Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Разные способы решения стереометрической задачи

Стереометрическая задача, какие часто встречаются во всякого рода сборниках. Предлагаю решение этой задачи несколькими способами – выбирайте на вкус!

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E=6EA. Точка T – середина ребра B_1C_1. Известно, что AB=4\sqrt{2}, AD=12, AA_1=14.

а) Докажите, что плоскость ETD_1 делит ребро BB_1 в отношении 4:3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD_1.

Построим сначала сечение: точки E и D_1 находятся в одной плоскости, поэтому их можно соединить отрезком. Аналогично точки можно соединить D_1 и T. Так как передняя грань параллелепипеда параллельна задней, иначе он не был бы параллелепипедом, то плоскость сечения будет «резать» заднюю грань по прямой, параллельной ED_1. Проведем через точку T эту прямую. Прямая пересечет ребро BB_1 в точке V – и мы получили сечение. Теперь разберемся, что же мы получили: какой формы это сечение и где расположена точка V? Мы уже догадываемся, что сечение будет трапецией, так как основания ED_1 и VT параллельны.

Рисунок 1

Определим положение точки V. Треугольники EA_1D_1 и VTB_1 подобны, так как образованы параллельными прямыми, то есть по двум углам. Следовательно,

    \[\frac{EA_1}{VB_1}=\frac{ED_1}{VT}=\frac{A_1D_1}{B_1T}\]

Если принять длину отрезка EA=x, то по условию A_1E=6x, и AA_1=EA+A_1E=7x=14, откуда x=2. Тогда EA_1=12. B_1T=6, так как точка T – середина  ребра B_1C_1. Следовательно, из соотношения сходственных сторон следует, что VB_1=6. Определим VB=14-6=8, тогда отношение

    \[\frac{ VB_1}{ VB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\]

Пункт а) нами доказан.

Вычислим площадь сечения разными способами. Первый способ, назовем его «традиционным».  Мы уже начали строить предположения о форме сечения и высказали одно: это трапеция. Давайте разберемся, какая это трапеция. Для этого  вычислим длины ее боковых сторон.

    \[EV^2=AB^2+(BV-AE)^2\]

    \[EV=\sqrt{AB^2+(BV-AE)^2}=\sqrt{32+6^2}=\sqrt{68}\]

    \[D_1T^2=D_1C_1^2+TC_1^2\]

    \[D_1T =\sqrt{ D_1C_1^2 TC_1^2}=\sqrt{32+6^2}=\sqrt{68}\]

Получается, что трапеция равнобедренная! Ее площадь найдем, зная ее высоту. Определяем высоту:

Рисунок 2

    \[VT=HR=\frac{ED_1}{2}=6\sqrt{2}\]

Следовательно,

    \[EH=RD_1=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\]

А теперь высота трапеции:

    \[VH=\sqrt{EV^2-EH^2}=\sqrt{68-18}=\sqrt{50}\]

Определяем площадь трапеции:

    \[S=\frac{VT+ED_1}{2}\cdot VH=\frac{6\sqrt{2}+12\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{50}=9\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}=90\]

Второй способ определения площади – с помощью проекции сечения и угла между плоскостью сечения и плоскостью, на которую мы это сечение спроецировали. Проецировать сечение будем на основание. Угол наклона плоскости сечения к плоскости основания тоже можно найти по-разному. Давайте определим его «традиционным» методом. Для этого определим тангенс угла EWA_1, где EW \perp D_1T,  а следовательно,   A_1W \perp D_1T.

Рисунок 3

Интересующий нас тангенс будет равен

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{A_1E}{A_1W}\]

Определим длину A_1W – это высота треугольника A_1TD_1. Найти длину этого отрезка можно через площадь указанного треугольника:

    \[2S=A_1 D_1 \cdot A_1B_1=D_1T\cdot A_1W\]

    \[A_1W=\frac{ A_1D_1\cdot A_1B_1}{ D_1T }=\frac{12\cdot4\sqrt{2}}{\sqrt{68}}=\frac{48}{\sqrt{34}}\]

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{A_1E}{A_1W}=\frac{12\cdot\sqrt{34}}{48}=\frac{\sqrt{34}}{4}\]

Проекция сечения – трапеция A_1B_1TD_1, ее площадь равна

    \[S_{pr}=\frac{A_1D_1+B_1T}{2}\cdotA_1B_1=9\cdot4\sqrt{2}=36\sqrt{2}\]

Площадь самого сечения найдем из формулы S_pr=S_s\cdot \cos{\alpha},

    \[S_s=\frac{ S_pr }{ \cos{\alpha}}\]

Определим косинус, зная тангенс:

    \[1+\operatorname{tg}^2 {\alpha}=\frac{1}{\cos^2 {\alpha}}\]

    \[\frac{1}{\cos^2 {\alpha}}=1+\frac{34}{16}=\frac{50}{16}\]

    \[\cos {\alpha}=\frac{4}{\sqrt{50}}\]

Наконец, найдем площадь сечения:

    \[S_s=\frac{ S_pr }{ \cos{\alpha}}=\frac{36\sqrt{2}}{\frac{4}{\sqrt{50}}}=90\]

Также можно найти косинус нужного нам угла с помощью координатного метода. Делаем!

Введем систему координат так, что ось x совпадет с ребром A_1D_1, ось y совпадет с ребром A_1B_1, ось z – с ребром A_1A. Плоскости принадлежат точки E, T, D_1 – их координаты мы и определим, чтобы составить ее уравнение.

    \[E (0;0; 12), T(6; 4\sqrt{2}; 0), D_1(12; 0;0)\]

Составляем систему, чтобы найти коэффициенты в уравнении плоскости:

    \[\begin{Bmatrix}{12c+1=0 }\\{6a+4\sqrt{2}b+1=0 }\\{12a+1=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c=-\frac{1}{12} }\\{6a+4\sqrt{2}b+1=0 }\\{a=-\frac{1}{12}}\end{matrix}\]

Тогда

    \[-\frac{1}{2}+1=-4\sqrt{2}b\]

    \[b=-\frac{1}{8\sqrt{2}}\]

Получили уравнение плоскости:

    \[-\frac{1}{12}x-\frac{1}{8\sqrt{2}}y-\frac{1}{12}z+1=0\]

Коэффициенты из уравнения плоскости одновременно являются и координатами нормали к плоскости: \vec{n} (-\frac{1}{12}; -\frac{1}{8\sqrt{2}};-\frac{1}{12}). Нормаль к плоскости основания имеет координаты \vec{n}_{osn} (0; 0; 1), определяем косинус угла между этими векторами:

    \[\cos{\alpha}=\frac{\vec{n}\cdot\vec{n}_{osn}}{\mid\vec{n}\mid\cdot\mid\vec{n}_{osn}\mid}=\frac{\mid-\frac{1}{12}\mid}{\sqrt{\frac{1}{144}+\frac{1}{128}+\frac{1}{144}}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}\]

    \[S_s=\frac{ S_pr }{ \cos{\alpha}}=\frac{36\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{5}}=90\]

Ответ: 90

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *