[latexpage]
Задача. Найти все такие значения параметра, при котором уравнение имеет один корень:
$$\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}{x^3-9a^2x}=1$$
Решим это задание сначала аналитически, а потом графически.
Аналитическое решение.
Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$ x^3-9a^2x \neq 0$$
$$ x(x^2-9a^2) \neq 0$$
$$ x(x-3a)(x+3a) \neq 0$$
Тогда $x \neq 0$, $x \neq 3a$, $x \neq -3a$.
Преобразуем уравнение:
$$x^3+x^2-9a^2x-2x+a= x^3-9a^2x$$
$$x^2-2x+a= 0$$
Один корень это уравнение будет иметь при $D=0$:
$$D=b^2-4ac=4-4a=0$$
$$a=1$$
Теперь, подставив в это уравнение «запрещенные» значения $x$, получим еще три значения параметра. При $x=0$ имеем $a=0$, при $x=3a$:
$$(3a)^2-2\cdot3a+a=0$$
$$9a^2-6a+a=0$$
$$9a^2-5a=0$$
$$a(9a-5)=0$$
$$a=\frac{5}{9}$$
При $x=-3a$:
$$(-3a)^2+2\cdot3a+a=0$$
$$9a^2+6a+a=0$$
$$9a^2+7a=0$$
$$a(9a+7)=0$$
$$a=-\frac{7}{9}$$
Проверим, правы ли мы, выполнив графическое решение.
Имеем систему:
$$\begin{Bmatrix}{ x\neq -3a }\\{ x\neq 3a }\\{ x^2-2x+a = 0}\end{matrix}$$
Перепишем систему:
$$\begin{Bmatrix}{ a \neq -\frac{x}{3} }\\{ a \neq \frac{x}{3} }\\{ a= 2x – x^2}\end{matrix}$$
Построим все в системе координат $a(x)$. Имеем две прямые и параболу. Необходимо выколоть точки пересечения параболы с прямыми:

Задача с параметром реального ЕГЭ 2016
Тогда можем определить абсциссы точек пересечения. Первая точка:
$$2x – x^2=-\frac{x}{3}$$
$$\frac{7x}{3} – x^2=0$$
$$x=\frac{7}{3}$$
Если $a=-\frac{x}{3}$, то
$$a=-\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{3}=-\frac{7}{9}$$
Вторая точка:
$$2x – x^2=\frac{x}{3}$$
$$\frac{5x}{3} – x^2=0$$
$$x=\frac{5}{3}$$
Если $a=\frac{x}{3}$, то
$$a=\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3}=\frac{5}{9}$$
Также, если построить прямые $a=0$ и $a=1$, мы тоже получим единственный корень.

Одно решение при a=1 и a=0.
Ответ: $a \in{-\frac{7}{9}} \cup {0} \cup{\frac{5}{9}} \cup {1}$.
Ждем-с. Скоро...
Скоро сайт заработает нормально. Сама жду-не...
Спасибо за раздел "Олимпиадная физика". Ваш сайт-лучший сайт на эту...
Пример 2. При х=2.5,...
Уважаемая Анна Валерьевна! Можно еще раз спросить Вас, почему формулы в Ваших...