[latexpage]
Разберем последнюю работу Статграда в этом году. Меня просили не выкладывать решения сразу – я обещала. Поэтому публикую решения через 10 дней после выхода работы.

Задача 25
Решение.
Нарисуем график процесса:

График цикла
Так как процесс 1-2 изотермический, то, поскольку объем в нем растет в 4 раза, давление должно в 4 раза падать. Значит, в точке 2 давление можно принять за $p_0$, а в точке 1 – $4p_0$. По условию внутренняя энергия газа в точке 1 известна:
$$U_1=\frac{3}{2}\nu R T_1=\frac{3}{2}\cdot 4p_0\cdot V_0=6p_0V_0$$
Работа в цикле равна разности работ $A_{12}$ и $A_{23}$:
$$A=A_{12}-A_{23}$$
$$A_{23}=p_0\cdot 3V_0=3p_oV_0$$
Видим, что, так как $U_1=6p_0V_0=1600$ Дж, то $A_{23}=3p_oV_0=800$ Дж. Следовательно,
$$A=2000-800=1200$$
Ответ: 1,2 кДж.

Задача 26
Решение.
Определим сначала скорость луча в пластинке:
$$\upsilon=\frac{c}{n}$$
Теперь нужно найти длину пути луча в пластинке. Для этого воспользуемся законом Снеллиуса:
$$\frac{\sin\alpha}{\sin \beta}=n$$
Откуда
$$\sin \beta=\frac{\sin\alpha}{n}=\frac{0,5}{1,5}=\frac{1}{3}$$

Определяем длину пути луча L
Наилучшим вариантом для поиска $L$ будет определить косинус угла преломления:
$$\cos \beta=\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$
Тогда
$$\cos \beta=\frac{H}{L}$$
$$L=\frac{H}{\cos \beta}=\frac{0,3\cdot3}{2\sqrt{2}}$$
Время прохождения луча через пластинку теперь можно определить:
$$t=\frac{L}{\upsilon}=\frac{0,9}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1,5}{3\cdot10^8}=0,159\cdot10^{-8}=1,6\cdot10^{-9}$$
Ответ: 1,6 нс

Задача 27
Решение.
По данному импульсу и массе шайбы можно сразу определить ее начальную скорость:
$$\upsilon_0=\frac{p_0}{m}=2$$
Кинетическая энергия шайбы переходит а работу против силы трения:
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=F_{tr}S=\mu m g S$$
Или
$$S=\frac{\upsilon^2}{2\mu g}=\frac{4}{2\cdot0,4\cdot 10}=0,5$$
Движение шайбы равнозамедленное. Скорость шайбы в любой точке этого пути можно вычислить по формуле “без времени”:
$$2aS=\upsilon_0^2-\upsilon^2$$
То есть
$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_0^2-2aS}$$
Подставляя в эту формулу координату шайбы ($S$), можно записать полученные значения скорости, а затем и построить сам график:

Данные для построения

График
Ответ: 0,5 м

Задача 28
Решение.

Биметаллический цилиндр
Площадь сечения внутреннего железного цилиндра:
$$S_{Fe}=\pi r^2$$
Площадь сечения наружной оболочки из алюминия:
$$S_{Al}=\pi R^2-\pi r^2=2\pi r^2$$
Тогда
$$\pi R^2=3\pi r^2$$
$$R=r\sqrt{3}$$
Масса цилиндра известна:
$$M=\rho_{Fe}\cdot \pi r^2 H+\rho_{Al}\cdot 2\pi r^2 H=1,5$$
$$\pi r^2 H\cdot(\rho_{Fe}+2\rho_{Al})=M$$
$$\pi r^2 H=\frac{M}{\rho_{Fe}+2\rho_{Al}}=\frac{1,5}{7800+5400}=11,36\cdot10^{-5}$$
Тогда
$$m_{Fe}=\rho_{Fe}\cdot \pi r^2 H=7800\cdot 11,36\cdot10^{-5}=0,886$$
$$m_{Al}=\rho_{Al}\cdot 2\pi r^2 H=5400\cdot 11,36\cdot10^{-5}=0,614$$
Вычисляем количество теплоты:
$$Q=c_{Fe}m_{Fe}\Delta t+c_{Al}m_{Al}\Delta t=460\cdot0,886+900\cdot0,614=960,16$$
Ответ: 960 Дж.

Задача 29
Решение.
Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле
$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$
Но в данном случае на шарик маятника в самом нижнем положении (положении равновесия) действует ускорение $g\sin \alpha$. В крайних точках ускорение отличается и от этой величины за счет возвращающей силы. Но, так как отклонение от положения равновесия мало (малые колебания), то этим изменением ускорения можно пренебречь и считать ускорение везде равным $g\sin \alpha$. Тогда
$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g\sin \alpha}}=2\pi\sqrt{\frac{0,4}{5}}=1,78$$
Ответ: 1,78 с

Задача 30
Решение.
Вычислим работу в процессе 1-2:
$$A_{12}=\frac{2p_0+p_0}{2}\cdotV_0=1,5p_oV_0$$
Площадь под графиком процесса 2-3 такая же, поэтому
$$A_{23}=A_{12}=1,5p_oV_0$$
Полная работа составила
$$A=3p_oV_0$$
Внутренняя энергия газа в точке 1
$$U_1=\frac{3}{2}\cdot2p_0 V_0=3p_oV_0$$
Внутренняя энергия газа в точке 3
$$U_3=\frac{3}{2}\cdot2p_0 \cdot3V_0=9p_oV_0$$
Изменение внутренней энергии
$$\Delta U=U_3-U_1=6p_oV_0$$
Количество теплоты, полученное газом
$$Q=A+\Delta U=3p_oV_0+6p_oV_0=9p_oV_0=9000$$
Ответ: 9 кДж.

Задача 31
Решение.
Так как весы равноплечие, то
$$F=mg$$
Сила F – сила притяжения между пластинами. Она равна
$$F=\frac{Eq}{2}=\frac{Uq}{2d}=\frac{CU^2}{2d}=\frac{\varepsilon_0 SU^2}{2d^2}=\frac{8,85\cdot10^{-12}\cdot50\cdot10^{-4}\cdot500^2}{2\cdot0,005^2}=221,25\cdot10^{-6}$$
На 2 поделили потому, что напряженность поля здесь создана нижней пластиной. Полная напряженность поля конденсатора – результат сложения напряженностей, созданных обеими пластинами. Мы рассматриваем верхнюю пластину в поле нижней.
Масса противовеса тогда равна $m=22,125\cdot10^{-6}$, или 22 мг.
Ответ: 22 мг

Задача 32
Решение. Оба источника создадут за линзой два параллельных потока лучей. Эти потоки будут направлены под углом друг к другу, и будут интерферировать. Угол между лучами за линзой и главной оптической осью линзы будет равен $\varphi=\frac{d}{2F}$ (в радианах, при малых углах). Лучи двух пучков сходятся под углом $2\varphi=\frac{d}{F}$.
Длина хода равна для лучей обоих пучков, сходящихся в центре экрана. А при удалении от центра экрана расстояние между поверхностями равных фаз будет расти линейно с ростом расстояния $x$ от центра экрана.

К задаче 32 – ход лучей.
Рыжей линией показана поверхность равных фаз для красных лучей, фиолетовой – для синих.
$$\Delta =2\varphi \cdot x$$
Но
$$\Delta = m \lambda$$
Поэтому
$$2\varphi \cdot x=m \lambda$$
$$x=\frac{ m\lambda}{2\varphi }=\frac{1\cdot\lambda}{\frac{d}{F}}=\frac{F\cdot\lambda}{d}=\frac{546\cdot10^{-9}}{0,002}=273\cdot10^{-6}=0,273\cdot10^{-3}$$
Ответ: период картины будет равен 0,27 мм.
Комментариев - 7
Решение задачи 32 неточно. Приведенная формула не имеет прямого отношения к задаче. Но из нее следует необходимая формула – период картины равен длина волны разделить на угол схождения лучей, дающих интерференционную картину. И вот угол схождения пучков равен d/F.
Хорошо, обдумаю. Спасибо.
По задаче 31. Есть более элегантное решение для нахождения силы притяжения (идея не моя – предложил ученик). Энергия конденсатора равна сила притяжения умножить на путь (расстояние между пластинами)
Да, это хорошо! Годный ученик!
Можно сделать разбор решения задачи 32 поподробнее и с рисунком хода лучей?
Добавила картинку.
Всё равно решение никак не понятно!