$p=\frac{m_0\cdot0,6c }{\sqrt{1-\frac{(0,6c)^2}{c^2}}}=\frac{m_0\cdot0,6c }{0,8}=\frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{8}}{4}=20,475\cdot10^{-23}$$
Задача 2. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в$\eta = 2$ раза превышает ее импульс, определяемый в классической механике.
Импульс частицы в классической механике:
$$p_k=m_0\upsilon$$
Релятивистский импульс:
$$p=m\upsilon$$
По условию $p=2p_k$, приравняем
$$ m\upsilon= 2m_0\upsilon$$
$$m=2m_0=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$$
Сокращаем массы:
$$2=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$$
$$\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{1}{2}$$
Возводим в квадрат:
$$1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{4}$$
$$\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{3}{4}$$
$$\upsilon^2=\frac{3}{4}c^2$$
Извлекаем корень:
$$\upsilon=\frac{\sqrt{3}}{2}c=0,866c$$
Ответ: $\upsilon=0,866c$
Задача 3. Импульс релятивистской частицы $p =m_0c$, где $ m_0$ – масса покоя частицы. Определить скорость частицы.
Релятивистский импульс:
$$p=m\upsilon=m_0 c$$
Откуда
$$\frac{\upsilon }{c}=\frac{m_0}{m}$$
Подставим релятивистскую массу и сократим массу покоя:
$$\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{\upsilon }{c}$$
Возводим в квадрат:
$$1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{\upsilon^2}{c^2}$$
$$\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{2}$$
Извлекаем корень:
$$\upsilon=\frac{1}{\sqrt{2}}c=0,707c$$
Ответ: $\upsilon=0,707c$
Задача 4. Электрон движется в магнитном поле по окружности радиуса $r= 2$ см. Индукция поля $B = 0.1$ Тл. Определить кинетическую энергию электрона.
На электрон действует сила Лоренца:
$$F_l=q \upsilon B$$
Также на него действует центробежная сила:
$$ma_n=\frac{m\upsilon^2}{r}$$
Приравняем силы:
$$ q \upsilon B=\frac{m\upsilon^2}{r}$$
$$ q B=\frac{m\upsilon}{r}$$
$$\upsilon=\frac{qBr}{m}$$
Тогда
$$\upsilon^2=\frac{q^2B^2r^2}{m^2}$$
Кинетическая энергия равна
$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{q^2B^2r^2}{2m}$$
С другой стороны,
$$E_k=mc^2-m_0c^2$$
Кроме того, масса в этом соотношении – релятивистская:
$$mc^2=E_k+m_0c^2$$
$$m=\frac{ E_k }{c^2}+m_0=\frac{E_k+m_0c^2}{c^2}$$
Подставим в формулу для кинетической энергии массу:
$$E_k=\frac{q^2B^2r^2}{2m}=\frac{q^2B^2r^2c^2}{ 2E_k+2m_0c^2}$$
Тогда
$$2E_k^2+2E_km_0c^2= q^2B^2r^2c^2$$
Имеем квадратное уравнение:
$$2E_k^2+2E_km_0c^2- q^2B^2r^2c^2=0$$
$$D=4m_0^2c^4+8q^2B^2r^2c^2$$
Корни:
$$E_k=\frac{\sqrt{4m_0^2c^4+8q^2B^2r^2c^2}-2m_0c^2}{4}=\frac{c(\sqrt{m_0^2c^2+2q^2B^2r^2}-m_0)}{2}$$
Берем только положительный корень.
Ответ: $E_k=\frac{c(\sqrt{m_0^2c^2+2q^2B^2r^2}-m_0)}{2}$
Задача 5. Электрон, кинетическая энергия которого $E_k = 1,5$ МэВ, движется в однородном магнитном поле по окружности. Индукция поля $B = 0,02$ Тл. Определить период его вращения. Энергия покоя электрона $E_0 = 0,5$ МэВ.
На электрон действует сила Лоренца:
$$F_l=q \upsilon B$$
Также на него действует центробежная сила:
$$ma_n=\frac{m\upsilon^2}{r}$$
Приравняем силы:
$$ q \upsilon B=\frac{m\upsilon^2}{r}$$
$$ q B=\frac{m\upsilon}{r}$$
$$\upsilon=\frac{qBr}{m}$$
С другой стороны,
$$\upsilon=\frac{2 \pi r}{T}$$
Тогда период равен:
$$T=\frac{2 \pi m}{qB}$$
Но масса в этом соотношении – релятивистская:
$$mc^2=E_k+m_0c^2$$
$$m=\frac{ E_k }{c^2}+m_0$$
Тогда период равен
$$ T=\frac{2 \pi }{qB}\left(\frac{ E_k }{c^2}+m_0 \right)$$
Ответ: $ T=\frac{2 \pi }{qB}\left(\frac{ E_k }{c^2}+m_0 \right)$.
Задача 6. Определить импульс частицы, если ее кинетическая энергия равна энергии покоя, $ m_0$ – масса покоя частицы.
Полная энергия
$$E=mc^2$$
Кинетическая энергия:
$$E_k=E-E_0=mc^2-m_0c^2= m_0c^2$$
Откуда
$$ mc^2=2m_0c^2$$
$$\frac{m_0}{m}=\frac{1}{2}$$
А с этого момента решение совпадает с решением задачи 2.
Ответ: $\upsilon=0,866c$
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...