Разбрызгиватель

[latexpage]

Сначала я покажу решение «в лоб». Оно не очень короткое, и не очень простое. А затем мы рассмотрим красивый способ решения, который вы сможете оценить по достоинству после первого, нагруженного.

Задача. Капли воды разбрызгивателя летят во все стороны с одинаковой скоростью $\upsilon$. На сколько нужно поднять разбрызгиватель с уровня земли, чтобы увеличить площадь полива вдвое при прежней скорости вылета капель? Трением о воздух пренебречь.

Рисунок к задаче

Решение: сначала я покажу решение «в лоб». Оно не очень короткое, и не очень простое. А затем мы рассмотрим красивый способ решения, который вы сможете оценить по достоинству после первого, нагруженного.

Известно, что наибольшая дальность полета достигается, если угол вылета капель равен $45^{\circ}$. Тогда эту дальность можно записать как

$$L=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

Площадь образующейся лужи равна

$$S_1=\pi L^2=\frac{\pi \upsilon_0^4}{g^2}$$

Если мы теперь определим дальность полета капель при подъеме разбрызгивателя на высоту $h$, то мы ответим на вопрос задачи. Так как площадь должна быть вдвое больше, то новая дальность должна быть равна

$$L_{max}=\sqrt{2}L$$

Можно получить зависимость $L(h)$ и взять производную, приравняв ее к нулю – это работает почти всегда, другое дело – насколько сложной получится зависимость и как трудно будет взять производную. Можно попробовать другой путь – но для этого все-таки нужна зависимость $L(h)$.

Капли имеют горизонтальную составляющую скорости $\upsilon_0 \cos \alpha$, и улетят за время своего падения на расстояние

$$L=\upsilon_0 \cos \alpha t$$

Теперь загвоздка в $t$ – как добыть?

Запишем уравнение координаты капель по оси $y$:

$$y=y_0+\upsilon_{0y}\cdot t-\frac{gt^2}{2}$$

Переписываем под себя:

$$0=h+\upsilon_{0}\sin \alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}$$

$$t=\frac{L}{\upsilon_0 \cos \alpha}$$

Подставляем:

$$0=h+L\operatorname{tg} \alpha-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2\cos^2\alpha}$$

Используем равенство:

$$1+\operatorname{tg}^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha }$$

Перепишем с учетом этого равенства:

$$h+L\operatorname{tg} \alpha-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2}(1+\operatorname{tg}^2 \alpha)$$

Видим, что относительно $\operatorname{tg} \alpha$ уравнение квадратное, а значит, будет иметь два корня. Если же расстояние, на которое летят капли, максимально, то оно единственно. Следовательно, необходимо, чтобы у данного уравнения оказался только один корень, требуем $D=0$ – это и есть другой путь в обход производной:

$$D=L^2+\frac{4gL^2}{2\upsilon_0^2}\left(h-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2}\right)=0$$

$$L^2+\frac{2gL^2h}{\upsilon_0^2}-\frac{g^2L^4}{2\upsilon_0^4}=0$$

Откуда

$$L=\sqrt{\frac{\upsilon_0^4+2gh\upsilon_0^2}{g^2}}=\frac{\upsilon_0}{g}\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}$$

Подставим для проверки $h=0$:

$$L_{max}=\frac{\upsilon_0}{g}\cdot \upsilon_0=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

Вспомним, что

$$L_{max}=\sqrt{2}L=\sqrt{2}\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

То есть

$$\frac{\upsilon_0^2}{g}\sqrt{\upsilon_0^2+2gh }=\sqrt{2}\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

Тогда при сокращении получим

$$\upsilon_0^2+2gh=2\upsilon_0^2$$

И, наконец,

$$h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$$

Это ответ.

Сложно? Да! Можно проще? Да!

Решаем с помощью треугольника скоростей.

Построим треугольник скоростей:

Треугольник скоростей

Площадь треугольника скоростей с одной стороны можно записать как

$$S=\frac{1}{2}\upsilon_0\upsilon \sin \varphi$$

С другой стороны, $\upsilon_x$ – высота этого треугольника, поэтому площадь можно записать и как

$$S=\frac{1}{2}\upsilon_x\cdot gt$$

Приравняем с учетом, что $\upsilon_x\cdot t=L_{max}$:

$$\upsilon_0\upsilon \sin \varphi=gL_{max}$$

$$L_{max}=\frac{\upsilon_0\upsilon \sin \varphi }{g}$$

Эта дальность максимальна, если вектора $\upsilon$ и $\upsilon_0$ перпендикулярны друг другу и $\sin \varphi=1$.

Тогда

$$L_{max}=\frac{\upsilon_0\upsilon}{g}$$

Учтем, что

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}$$

Значит,

$$L_{max}=\frac{\upsilon_0\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}}{g}=\sqrt{2}L$$

Вспоминаем, что $L=\frac{\upsilon_0^2}{g}$

$$\frac{\upsilon_0^2(\upsilon_0^2+2gh)}{g^2}=2L^2=\frac{2\upsilon_0^4}{g^2}$$

$$\upsilon_0^2+2gh=2\upsilon_0^2$$

$$2gh=\upsilon_0^2$$

$$h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$$

Ответ: $h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$