[latexpage]
Сначала я покажу решение «в лоб». Оно не очень короткое, и не очень простое. А затем мы рассмотрим красивый способ решения, который вы сможете оценить по достоинству после первого, нагруженного.
Задача. Капли воды разбрызгивателя летят во все стороны с одинаковой скоростью $\upsilon$. На сколько нужно поднять разбрызгиватель с уровня земли, чтобы увеличить площадь полива вдвое при прежней скорости вылета капель? Трением о воздух пренебречь.

Рисунок к задаче
Решение: сначала я покажу решение «в лоб». Оно не очень короткое, и не очень простое. А затем мы рассмотрим красивый способ решения, который вы сможете оценить по достоинству после первого, нагруженного.
Известно, что наибольшая дальность полета достигается, если угол вылета капель равен $45^{\circ}$. Тогда эту дальность можно записать как
$$L=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$
Площадь образующейся лужи равна
$$S_1=\pi L^2=\frac{\pi \upsilon_0^4}{g^2}$$
Если мы теперь определим дальность полета капель при подъеме разбрызгивателя на высоту $h$, то мы ответим на вопрос задачи. Так как площадь должна быть вдвое больше, то новая дальность должна быть равна
$$L_{max}=\sqrt{2}L$$
Можно получить зависимость $L(h)$ и взять производную, приравняв ее к нулю – это работает почти всегда, другое дело – насколько сложной получится зависимость и как трудно будет взять производную. Можно попробовать другой путь – но для этого все-таки нужна зависимость $L(h)$.
Капли имеют горизонтальную составляющую скорости $\upsilon_0 \cos \alpha$, и улетят за время своего падения на расстояние
$$L=\upsilon_0 \cos \alpha t$$
Теперь загвоздка в $t$ – как добыть?
Запишем уравнение координаты капель по оси $y$:
$$y=y_0+\upsilon_{0y}\cdot t-\frac{gt^2}{2}$$
Переписываем под себя:
$$0=h+\upsilon_{0}\sin \alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}$$
$$t=\frac{L}{\upsilon_0 \cos \alpha}$$
Подставляем:
$$0=h+L\operatorname{tg} \alpha-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2\cos^2\alpha}$$
Используем равенство:
$$1+\operatorname{tg}^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha }$$
Перепишем с учетом этого равенства:
$$h+L\operatorname{tg} \alpha-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2}(1+\operatorname{tg}^2 \alpha)$$
Видим, что относительно $\operatorname{tg} \alpha$ уравнение квадратное, а значит, будет иметь два корня. Если же расстояние, на которое летят капли, максимально, то оно единственно. Следовательно, необходимо, чтобы у данного уравнения оказался только один корень, требуем $D=0$ – это и есть другой путь в обход производной:
$$D=L^2+\frac{4gL^2}{2\upsilon_0^2}\left(h-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2}\right)=0$$
$$L^2+\frac{2gL^2h}{\upsilon_0^2}-\frac{g^2L^4}{2\upsilon_0^4}=0$$
Откуда
$$L=\sqrt{\frac{\upsilon_0^4+2gh\upsilon_0^2}{g^2}}=\frac{\upsilon_0}{g}\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}$$
Подставим для проверки $h=0$:
$$L_{max}=\frac{\upsilon_0}{g}\cdot \upsilon_0=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$
Вспомним, что
$$L_{max}=\sqrt{2}L=\sqrt{2}\frac{\upsilon_0^2}{g}$$
То есть
$$\frac{\upsilon_0^2}{g}\sqrt{\upsilon_0^2+2gh }=\sqrt{2}\frac{\upsilon_0^2}{g}$$
Тогда при сокращении получим
$$\upsilon_0^2+2gh=2\upsilon_0^2$$
И, наконец,
$$h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$$
Это ответ.
Сложно? Да! Можно проще? Да!
Решаем с помощью треугольника скоростей.
Построим треугольник скоростей:

Треугольник скоростей
Площадь треугольника скоростей с одной стороны можно записать как
$$S=\frac{1}{2}\upsilon_0\upsilon \sin \varphi$$
С другой стороны, $\upsilon_x$ – высота этого треугольника, поэтому площадь можно записать и как
$$S=\frac{1}{2}\upsilon_x\cdot gt$$
Приравняем с учетом, что $\upsilon_x\cdot t=L_{max}$:
$$\upsilon_0\upsilon \sin \varphi=gL_{max}$$
$$L_{max}=\frac{\upsilon_0\upsilon \sin \varphi }{g}$$
Эта дальность максимальна, если вектора $\upsilon$ и $\upsilon_0$ перпендикулярны друг другу и $\sin \varphi=1$.
Тогда
$$L_{max}=\frac{\upsilon_0\upsilon}{g}$$
Учтем, что
$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}$$
Значит,
$$L_{max}=\frac{\upsilon_0\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}}{g}=\sqrt{2}L$$
Вспоминаем, что $L=\frac{\upsilon_0^2}{g}$
$$\frac{\upsilon_0^2(\upsilon_0^2+2gh)}{g^2}=2L^2=\frac{2\upsilon_0^4}{g^2}$$
$$\upsilon_0^2+2gh=2\upsilon_0^2$$
$$2gh=\upsilon_0^2$$
$$h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$$
Ответ: $h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...