Разбрызгиватель

Сначала я покажу решение «в лоб». Оно не очень короткое, и не очень простое. А затем мы рассмотрим красивый способ решения, который вы сможете оценить по достоинству после первого, нагруженного.

Задача. Капли воды разбрызгивателя летят во все стороны с одинаковой скоростью $\upsilon$ . На сколько нужно поднять разбрызгиватель с уровня земли, чтобы увеличить площадь полива вдвое при прежней скорости вылета капель? Трением о воздух пренебречь.

Рисунок к задаче

Решение: сначала я покажу решение «в лоб». Оно не очень короткое, и не очень простое. А затем мы рассмотрим красивый способ решения, который вы сможете оценить по достоинству после первого, нагруженного.

Известно, что наибольшая дальность полета достигается, если угол вылета капель равен $45^{\circ}$ . Тогда эту дальность можно записать как

$L=\frac{\upsilon_0^2}{g}$

Площадь образующейся лужи равна

$S_1=\pi L^2=\frac{\pi \upsilon_0^4}{g^2}$

Если мы теперь определим дальность полета капель при подъеме разбрызгивателя на высоту $h$ , то мы ответим на вопрос задачи. Так как площадь должна быть вдвое больше, то новая дальность должна быть равна

$L_{max}=\sqrt{2}L$

Можно получить зависимость $L(h)$ и взять производную, приравняв ее к нулю – это работает почти всегда, другое дело – насколько сложной получится зависимость и как трудно будет взять производную. Можно попробовать другой путь – но для этого все-таки нужна зависимость $L(h)$ .

Капли имеют горизонтальную составляющую скорости $\upsilon_0 \cos \alpha$ , и улетят за время своего падения на расстояние

$L=\upsilon_0 \cos \alpha t$

Теперь загвоздка в $t$ – как добыть?

Запишем уравнение координаты капель по оси $y$ :

$y=y_0+\upsilon_{0y}\cdot t-\frac{gt^2}{2}$

Переписываем под себя:

$0=h+\upsilon_{0}\sin \alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}$

$t=\frac{L}{\upsilon_0 \cos \alpha}$

Подставляем:

$0=h+L\operatorname{tg} \alpha-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2\cos^2\alpha}$

Используем равенство:

$1+\operatorname{tg}^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha }$

Перепишем с учетом этого равенства:

$h+L\operatorname{tg} \alpha-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2}(1+\operatorname{tg}^2 \alpha)$

Видим, что относительно $\operatorname{tg} \alpha$ уравнение квадратное, а значит, будет иметь два корня. Если же расстояние, на которое летят капли, максимально, то оно единственно. Следовательно, необходимо, чтобы у данного уравнения оказался только один корень, требуем $D=0$ – это и есть другой путь в обход производной: