Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Равнопеременное движение

Равноускоренное движение. 10 класс. Олимпиадная подготовка

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Каждому возрасту – свои задачи. Здесь – более сложные, чем для ребят 9 класса.

Задача 1. Точка движется прямолинейно с ускорением a=2 м/с^{2}. Определить разность перемещений, проходимых точкой в два последовательных одинаковых промежутка времени \tau=5 с. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

При равноускоренном движении скорость точки меняется по закону \upsilon=\upsilon_0+a\cdot t, где \upsilon_0 — начальная скорость. Задачу удобно решать, используя график зависимости скорости от времени.

К задаче 1

Площадь под графиком скорости – это величина  перемещения точки.

Видно, что за два последовательных интервала времени \tau перемещения отличаются на площадь прямоугольника \Delta S. Стороны этого треугольника равны \tau и \upsilon_0=a\cdot \tau. Таким образом, искомая разность перемещений равна

    \[\Delta S=a\cdot \tau^2=50.\]

Ответ: 50 м.

 

Задача 2. Камень отпускают без начальной скорости, после чего он начинает падать вниз. Через промежуток времени \tau=2 с после этого отпускают второй камень. Через какое время после начала движения второго камня расстояние между ними будет равно L=40 м, если известно, что к этому моменту ни один из них не достигнет поверхности земли? Ответ выразить в с, округлив до целых. Ускорение свободного падения g=10 м/с^{2}.

Решение.

Путь t — время полёта второго камня. Тогда первый находился в воздухе в течение времени t+\tau.

Направим ось y вертикально вниз, приняв за начало отсчёта точку старта камней. Тогда координата первого камня меняется по закону

    \[y_1=\frac{g\cdot(t+\tau)^2}{2}\]

а второго — по закону

    \[y_2=\frac{g\cdot t^2}{2}.\]

Расстояние между камнями равно

    \[L=y_1-y_2=\frac{g\cdot(t+\tau)^2}{2}-\frac{g\cdot t^2}{2}=\frac{g}{2}\cdot(2t+\tau)\cdot\tau=g\cdot\tau\cdot\left(t+\frac{\tau}{2}\right).\]

Следовательно, искомое время равно

    \[t=\frac{L}{g\cdot\tau}-\frac{\tau}{2}=1.\]

Ответ: 1 с.

 

Задача 3. Тело из состояния покоя начинает движение с постоянным ускорением. Определите отношение путей пройденных телом за 39-ю и 4-ю секунду движения. Ответ округлите до целых.

Решение.

Для ускоряющегося из состояния покоя тела перемещения за последовательные одинаковые интервалы времени относятся как ряд последовательных нечетных чисел 1 : 3 : 5 : 7 и т. д. Пусть за 1-ю секунду тело прошло расстояние S. Тогда за 39-ю S_{39}=(39\cdot 2-1)S, а за 4-ю S_4=(4\cdot 2-1)S. Отношение этих расстояний \frac{77}{7}=11.

Ответ: 11.

Задача 4. Летающая тарелка стартует с поверхности земли вертикально вверх с постоянным ускорением a=2 м/с^{2}. В процессе подъема тарелка излучает частые короткие звуковые сигналы и регистрирует их отражение от поверхности земли. Через какое время после старта будет послан последний звуковой сигнал, отражение которого ещё можно зарегистрировать? Скорость звука c=330 м/с. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Решение.

В момент испускания последнего сигнала расстояние до земли было L=\frac{a\cdot\tau^2}{2}, а скорость тарелки \upsilon=a\cdot\tau, где \tau — искомое время. Введём ось y с началом в точке испускания сигнала и направленную вверх вдоль скорости тарелки. Тогда закон изменения координаты тарелки примет вид y=a\cdot\tau t+\frac{a\cdot t^2}{2} (время t отсчитывается здесь от момента испускания последнего сигнала).

Звук со скоростью c должен за t успеть пройти расстояние туда и обратно, а также расстояние y до тарелки. Следовательно S=2L+y=a\cdot\tau+y. С другой стороны, S=c\cdot t, поэтому

    \[c\cdot t=a\cdot\tau^2+y=a\cdot\tau^2+a\cdot\tau\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}.\]

Получается квадратное уравнение

    \[\frac{a\cdot t^2}{2}+(a\cdot\tau-c)\cdot t+a\cdot\tau^2=0\]

Для того, чтобы описанная в задаче ситуация случилась, необходимо, чтобы такой момент времени t существовал. Значит, дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. Следовательно

    \[(a\cdot\tau-c)^2-2a^2\cdot\tau^2\geqslant 0,\]

или

    \[a^2\cdot\tau^2-2a\cdot c\cdot\tau+c^2-2a^2\cdot\tau^2\geqslant 0.\]

Приведя подобные слагаемые и разделив неравенство на (-a^2), получаем, что

    \[\tau^2+\frac{c}{a}\cdot\tau-\left(\frac{c}{a}\right)^2\leqslant 0.\]

Решением этого неравенства является отрезок: \tau\in\left[(-\sqrt{2}-1)\cdot\frac{c}{a};(\sqrt{2}-1)\cdot\frac{c}{a}\right]. Значит, искомый (последний) момент времени равен

    \[\tau=(\sqrt{2}-1)\cdot\frac{c}{a}=68,34\approx 68.\]

Ответ: 68 с.

Задача 5. Тело, свободно падающее с некоторой высоты, за время t=2 с после начала движения проходит путь в n=5 раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти высоту h, с которой падало тело. Ускорение свободного падения g=10 м/с^{2}. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

В течение первого промежутка времени t шарик проходит расстояние

    \[S=\frac{g\cdot t^2}{2}.\]

Из формулы \upsilon^2-0^2=2gh следует, что скорость шарика в конце падения равна

    \[\upsilon=\sqrt{2gh}.\]

В течение последнего промежутка времени t шарик проходит путь

    \[n\cdot S=\frac{\upsilon_1+\upsilon}{2}\cdot t,\]

где \upsilon_1=\upsilon-gt – скорость в начале этого промежутка. Следовательно

    \[n\cdot S=\upsilon\cdot t-\frac{g\cdot t^2}{2}=\upsilon\cdot t-S.\]

Получается, что

    \[(n+1)S=\upsilon\cdot t.\]

Возведя равенство в квадрат и подставляя выражения для S и \upsilon получим

    \[(n+1)^2\cdot\frac{g^2\cdot t^4}{4}=2g\cdot h\cdot t^2,\]

откуда искомая высота равна

    \[h=(n+1)^2\cdot\frac{g\cdot t^2}{2}=180.\]

Ответ: 180 м.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *