Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория относительности

Релятивистские частицы

В этой статье будем определять импульс электронов, их скорости, кинетическую энергию, периоды вращения частиц.

Задача 1. Электрон движется со скоростью \upsilon = 0,6c. Определить импульс электрона.

    \[p=m\upsilon=\frac{m_0\upsilon }{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}\]

    \[p=\frac{m_0\cdot0,6c  }{\sqrt{1-\frac{(0,6c)^2}{c^2}}}=\frac{m_0\cdot0,6c  }{0,8}=\frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{8}}{4}=20,475\cdot10^{-23}\]

Задача 2. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в\eta = 2 раза превышает ее импульс, определяемый в классической механике.

Импульс частицы в классической механике:

    \[p_k=m_0\upsilon\]

Релятивистский импульс:

    \[p=m\upsilon\]

По условию p=2p_k, приравняем

    \[m\upsilon= 2m_0\upsilon\]

    \[m=2m_0=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}\]

Сокращаем массы:

    \[2=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}}\]

    \[\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{1}{2}\]

Возводим в квадрат:

    \[1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{4}\]

    \[\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{3}{4}\]

    \[\upsilon^2=\frac{3}{4}c^2\]

Извлекаем корень:

    \[\upsilon=\frac{\sqrt{3}}{2}c=0,866c\]

Ответ: \upsilon=0,866c
Задача 3. Импульс релятивистской частицы p =m_0c, где m_0 – масса покоя частицы. Определить скорость частицы.

Релятивистский импульс:

    \[p=m\upsilon=m_0 c\]

Откуда

    \[\frac{\upsilon }{c}=\frac{m_0}{m}\]

Подставим релятивистскую массу и сократим массу покоя:

    \[\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{\upsilon }{c}\]

Возводим в квадрат:

    \[1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{\upsilon^2}{c^2}\]

    \[\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{2}\]

Извлекаем корень:

    \[\upsilon=\frac{1}{\sqrt{2}}c=0,707c\]

Ответ: \upsilon=0,707c

Задача 4. Электрон движется в магнитном поле по окружности радиуса r= 2 см. Индукция поля B = 0.1 Тл. Определить кинетическую энергию электрона.

На электрон действует сила Лоренца:

    \[F_l=q \upsilon B\]

Также на него действует центробежная сила:

    \[ma_n=\frac{m\upsilon^2}{r}\]

Приравняем силы:

    \[q \upsilon B=\frac{m\upsilon^2}{r}\]

    \[q B=\frac{m\upsilon}{r}\]

    \[\upsilon=\frac{qBr}{m}\]

Тогда

    \[\upsilon^2=\frac{q^2B^2r^2}{m^2}\]

Кинетическая энергия равна

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{q^2B^2r^2}{2m}\]

С другой стороны,

    \[E_k=mc^2-m_0c^2\]

Кроме того, масса в этом соотношении – релятивистская:

    \[mc^2=E_k+m_0c^2\]

    \[m=\frac{ E_k }{c^2}+m_0=\frac{E_k+m_0c^2}{c^2}\]

Подставим в формулу для кинетической энергии массу:

    \[E_k=\frac{q^2B^2r^2}{2m}=\frac{q^2B^2r^2c^2}{ 2E_k+2m_0c^2}\]

Тогда

    \[2E_k^2+2E_km_0c^2= q^2B^2r^2c^2\]

Имеем квадратное уравнение:

    \[2E_k^2+2E_km_0c^2- q^2B^2r^2c^2=0\]

    \[D=4m_0^2c^4+8q^2B^2r^2c^2\]

Корни:

    \[E_k=\frac{\sqrt{4m_0^2c^4+8q^2B^2r^2c^2}-2m_0c^2}{4}=\frac{c(\sqrt{m_0^2c^2+2q^2B^2r^2}-m_0)}{2}\]

Берем только положительный корень.

Ответ: E_k=\frac{c(\sqrt{m_0^2c^2+2q^2B^2r^2}-m_0)}{2}

Задача 5. Электрон, кинетическая энергия которого E_k = 1,5 МэВ, движется в однородном магнитном поле по окружности. Индукция поля B = 0,02 Тл. Определить период его вращения. Энергия покоя электрона E_0 = 0,5 МэВ.

На электрон действует сила Лоренца:

    \[F_l=q \upsilon B\]

Также на него действует центробежная сила:

    \[ma_n=\frac{m\upsilon^2}{r}\]

Приравняем силы:

    \[q \upsilon B=\frac{m\upsilon^2}{r}\]

    \[q B=\frac{m\upsilon}{r}\]

    \[\upsilon=\frac{qBr}{m}\]

С другой стороны,

    \[\upsilon=\frac{2 \pi r}{T}\]

Тогда период равен:

    \[T=\frac{2 \pi m}{qB}\]

Но масса в этом соотношении – релятивистская:

    \[mc^2=E_k+m_0c^2\]

    \[m=\frac{ E_k }{c^2}+m_0\]

Тогда период равен

    \[T=\frac{2 \pi }{qB}\left(\frac{ E_k }{c^2}+m_0 \right)\]

Ответ: T=\frac{2 \pi }{qB}\left(\frac{ E_k }{c^2}+m_0 \right).
Задача 6. Определить импульс частицы, если ее кинетическая энергия равна энергии покоя, m_0 –  масса покоя частицы.

Полная энергия

    \[E=mc^2\]

Кинетическая энергия:

    \[E_k=E-E_0=mc^2-m_0c^2= m_0c^2\]

Откуда

    \[mc^2=2m_0c^2\]

    \[\frac{m_0}{m}=\frac{1}{2}\]

А с этого момента решение совпадает с решением задачи 2.

Ответ: \upsilon=0,866c

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *