Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (13(С2))

Разные способы решения стереометрической задачи

[latexpage]

Стереометрическая задача, какие часто встречаются во всякого рода сборниках. Предлагаю решение этой задачи несколькими способами – выбирайте на вкус!

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E=6EA$. Точка $T$ – середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=4\sqrt{2}$, $AD=12$, $AA_1=14$.

а) Докажите, что плоскость $ETD_1$ делит ребро $BB_1$ в отношении $4:3$.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $ETD_1$.

Построим сначала сечение: точки $E$ и $D_1$ находятся в одной плоскости, поэтому их можно соединить отрезком. Аналогично точки можно соединить $D_1$ и $T$. Так как передняя грань параллелепипеда параллельна задней, иначе он не был бы параллелепипедом, то плоскость сечения будет «резать» заднюю грань по прямой, параллельной $ED_1$. Проведем через точку $T$ эту прямую. Прямая пересечет ребро $BB_1$ в точке $V$ – и мы получили сечение. Теперь разберемся, что же мы получили: какой формы это сечение и где расположена точка $V$? Мы уже догадываемся, что сечение будет трапецией, так как основания $ED_1$ и $VT$ параллельны.

Рисунок 1

Определим положение точки $V$. Треугольники $EA_1D_1$ и $VTB_1$ подобны, так как образованы параллельными прямыми, то есть по двум углам. Следовательно,

$$\frac{EA_1}{VB_1}=\frac{ED_1}{VT}=\frac{A_1D_1}{B_1T}$$

Если принять длину отрезка $EA=x$, то по условию $A_1E=6x$, и $AA_1=EA+A_1E=7x=14$, откуда $x=2$. Тогда $EA_1=12$. $B_1T=6$, так как точка $T$ – середина  ребра $B_1C_1$. Следовательно, из соотношения сходственных сторон следует, что $VB_1=6$. Определим $VB=14-6=8$, тогда отношение

$$\frac{ VB_1}{ VB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$$

Пункт а) нами доказан.

Вычислим площадь сечения разными способами. Первый способ, назовем его «традиционным».  Мы уже начали строить предположения о форме сечения и высказали одно: это трапеция. Давайте разберемся, какая это трапеция. Для этого  вычислим длины ее боковых сторон.

$$EV^2=AB^2+(BV-AE)^2$$

$$ EV=\sqrt{AB^2+(BV-AE)^2}=\sqrt{32+6^2}=\sqrt{68}$$

$$D_1T^2=D_1C_1^2+TC_1^2$$

$$ D_1T =\sqrt{ D_1C_1^2 TC_1^2}=\sqrt{32+6^2}=\sqrt{68}$$

Получается, что трапеция равнобедренная! Ее площадь найдем, зная ее высоту. Определяем высоту:

Рисунок 2

$$VT=HR=\frac{ED_1}{2}=6\sqrt{2}$$

Следовательно,

$$EH=RD_1=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$

А теперь высота трапеции:

$$VH=\sqrt{EV^2-EH^2}=\sqrt{68-18}=\sqrt{50}$$

Определяем площадь трапеции:

$$S=\frac{VT+ED_1}{2}\cdot VH=\frac{6\sqrt{2}+12\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{50}=9\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}=90$$

Второй способ определения площади – с помощью проекции сечения и угла между плоскостью сечения и плоскостью, на которую мы это сечение спроецировали. Проецировать сечение будем на основание. Угол наклона плоскости сечения к плоскости основания тоже можно найти по-разному. Давайте определим его «традиционным» методом. Для этого определим тангенс угла $EWA_1$, где $EW \perp D_1T$,  а следовательно,   $A_1W \perp D_1T$.

Рисунок 3

Интересующий нас тангенс будет равен

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{A_1E}{A_1W}$$

Определим длину $A_1W$ – это высота треугольника $A_1TD_1$. Найти длину этого отрезка можно через площадь указанного треугольника:

$$2S=A_1 D_1 \cdot A_1B_1=D_1T\cdot A_1W$$

$$ A_1W=\frac{ A_1D_1\cdot A_1B_1}{ D_1T }=\frac{12\cdot4\sqrt{2}}{\sqrt{68}}=\frac{48}{\sqrt{34}}$$

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{A_1E}{A_1W}=\frac{12\cdot\sqrt{34}}{48}=\frac{\sqrt{34}}{4}$$

Проекция сечения – трапеция $A_1B_1TD_1$, ее площадь равна

$$S_{pr}=\frac{A_1D_1+B_1T}{2}\cdotA_1B_1=9\cdot4\sqrt{2}=36\sqrt{2}$$

Площадь самого сечения найдем из формулы $S_pr=S_s\cdot \cos{\alpha}$,

$$S_s=\frac{ S_pr }{ \cos{\alpha}}$$

Определим косинус, зная тангенс:

$$1+\operatorname{tg}^2 {\alpha}=\frac{1}{\cos^2 {\alpha}}$$

$$\frac{1}{\cos^2 {\alpha}}=1+\frac{34}{16}=\frac{50}{16}$$

$$\cos {\alpha}=\frac{4}{\sqrt{50}}$$

Наконец, найдем площадь сечения:

$$S_s=\frac{ S_pr }{ \cos{\alpha}}=\frac{36\sqrt{2}}{\frac{4}{\sqrt{50}}}=90$$

Также можно найти косинус нужного нам угла с помощью координатного метода. Делаем!

Введем систему координат так, что ось $x$ совпадет с ребром $A_1D_1$, ось $y$ совпадет с ребром $A_1B_1$, ось $z$ – с ребром $A_1A$. Плоскости принадлежат точки $E, T, D_1$ – их координаты мы и определим, чтобы составить ее уравнение.

$$E (0;0; 12), T(6; 4\sqrt{2}; 0), D_1(12; 0;0)$$

Составляем систему, чтобы найти коэффициенты в уравнении плоскости:

$$\begin{Bmatrix}{12c+1=0 }\\{6a+4\sqrt{2}b+1=0 }\\{12a+1=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{c=-\frac{1}{12} }\\{6a+4\sqrt{2}b+1=0 }\\{a=-\frac{1}{12}}\end{matrix}$$

Тогда

$$-\frac{1}{2}+1=-4\sqrt{2}b$$

$$b=-\frac{1}{8\sqrt{2}}$$

Получили уравнение плоскости:

$$-\frac{1}{12}x-\frac{1}{8\sqrt{2}}y-\frac{1}{12}z+1=0$$

Коэффициенты из уравнения плоскости одновременно являются и координатами нормали к плоскости: $\vec{n} (-\frac{1}{12}; -\frac{1}{8\sqrt{2}};-\frac{1}{12})$. Нормаль к плоскости основания имеет координаты $\vec{n}_{osn} (0; 0; 1)$, определяем косинус угла между этими векторами:

$$\cos{\alpha}=\frac{\vec{n}\cdot\vec{n}_{osn}}{\mid\vec{n}\mid\cdot\mid\vec{n}_{osn}\mid}=\frac{\mid-\frac{1}{12}\mid}{\sqrt{\frac{1}{144}+\frac{1}{128}+\frac{1}{144}}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$$

$$S_s=\frac{ S_pr }{ \cos{\alpha}}=\frac{36\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{5}}=90$$

Ответ: 90

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *