Релятивистские частицы

В этой статье будем определять импульс электронов, их скорости, кинетическую энергию, периоды вращения частиц.

Задача 1. Электрон движется со скоростью $\upsilon = 0,6c$ . Определить импульс электрона.

$p=m\upsilon=\frac{m_0\upsilon }{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$

$p=\frac{m_0\cdot0,6c }{\sqrt{1-\frac{(0,6c)^2}{c^2}}}=\frac{m_0\cdot0,6c }{0,8}=\frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{8}}{4}=20,475\cdot10^{-23}$

Задача 2. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в $\eta = 2$ раза превышает ее импульс, определяемый в классической механике.

Импульс частицы в классической механике:

$p_k=m_0\upsilon$

Релятивистский импульс:

$p=m\upsilon$

По условию $p=2p_k$ , приравняем

$m\upsilon= 2m_0\upsilon$

$m=2m_0=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$

Сокращаем массы:

$2=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$

$\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{1}{2}$

Возводим в квадрат:

$1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{4}$

$\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{3}{4}$

$\upsilon^2=\frac{3}{4}c^2$

Извлекаем корень:

$\upsilon=\frac{\sqrt{3}}{2}c=0,866c$

Ответ: $\upsilon=0,866c$
Задача 3. Импульс релятивистской частицы $p =m_0c$ , где $m_0$ – масса покоя частицы. Определить скорость частицы.

Релятивистский импульс:

$p=m\upsilon=m_0 c$

Откуда

$\frac{\upsilon }{c}=\frac{m_0}{m}$

Подставим релятивистскую массу и сократим массу покоя:

$\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{\upsilon }{c}$

Возводим в квадрат:

$1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{\upsilon^2}{c^2}$

$\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{2}$

Извлекаем корень:

$\upsilon=\frac{1}{\sqrt{2}}c=0,707c$

Ответ: $\upsilon=0,707c$

Задача 4. Электрон движется в магнитном поле по окружности радиуса $r= 2$ см. Индукция поля $B = 0.1$ Тл. Определить кинетическую энергию электрона.

На электрон действует сила Лоренца:

$F_l=q \upsilon B$

Также на него действует центробежная сила:

$ma_n=\frac{m\upsilon^2}{r}$

Приравняем силы:

$q \upsilon B=\frac{m\upsilon^2}{r}$

$q B=\frac{m\upsilon}{r}$

$\upsilon=\frac{qBr}{m}$

Тогда

$\upsilon^2=\frac{q^2B^2r^2}{m^2}$

Кинетическая энергия равна

$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{q^2B^2r^2}{2m}$

С другой стороны,

$E_k=mc^2-m_0c^2$

Кроме того, масса в этом соотношении – релятивистская:

$mc^2=E_k+m_0c^2$

$m=\frac{ E_k }{c^2}+m_0=\frac{E_k+m_0c^2}{c^2}$

Подставим в формулу для кинетической энергии массу:

$E_k=\frac{q^2B^2r^2}{2m}=\frac{q^2B^2r^2c^2}{ 2E_k+2m_0c^2}$

Тогда

$2E_k^2+2E_km_0c^2= q^2B^2r^2c^2$

Имеем квадратное уравнение:

$2E_k^2+2E_km_0c^2- q^2B^2r^2c^2=0$

$D=4m_0^2c^4+8q^2B^2r^2c^2$

Корни:

$E_k=\frac{\sqrt{4m_0^2c^4+8q^2B^2r^2c^2}-2m_0c^2}{4}=\frac{c(\sqrt{m_0^2c^2+2q^2B^2r^2}-m_0)}{2}$

Берем только положительный корень.

Ответ: $E_k=\frac{c(\sqrt{m_0^2c^2+2q^2B^2r^2}-m_0)}{2}$

Задача 5. Электрон, кинетическая энергия которого $E_k = 1,5$ МэВ, движется в однородном магнитном поле по окружности. Индукция поля $B = 0,02$ Тл. Определить период его вращения. Энергия покоя электрона $E_0 = 0,5$ МэВ.

На электрон действует сила Лоренца:

$F_l=q \upsilon B$

Также на него действует центробежная сила:

$ma_n=\frac{m\upsilon^2}{r}$

Приравняем силы:

$q \upsilon B=\frac{m\upsilon^2}{r}$

$q B=\frac{m\upsilon}{r}$

$\upsilon=\frac{qBr}{m}$

С другой стороны,

$\upsilon=\frac{2 \pi r}{T}$

Тогда период равен:

$T=\frac{2 \pi m}{qB}$

Но масса в этом соотношении – релятивистская:

$mc^2=E_k+m_0c^2$

$m=\frac{ E_k }{c^2}+m_0$

Тогда период равен

$T=\frac{2 \pi }{qB}\left(\frac{ E_k }{c^2}+m_0 \right)$

Ответ: $T=\frac{2 \pi }{qB}\left(\frac{ E_k }{c^2}+m_0 \right)$ .
Задача 6. Определить импульс частицы, если ее кинетическая энергия равна энергии покоя, $m_0$ – масса покоя частицы.

Полная энергия

$E=mc^2$

Кинетическая энергия:

$E_k=E-E_0=mc^2-m_0c^2= m_0c^2$

Откуда

$mc^2=2m_0c^2$

$\frac{m_0}{m}=\frac{1}{2}$

А с этого момента решение совпадает с решением задачи 2.

Ответ: $\upsilon=0,866c$

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Авг
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Релятивистские частицы

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы