Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Разные способы решения стереометрической задачи

Стереометрическая задача, какие часто встречаются во всякого рода сборниках. Предлагаю решение этой задачи несколькими способами – выбирайте на вкус!

На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что . Точка – середина ребра . Известно, что , , .

а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении .

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью .

Построим сначала сечение: точки и находятся в одной плоскости, поэтому их можно соединить отрезком. Аналогично точки можно соединить и . Так как передняя грань параллелепипеда параллельна задней, иначе он не был бы параллелепипедом, то плоскость сечения будет «резать» заднюю грань по прямой, параллельной . Проведем через точку эту прямую. Прямая пересечет ребро в точке – и мы получили сечение. Теперь разберемся, что же мы получили: какой формы это сечение и где расположена точка ? Мы уже догадываемся, что сечение будет трапецией, так как основания и параллельны.

Рисунок 1

Определим положение точки . Треугольники и подобны, так как образованы параллельными прямыми, то есть по двум углам. Следовательно,

   

Если принять длину отрезка , то по условию , и , откуда . Тогда . , так как точка – середина  ребра . Следовательно, из соотношения сходственных сторон следует, что . Определим , тогда отношение

   

Пункт а) нами доказан.

Вычислим площадь сечения разными способами. Первый способ, назовем его «традиционным».  Мы уже начали строить предположения о форме сечения и высказали одно: это трапеция. Давайте разберемся, какая это трапеция. Для этого  вычислим длины ее боковых сторон.

   

   

   

   

Получается, что трапеция равнобедренная! Ее площадь найдем, зная ее высоту. Определяем высоту:

Рисунок 2

   

Следовательно,

   

А теперь высота трапеции:

   

Определяем площадь трапеции:

   

Второй способ определения площади – с помощью проекции сечения и угла между плоскостью сечения и плоскостью, на которую мы это сечение спроецировали. Проецировать сечение будем на основание. Угол наклона плоскости сечения к плоскости основания тоже можно найти по-разному. Давайте определим его «традиционным» методом. Для этого определим тангенс угла , где ,  а следовательно,   .

Рисунок 3

Интересующий нас тангенс будет равен

   

Определим длину – это высота треугольника . Найти длину этого отрезка можно через площадь указанного треугольника:

   

   

   

Проекция сечения – трапеция , ее площадь равна

   

Площадь самого сечения найдем из формулы ,

   

Определим косинус, зная тангенс:

   

   

   

Наконец, найдем площадь сечения:

   

Также можно найти косинус нужного нам угла с помощью координатного метода. Делаем!

Введем систему координат так, что ось совпадет с ребром , ось совпадет с ребром , ось – с ребром . Плоскости принадлежат точки – их координаты мы и определим, чтобы составить ее уравнение.

   

Составляем систему, чтобы найти коэффициенты в уравнении плоскости:

   

   

Тогда

   

   

Получили уравнение плоскости:

   

Коэффициенты из уравнения плоскости одновременно являются и координатами нормали к плоскости: . Нормаль к плоскости основания имеет координаты , определяем косинус угла между этими векторами:

   

   

Ответ: 90

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *