Равнопеременное движение

В этой статье разобраны задачи на движение тела с постоянным ускорением. Начинать решать задачи на новую тему нужно всегда с простых, постепенно увеличивая сложность, поэтому следующая статья будет включать в себя уже действительно интересные задачи. Падение тел также происходит с постоянным ускорением, поэтому можно просмотреть и статью на эту тему, там тоже собраны интересные задачи.

Задача 1. Известно, что материальная точка за время $t=10$ с прошла путь $l=60$ м, причем ее скорость увеличилась в $n=5$ раз. Определить ускорение, считая его постоянным.

Пусть начальная скорость точки $\upsilon$ , тогда конечная – $5\upsilon$ .

Ускорение равно $a=\frac{\Delta \upsilon}{t}=\frac{4\upsilon}{t}$ .

$S=\upsilon t+\frac{at^2}{2}=\upsilon t+2\upsilon t=3\upsilon t=60$

$\upsilon=2$

Тогда ускорение равно

$a=\frac{4\upsilon}{t}=\frac{8}{10}=0,8$

Ответ: начальная скорость тела 2 м/с, а ускорение $0,8$ м/c $^2$

Задача 2. Автомобиль движется с постоянным ускорением $a=1$ м/с $^2$ . Мимо наблюдателя он проезжает со скоростью $\upsilon=10,5$ м/с. На каком расстоянии от наблюдателя он был секунду назад?

Первый способ решения: найдем скорость автомобиля секунду назад (м/с):

$\upsilon=\upsilon_0+at$

$\upsilon_0=\upsilon-at=10,5-1\cdot 1=9,5$

Тогда путь, пройденный автомобилем за секунду с начальной скоростью 9,5 м/с с данным ускорением, равен, м:

$S=\upsilon_0 t+\frac{at^2}{2}=9,5+0,5=10$

Второй способ решения: представим обратный процесс, процесс торможения автомобиля, начальная скорость которого равна 10,5 м/с и ускорение 1 м/с $^2$ . Тогда он пройдет точно такой же путь, как и при разгоне:

$S=\upsilon t-\frac{at^2}{2}=10,5-0,5=10$

Ответ: автомобиль находился в 10 метрах от наблюдателя.

Задача 3. Водитель автомобиля, движущегося со скоростью $\upsilon=72$ км/ч, подъезжая к закрытому железнодорожному переезду, начал тормозить за 50 м до него. У переезда машина стояла $t=50$ с. После того как шлагбаум открыли, водитель набрал прежнюю скорость на том же отрезке пути. На сколько ближе к месту назначения оказался бы водитель автомобиля, если бы он ехал с прежней скоростью без остановки? Движение при разгоне и торможении считать равнопеременным.

Скорость в 72 км/ч – это 20 м/с. Обычно удобно сразу все величины перевести в СИ.

Найдем время торможения автомобиля и ускорение при торможении.

$\upsilon^2-\upsilon_0^2=2aS$

Конечная скорость по окончании торможения равна 0, поэтому

$-\upsilon_0^2=2aS$

$a=-\frac{\upsilon_0^2}{2S}=-4$

Тогда время торможения мы найдем из выражения для скорости:

$\upsilon=\upsilon_0-at$

$0=20-4t$

$t=5$

Очевидно, что разгон с таким же ускорением будет длиться столько же, то есть 5 с. Тогда вместе со временем стоянки на переезде водитель потерял минуту. Если бы он не останавливался, то проехал бы за эту минуту $20\cdot60=1200$ м. А из-за задержки он преодолел только 100: 50 при разгоне и 50 при торможении. Таким образом, водитель оказался бы дальше на 1100 м, если бы не переезд.

Ответ: 1100 м

Другой, более лаконичный вариант решения здесь.

Задача 4. Тело начинает двигаться из состояния покоя равноускоренно и за 10-ю секунду проходит путь $S_{10}=38$ м. Найти путь, пройденный телом за 12-ю секунду движения.

При постоянном ускорении пути, которые тело проходит за каждую следующую секунду, относятся как ряд последовательных нечетных чисел:

$S_1:S_2:S_3 \ldots S_{10}:S_{11}:S_{12}\ldots =1:3:5:7 \ldots 19:21:23\ldots$

Тогда $S_{10}=19x=38$ м, $x=2$ м. А $S_{12}=23x=46$ м.

Ответ: 46 м.

Задача 5. Двигаясь прямолинейно и равноускоренно, тело проходит путь $l_1=2$ м за первые $t_1=4$ с, а следующий промежуток длиной $l_2=4$ м за $t_2=5$ с. Определить ускорение тела.

Запишем уравнения для пути, пройденного телом. Начальная скорость его нам неизвестна. Поэтому обозначим ее за $\upsilon_0$ . Тогда для первого участка пути:

$S_1=\upsilon_0 t_1+\frac{at_1^2}{2}$

Поскольку за первые 4 с тело изменило свою скорость $\upsilon=\upsilon_0+at_1$ , то начальной скоростью для второго участка пути будет уже $\upsilon$ и тогда путь, пройденный телом на втором участке, равен:

$S_2=\upsilon t_2+\frac{at_2^2}{2}$

Объединим эти два уравнения в систему и решим совместно:

$\begin{Bmatrix}{S_1=\upsilon_0 t_1+\frac{at_1^2}{2}}\\{S_2=\upsilon t_2+\frac{at_2^2}{2}}\\\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{S_1=\upsilon_0 t_1+\frac{at_1^2}{2}}\\{S_2=(\upsilon_0+at_1) t_2+\frac{at_2^2}{2}}\\\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{2=4\upsilon_0 +8a}\\{4=5(\upsilon_0+4a)+12,5a}\\\end{matrix}$

Решая эту систему, получаем $a=\frac{1}{15}$ м/c $^2$ , $\upsilon_0=\frac{11}{30}$ м/с.

Ответ: $a=0,067$ м/с $^2=6,7$ см/с $^2$

Задача 6. Автомобиль начинает спускаться с горы без начальной скорости и за время $t=1$ мин приобретает скорость $\upsilon_1=27$ км/ч. Одновременно навстречу ему начинает подъем в гору автомобиль, имеющий начальную скорость $\upsilon_0=20$ м/c. За время $t=1$ мин скорость второго автомобиля уменьшается до $\upsilon_2=8$ м/с. Какое расстояние будет разделять автомобили через $t_1=80$ с после начала движения, если длина горы $l=2$ км? Движение автомобилей считать равноускоренным.