Реальный профильный ЕГЭ 2016. Задание 18.Простая физика

Реальный профильный ЕГЭ 2016. Задание 18.

Задача. Найти все такие значения параметра, при котором уравнение имеет один корень:

$\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}{x^3-9a^2x}=1$

Решим это задание сначала аналитически, а потом графически.

Аналитическое решение.

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^3-9a^2x \neq 0$

$x(x^2-9a^2) \neq 0$

$x(x-3a)(x+3a) \neq 0$

Тогда $x \neq 0$ , $x \neq 3a$ , $x \neq -3a$ .

Преобразуем уравнение:

$x^3+x^2-9a^2x-2x+a= x^3-9a^2x$

$x^2-2x+a= 0$

Один корень это уравнение будет иметь при $D=0$ :

$D=b^2-4ac=4-4a=0$

$a=1$

Теперь, подставив в это уравнение «запрещенные» значения $x$ , получим еще три значения параметра. При $x=0$ имеем $a=0$ , при $x=3a$ :

$(3a)^2-2\cdot3a+a=0$

$9a^2-6a+a=0$

$9a^2-5a=0$

$a(9a-5)=0$

$a=\frac{5}{9}$

При $x=-3a$ :

$(-3a)^2+2\cdot3a+a=0$

$9a^2+6a+a=0$

$9a^2+7a=0$

$a(9a+7)=0$

$a=-\frac{7}{9}$

Проверим, правы ли мы, выполнив графическое решение.

Имеем систему:

$\begin{Bmatrix}{ x\neq -3a }\\{ x\neq 3a }\\{ x^2-2x+a = 0}\end{matrix}$

Перепишем систему:

$\begin{Bmatrix}{ a \neq -\frac{x}{3} }\\{ a \neq \frac{x}{3} }\\{ a= 2x - x^2}\end{matrix}$

Построим все в системе координат $a(x)$ . Имеем две прямые и параболу. Необходимо выколоть точки пересечения параболы с прямыми:

Задача с параметром реального ЕГЭ 2016

Тогда можем определить абсциссы точек пересечения. Первая точка:

$2x - x^2=-\frac{x}{3}$

$\frac{7x}{3} - x^2=0$

$x=\frac{7}{3}$

Если $a=-\frac{x}{3}$ , то

$a=-\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{3}=-\frac{7}{9}$

Вторая точка:

$2x - x^2=\frac{x}{3}$

$\frac{5x}{3} - x^2=0$

$x=\frac{5}{3}$

Если $a=\frac{x}{3}$ , то

$a=\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3}=\frac{5}{9}$

Также, если построить прямые $a=0$ и $a=1$ , мы тоже получим единственный корень.

Одно решение при a=1 и a=0.

Ответ: $a \in{-\frac{7}{9}} \cup {0} \cup{\frac{5}{9}} \cup {1}$ .

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Авг
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Реальный профильный ЕГЭ 2016. Задание 18.

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы