Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Реальный профильный ЕГЭ 2016. Задание 18.

Задача. Найти все такие значения параметра, при котором уравнение имеет один корень:

    \[\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}{x^3-9a^2x}=1\]

Решим это задание сначала аналитически, а потом графически.

Аналитическое решение.

Знаменатель не должен быть равен нулю:

    \[x^3-9a^2x \neq 0\]

    \[x(x^2-9a^2) \neq 0\]

    \[x(x-3a)(x+3a) \neq 0\]

Тогда x \neq 0, x \neq 3a, x \neq -3a.

Преобразуем уравнение:

    \[x^3+x^2-9a^2x-2x+a= x^3-9a^2x\]

    \[x^2-2x+a= 0\]

Один корень это уравнение будет иметь при D=0:

    \[D=b^2-4ac=4-4a=0\]

    \[a=1\]

Теперь, подставив в это уравнение «запрещенные» значения x, получим еще три значения параметра. При x=0 имеем a=0, при x=3a:

    \[(3a)^2-2\cdot3a+a=0\]

    \[9a^2-6a+a=0\]

    \[9a^2-5a=0\]

    \[a(9a-5)=0\]

    \[a=\frac{5}{9}\]

При x=-3a:

    \[(-3a)^2+2\cdot3a+a=0\]

    \[9a^2+6a+a=0\]

    \[9a^2+7a=0\]

    \[a(9a+7)=0\]

    \[a=-\frac{7}{9}\]

Проверим, правы ли мы, выполнив графическое решение.

Имеем систему:

    \[\begin{Bmatrix}{ x\neq -3a }\\{ x\neq 3a }\\{ x^2-2x+a = 0}\end{matrix}\]

Перепишем систему:

    \[\begin{Bmatrix}{ a \neq -\frac{x}{3} }\\{ a \neq \frac{x}{3} }\\{ a= 2x - x^2}\end{matrix}\]

Построим все в системе координат a(x). Имеем две прямые и параболу. Необходимо выколоть точки пересечения параболы с прямыми:

Задача с параметром реального ЕГЭ 2016

Тогда можем определить абсциссы точек пересечения. Первая точка:

    \[2x - x^2=-\frac{x}{3}\]

    \[\frac{7x}{3} - x^2=0\]

    \[x=\frac{7}{3}\]

Если a=-\frac{x}{3}, то

    \[a=-\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{3}=-\frac{7}{9}\]

Вторая точка:

    \[2x - x^2=\frac{x}{3}\]

    \[\frac{5x}{3} - x^2=0\]

    \[x=\frac{5}{3}\]

Если a=\frac{x}{3}, то

    \[a=\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3}=\frac{5}{9}\]

Также, если построить прямые a=0 и a=1, мы тоже получим единственный корень.

Одно решение при a=1 и a=0.

Ответ: a \in{-\frac{7}{9}} \cup {0} \cup{\frac{5}{9}} \cup {1}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *