Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Разбрызгиватель

Сначала я покажу решение «в лоб». Оно не очень короткое, и не очень простое. А затем мы рассмотрим красивый способ решения, который вы сможете оценить по достоинству после первого, нагруженного.

Задача. Капли воды разбрызгивателя летят во все стороны с одинаковой скоростью \upsilon. На сколько нужно поднять разбрызгиватель с уровня земли, чтобы увеличить площадь полива вдвое при прежней скорости вылета капель? Трением о воздух пренебречь.

Рисунок к задаче

Решение: сначала я покажу решение «в лоб». Оно не очень короткое, и не очень простое. А затем мы рассмотрим красивый способ решения, который вы сможете оценить по достоинству после первого, нагруженного.

Известно, что наибольшая дальность полета достигается, если угол вылета капель равен 45^{\circ}. Тогда эту дальность можно записать как

    \[L=\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

Площадь образующейся лужи равна

    \[S_1=\pi L^2=\frac{\pi \upsilon_0^4}{g^2}\]

Если мы теперь определим дальность полета капель при подъеме разбрызгивателя на высоту h, то мы ответим на вопрос задачи. Так как площадь должна быть вдвое больше, то новая дальность должна быть равна

    \[L_{max}=\sqrt{2}L\]

Можно получить зависимость L(h) и взять производную, приравняв ее к нулю – это работает почти всегда, другое дело – насколько сложной получится зависимость и как трудно будет взять производную. Можно попробовать другой путь – но для этого все-таки нужна зависимость L(h).

Капли имеют горизонтальную составляющую скорости \upsilon_0 \cos \alpha, и улетят за время своего падения на расстояние

    \[L=\upsilon_0 \cos \alpha t\]

Теперь загвоздка в t – как добыть?

Запишем уравнение координаты капель по оси y:

    \[y=y_0+\upsilon_{0y}\cdot t-\frac{gt^2}{2}\]

Переписываем под себя:

    \[0=h+\upsilon_{0}\sin \alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}\]

    \[t=\frac{L}{\upsilon_0 \cos \alpha}\]

Подставляем:

    \[0=h+L\operatorname{tg} \alpha-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2\cos^2\alpha}\]

Используем равенство:

    \[1+\operatorname{tg}^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha }\]

Перепишем с учетом этого равенства:

    \[h+L\operatorname{tg} \alpha-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2}(1+\operatorname{tg}^2 \alpha)\]

Видим, что относительно \operatorname{tg} \alpha уравнение квадратное, а значит, будет иметь два корня. Если же расстояние, на которое летят капли, максимально, то оно единственно. Следовательно, необходимо, чтобы у данного уравнения оказался только один корень, требуем D=0 – это и есть другой путь в обход производной:

    \[D=L^2+\frac{4gL^2}{2\upsilon_0^2}\left(h-\frac{gL^2}{2\upsilon_0^2}\right)=0\]

    \[L^2+\frac{2gL^2h}{\upsilon_0^2}-\frac{g^2L^4}{2\upsilon_0^4}=0\]

Откуда

    \[L=\sqrt{\frac{\upsilon_0^4+2gh\upsilon_0^2}{g^2}}=\frac{\upsilon_0}{g}\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}\]

Подставим для проверки h=0:

    \[L_{max}=\frac{\upsilon_0}{g}\cdot \upsilon_0=\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

Вспомним, что

    \[L_{max}=\sqrt{2}L=\sqrt{2}\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

То есть

    \[\frac{\upsilon_0^2}{g}\sqrt{\upsilon_0^2+2gh }=\sqrt{2}\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

Тогда при сокращении получим

    \[\upsilon_0^2+2gh=2\upsilon_0^2\]

И, наконец,

    \[h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}\]

Это ответ.

Сложно? Да! Можно проще? Да!

Решаем с помощью треугольника скоростей.

Построим треугольник скоростей:

Треугольник скоростей

Площадь треугольника скоростей с одной стороны можно записать как

    \[S=\frac{1}{2}\upsilon_0\upsilon \sin \varphi\]

С другой стороны, \upsilon_x – высота этого треугольника, поэтому площадь можно записать и как

    \[S=\frac{1}{2}\upsilon_x\cdot gt\]

Приравняем с учетом, что \upsilon_x\cdot t=L_{max}:

    \[\upsilon_0\upsilon \sin \varphi=gL_{max}\]

    \[L_{max}=\frac{\upsilon_0\upsilon \sin \varphi }{g}\]

Эта дальность максимальна, если вектора \upsilon и \upsilon_0 перпендикулярны друг другу и \sin \varphi=1.

Тогда

    \[L_{max}=\frac{\upsilon_0\upsilon}{g}\]

Учтем, что

    \[\upsilon=\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}\]

Значит,

    \[L_{max}=\frac{\upsilon_0\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}}{g}=\sqrt{2}L\]

Вспоминаем, что L=\frac{\upsilon_0^2}{g}

    \[\frac{\upsilon_0^2(\upsilon_0^2+2gh)}{g^2}=2L^2=\frac{2\upsilon_0^4}{g^2}\]

    \[\upsilon_0^2+2gh=2\upsilon_0^2\]

    \[2gh=\upsilon_0^2\]

    \[h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}\]

Ответ: h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *