Релятивистские частицы

[latexpage]

В этой статье будем определять импульс электронов, их скорости, кинетическую энергию, периоды вращения частиц.

Задача 1. Электрон движется со скоростью $\upsilon = 0,6c$. Определить импульс электрона.

$$p=m\upsilon=\frac{m_0\upsilon }{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$$
$$p=\frac{m_0\cdot0,6c  }{\sqrt{1-\frac{(0,6c)^2}{c^2}}}=\frac{m_0\cdot0,6c  }{0,8}=\frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{8}}{4}=20,475\cdot10^{-23}$$

Задача 2. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в$\eta = 2$ раза превышает ее импульс, определяемый в классической механике.

Импульс частицы в классической механике:

$$p_k=m_0\upsilon$$

Релятивистский импульс:

$$p=m\upsilon$$

По условию $p=2p_k$, приравняем

$$ m\upsilon= 2m_0\upsilon$$

$$m=2m_0=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$$

Сокращаем массы:

$$2=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}$$

$$\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{1}{2}$$

Возводим в квадрат:

$$1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{4}$$

$$\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{3}{4}$$
$$\upsilon^2=\frac{3}{4}c^2$$

Извлекаем корень:

$$\upsilon=\frac{\sqrt{3}}{2}c=0,866c$$

Ответ: $\upsilon=0,866c$
Задача 3. Импульс релятивистской частицы $p =m_0c$, где $ m_0$ – масса покоя частицы. Определить скорость частицы.

Релятивистский импульс:

$$p=m\upsilon=m_0 c$$

Откуда

$$\frac{\upsilon }{c}=\frac{m_0}{m}$$

Подставим релятивистскую массу и сократим массу покоя:

$$\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{\upsilon }{c}$$

Возводим в квадрат:

$$1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{\upsilon^2}{c^2}$$

$$\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{2}$$

Извлекаем корень:

$$\upsilon=\frac{1}{\sqrt{2}}c=0,707c$$

Ответ: $\upsilon=0,707c$

Задача 4. Электрон движется в магнитном поле по окружности радиуса $r= 2$ см. Индукция поля $B = 0.1$ Тл. Определить кинетическую энергию электрона.

На электрон действует сила Лоренца:

$$F_l=q \upsilon B$$

Также на него действует центробежная сила:

$$ma_n=\frac{m\upsilon^2}{r}$$

Приравняем силы:

$$ q \upsilon B=\frac{m\upsilon^2}{r}$$

$$ q B=\frac{m\upsilon}{r}$$

$$\upsilon=\frac{qBr}{m}$$

Тогда

$$\upsilon^2=\frac{q^2B^2r^2}{m^2}$$

Кинетическая энергия равна

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{q^2B^2r^2}{2m}$$

С другой стороны,

$$E_k=mc^2-m_0c^2$$

Кроме того, масса в этом соотношении – релятивистская:

$$mc^2=E_k+m_0c^2$$

$$m=\frac{ E_k }{c^2}+m_0=\frac{E_k+m_0c^2}{c^2}$$
Подставим в формулу для кинетической энергии массу:

$$E_k=\frac{q^2B^2r^2}{2m}=\frac{q^2B^2r^2c^2}{ 2E_k+2m_0c^2}$$

Тогда

$$2E_k^2+2E_km_0c^2= q^2B^2r^2c^2$$

Имеем квадратное уравнение:

$$2E_k^2+2E_km_0c^2- q^2B^2r^2c^2=0$$

$$D=4m_0^2c^4+8q^2B^2r^2c^2$$

Корни:

$$E_k=\frac{\sqrt{4m_0^2c^4+8q^2B^2r^2c^2}-2m_0c^2}{4}=\frac{c(\sqrt{m_0^2c^2+2q^2B^2r^2}-m_0)}{2}$$

Берем только положительный корень.

Ответ: $E_k=\frac{c(\sqrt{m_0^2c^2+2q^2B^2r^2}-m_0)}{2}$

Задача 5. Электрон, кинетическая энергия которого $E_k = 1,5$ МэВ, движется в однородном магнитном поле по окружности. Индукция поля $B = 0,02$ Тл. Определить период его вращения. Энергия покоя электрона $E_0 = 0,5$ МэВ.

На электрон действует сила Лоренца:

$$F_l=q \upsilon B$$

Также на него действует центробежная сила:

$$ma_n=\frac{m\upsilon^2}{r}$$

Приравняем силы:

$$ q \upsilon B=\frac{m\upsilon^2}{r}$$

$$ q B=\frac{m\upsilon}{r}$$

$$\upsilon=\frac{qBr}{m}$$

С другой стороны,

$$\upsilon=\frac{2 \pi r}{T}$$

Тогда период равен:

$$T=\frac{2 \pi m}{qB}$$

Но масса в этом соотношении – релятивистская:

$$mc^2=E_k+m_0c^2$$

$$m=\frac{ E_k }{c^2}+m_0$$
Тогда период равен

$$ T=\frac{2 \pi }{qB}\left(\frac{ E_k }{c^2}+m_0 \right)$$

Ответ: $ T=\frac{2 \pi }{qB}\left(\frac{ E_k }{c^2}+m_0 \right)$.
Задача 6. Определить импульс частицы, если ее кинетическая энергия равна энергии покоя, $ m_0$ –  масса покоя частицы.

Полная энергия

$$E=mc^2$$

Кинетическая энергия:

$$E_k=E-E_0=mc^2-m_0c^2= m_0c^2$$

Откуда

$$ mc^2=2m_0c^2$$

$$\frac{m_0}{m}=\frac{1}{2}$$

А с этого момента решение совпадает с решением задачи 2.

Ответ: $\upsilon=0,866c$