Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 9 класс, ОГЭ 25 (ГИА С5)

Разные геометрические задачи на доказательство



Все задачи взяты из книги “ОГЭ 2015. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко”

Задача 1. В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты  BB_1 и CC_1. Докажите, что треугольники B_1AC_1 и ABC подобны.

К задаче 1

Дополнительные построения

Чтобы доказать подобие, нам потребуется доказать равенство хотя бы двух углов треугольников B_1AC_1 и ABC. Один видно сразу: очевидно, что угол BAC равен углу  B_1AC_1 как вертикальный. Осталось доказать равенство еще каких-нибудь двух углов этих треугольников. Рассмотрим треугольники  BB_1C и  CC_1B. Они прямоугольные, и имеют равные гипотенузы. Значит, если провести окружность диаметром BC, то она будет описанной и для треугольника  BB_1C и  для треугольника CC_1B. Тогда угол  CBC_1 – вписанный и  угол C_1B_1C – также, и опираются они на одну дугу. Вот мы и доказали равенство двух углов в треугольниках  B_1AC_1 и ABC, то есть, они подобны, ч.т.д.

 

Задача 2. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

К задаче 2

Рассмотрим углы ADB и BDC. Их сумма равна 180{circ}, так как они смежные. Биссектриса  t угла ADB делит его на равные углы 1 и 2, а биссектриса  p угла BDC делит его в свою очередь на равные углы 3 и 4. Тогда сумма всех малых углов  ADO+ODB+BDM+MDC=180{circ}, а так как угол ADO=ODB, а угол  BDM=MDC, то можно записать, что  2ODB+2BDM=180{circ}, или  ODB+BDM=90{circ}, или, иначе,  ODM=90{circ}, ч.т.д.

 



К задаче 3

Задача 3. Докажите, что биссектрисы e  и d внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми a и b и секущей c, параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Так как прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны. Биссектрисы e и d делят пополам каждая свой угол. Но так как равны сами накрест лежащие углы, то равны и их половины (на рисунке все равные углы обозначены дугой одного цвета). Но углы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими для прямых d и e при пересечении их секущей с, а следовательно, прямые e и d параллельны, ч.т.д.

Задача 4. Докажите, что прямые a и b, изображенные на рисунке, параллельны.

К задаче 4

Рассмотрим рисунок. Из него видно, что угол alpha вертикальным с углом  40{circ}, а значит, тоже равен 40{circ}. По той же причине угол beta равен 75{circ}. Тогда в треугольнике, образованном пересекающимися прямыми, нам известны два угла и мы можем определить третий – угол gamma – из суммы углов треугольника. Тогда  gamma=180{circ}-40{circ}-75{circ}=65{circ}. Угол  gamma является соответственным с известным углом, равным 65{circ}, и, так как соответственные углы равны, то прямые a и b параллельны.  

Задача 5. Докажите, что диагональ четырехугольника меньше его полупериметра.

К задаче 5

 Рассмотрим треугольник ABC и запишем для него неравенство треугольника: AC<AB+BC. То же самое сделаем для треугольника ADC:  AC<AD+DC. Теперь просто сложим два неравенства: 2AC<AB+BC+AD+DC. В правой части имеем не что иное, как периметр четырехугольника: 2AC<P, ну а теперь разделим наше неравенство пополам, и правую, и левую части: AC<P/2, ч.т.д.

 

Задача 6. Докажите, что два острых угла со взаимно перпендикулярными сторонами равны.

К задаче 6

Сторона CD угла ACD перпендикулярна стороне OD угла AOD, сторона CA угла ACD перпендикулярна стороне AO угла AOD. Рассмотрим образовавшиеся треугольники ABC и OBD. Их углы CBA и DBO вертикальные, а значит, равны. Кроме того, оба треугольника прямоугольные, значит, они подобны по двум углам, а в подобных треугольниках равны все углы, значит, угол ACB равен углу BOD, ч.т.д.

Задача 7. Стороны тупого угла А соответственно перпендикулярны сторонам угла В. Докажите, что сумма углов А и В равна 180 градусам.

К задаче 7

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма его углов равна  180{circ}. Сумма углов треугольника ABD также равна  180{circ}. Тогда сумма всех углов четырехугольника ACBD равна  360{circ}. Два угла рассматриваемого четырехугольника прямые, их сумма  C+D=180{circ}. Тогда 360{circ}-(C+D)=180{circ}=A+B, ч.т.д.

Задача 8. В равностороннем треугольнике АВС точки M, N, K – середины сторон АВ, ВС и СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK – равносторонний.

К задаче 8

Так как M и N – середины сторон AB и BC, то MN – средняя линия треугольника ABC, а значит, MN={1/2}AC. Так как N и K – середины сторон BC и AC, то NK – средняя линия треугольника ABC, а значит, NK={1/2}AB. Аналогично MK={1/2}BC. Так как треугольник ABC равносторонний, то равны все его стороны, а следовательно, и половины сторон:  MN=NK=KM, что, в свою очередь, означает, что треугольник MNK равносторонний, ч.т.д.

Задача 9. На стороне ВС  квадрата АВСD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника AKD равна половине площади квадрата.

К задаче 9

Площадь квадрата равна  S=AD^2, так как его стороны равны. Площадь треугольника AKD равна произведению основания на высоту:  S_{Delta AKD}={AD*h}/2. Высота треугольника равна  h=AB=AD, тогда  S_{Delta AKD}={AD*AD}/2=S/2, ч.т.д.

Задача 10. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

К задаче 10

Проведем доказательство от обратного. Предположим, что  AH={1/2}BC. Тогда треугольник ABH равнобедренный, и угол HBA равен углу BAH. В то же время треугольник HAC также равнобедренный, и угол HAC равен углу HCA. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90{circ}. Тогда и сумма углов BAH и HCA равна  тоже 90{circ}, а это дано нам по условию. Следовательно,  AH={1/2}BC=BH=HC. Можно также поместить центр окружности в точку H и провести окружность радиусом HB. Она пройдет и через точку C. Тогда, поскольку угол BAC прямой, эта окружность должна пройти через точку A, так как угол BHC – развернутый и центральный, а угол, опирающийся на ту же дугу – прямой, и, следовательно, вписанный. Тогда AH – радиус окружности и  AH={1/2}BC=BH=HC.



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *