Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Равнопеременное движение

В этой статье разобраны задачи на движение тела с постоянным ускорением. Начинать решать задачи на новую тему нужно всегда с простых, постепенно увеличивая сложность, поэтому следующая статья будет включать в себя уже действительно интересные задачи. Падение тел также происходит с постоянным ускорением, поэтому можно просмотреть и статью на эту тему, там тоже собраны интересные задачи.

Задача 1. Известно, что материальная точка за время t=10 с  прошла путь l=60 м, причем ее скорость увеличилась в n=5 раз. Определить ускорение, считая его постоянным.

Пусть начальная скорость точки \upsilon, тогда конечная – 5\upsilon.

Ускорение равно a=\frac{\Delta \upsilon}{t}=\frac{4\upsilon}{t}.

    \[S=\upsilon t+\frac{at^2}{2}=\upsilon t+2\upsilon t=3\upsilon t=60\]

    \[\upsilon=2\]

Тогда ускорение равно

    \[a=\frac{4\upsilon}{t}=\frac{8}{10}=0,8\]

Ответ: начальная скорость тела 2 м/с, а ускорение 0,8 м/c^2

 

Задача 2. Автомобиль движется с постоянным ускорением a=1 м/с^2. Мимо наблюдателя он проезжает со скоростью \upsilon=10,5 м/с. На каком расстоянии от наблюдателя он был секунду назад?

Первый способ решения: найдем скорость автомобиля секунду назад (м/с):

    \[\upsilon=\upsilon_0+at\]

    \[\upsilon_0=\upsilon-at=10,5-1\cdot 1=9,5\]

Тогда путь, пройденный автомобилем за секунду с начальной скоростью 9,5 м/с с данным ускорением, равен, м:

    \[S=\upsilon_0 t+\frac{at^2}{2}=9,5+0,5=10\]

Второй способ решения: представим обратный процесс, процесс торможения автомобиля, начальная скорость которого равна 10,5 м/с и ускорение 1 м/с^2. Тогда он пройдет точно такой же путь, как и при разгоне:

    \[S=\upsilon t-\frac{at^2}{2}=10,5-0,5=10\]

Ответ: автомобиль находился в 10 метрах от наблюдателя.

 

Задача 3. Водитель автомобиля, движущегося со скоростью \upsilon=72 км/ч, подъезжая к закрытому железнодорожному переезду, начал тормозить за 50 м до него. У переезда машина стояла t=50 с. После того как шлагбаум открыли, водитель набрал прежнюю скорость на том же отрезке пути. На сколько ближе к месту назначения оказался бы водитель автомобиля, если бы он ехал с прежней скоростью без остановки? Движение при разгоне и торможении считать равнопеременным.

Скорость в 72 км/ч – это 20 м/с. Обычно удобно сразу все величины перевести в СИ.

Найдем время торможения автомобиля и ускорение при торможении.

    \[\upsilon^2-\upsilon_0^2=2aS\]

Конечная скорость по окончании торможения равна 0, поэтому

    \[-\upsilon_0^2=2aS\]

    \[a=-\frac{\upsilon_0^2}{2S}=-4\]

Тогда время торможения мы найдем из выражения для скорости:

    \[\upsilon=\upsilon_0-at\]

    \[0=20-4t\]

    \[t=5\]

Очевидно, что разгон с таким же ускорением будет длиться столько же, то есть 5 с. Тогда вместе со временем стоянки на переезде водитель потерял минуту. Если бы он не останавливался, то проехал бы за эту минуту 20\cdot60=1200  м. А из-за задержки он преодолел только 100: 50 при разгоне и 50 при торможении. Таким образом, водитель оказался бы дальше на 1100 м, если бы не переезд.

Ответ: 1100 м

Другой, более лаконичный вариант решения здесь.

 

Задача 4. Тело начинает двигаться из состояния покоя равноускоренно и за 10-ю секунду проходит путь S_{10}=38 м. Найти путь, пройденный телом за 12-ю секунду движения.

При постоянном ускорении пути, которые тело проходит за каждую следующую секунду, относятся как ряд последовательных нечетных чисел:

    \[S_1:S_2:S_3 \ldots S_{10}:S_{11}:S_{12}\ldots =1:3:5:7 \ldots 19:21:23\ldots\]

Тогда S_{10}=19x=38 м, x=2 м. А S_{12}=23x=46 м.

Ответ: 46 м.

 

Задача 5. Двигаясь прямолинейно и равноускоренно, тело проходит путь l_1=2 м за первые t_1=4 с, а следующий промежуток длиной l_2=4 м за t_2=5 с. Определить ускорение тела.

Запишем уравнения для пути, пройденного телом. Начальная скорость его нам неизвестна. Поэтому обозначим ее за \upsilon_0. Тогда для первого участка пути:

    \[S_1=\upsilon_0 t_1+\frac{at_1^2}{2}\]

Поскольку за первые 4 с тело изменило свою скорость \upsilon=\upsilon_0+at_1, то начальной скоростью для второго участка пути будет уже \upsilon  и тогда путь, пройденный телом на втором участке, равен:

    \[S_2=\upsilon t_2+\frac{at_2^2}{2}\]

Объединим эти два уравнения в систему и решим совместно:

    \[\begin{Bmatrix}{S_1=\upsilon_0 t_1+\frac{at_1^2}{2}}\\{S_2=\upsilon t_2+\frac{at_2^2}{2}}\\\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{S_1=\upsilon_0 t_1+\frac{at_1^2}{2}}\\{S_2=(\upsilon_0+at_1) t_2+\frac{at_2^2}{2}}\\\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{2=4\upsilon_0 +8a}\\{4=5(\upsilon_0+4a)+12,5a}\\\end{matrix}\]

Решая эту систему, получаем a=\frac{1}{15} м/c^2, \upsilon_0=\frac{11}{30} м/с.

Ответ: a=0,067 м/с^2=6,7 см/с^2

 

Задача 6. Автомобиль начинает спускаться с горы без начальной скорости и за время t=1 мин приобретает скорость \upsilon_1=27 км/ч. Одновременно навстречу ему начинает подъем в гору автомобиль, имеющий начальную скорость \upsilon_0=20 м/c. За время t=1 мин скорость второго автомобиля уменьшается до \upsilon_2=8 м/с. Какое расстояние будет разделять автомобили через t_1=80 с после начала движения, если длина горы l=2 км? Движение автомобилей считать равноускоренным.

Переведем все данные задачи в единицы СИ: t=60 с, \upsilon_1=7,5 м/с.

Теперь можем определить ускорения автомобилей:

    \[a_1=\frac{\Delta \upsilon_1}{t}=\frac{7,5}{60}=0,125\]

    \[\upsilon_2=\upsilon_0-a_2t\]

    \[a_2=\frac{\upsilon_2-\upsilon_0}{t}=-\frac{12}{60}=-0,2\]

Тогда путь, пройденный первым автомобилем:

    \[S_1=\frac{a_1t_1^2}{2}=\frac{0,125\cdot80^2}{2}=400\]

А второй пройдет

    \[S_2=\upsilon_0 t_1-\frac{a_2t_1^2}{2}=20\cdot80-\frac{0,2\cdot80^2}{2}=1600-640=960\]

Таким образом, между автомобилями через 80 с останется расстояние, равное 2000-400-960=640 м.

А  интересно, сможет ли второй автомобиль преодолеть подъем? Определим его скорость на вершине:

    \[2aS=\upsilon_3^2-\upsilon_0^2\]

    \[\upsilon_3=\sqrt{2aS+\upsilon_0^2}=\sqrt{-2\cdot0,2\cdot2000+400}=\sqrt{-400}\]

Получили корень из отрицательного числа, поэтому, если водитель не добавит газу, то второй автомобиль не сможет преодолеть подъем.

Ответ: 640 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *