Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Равнопеременное движение – 2

В этой статье решены три задачи на движение тела с постоянным ускорением. Задачи несложные, но в последней нужно проявить смекалку. Впрочем, вторая задача тоже требует догадливости.

Задача 1. Пуля, летящая со скоростью \upsilon_0=400 м/c, ударяет в земляной вал и проникает в него на глубину S=36 см. Определить а) ускорение a; б) какое время t она движется внутри вала; в) скорость \upsilon_1 на глубине S_1=18 см; г) на какой глубине S_2 скорость пули уменьшится в три раза; д) скорость пули \upsilon_3 к моменту, когда она пройдет \eta=99 % своего пути. Движение считать равнозамедленным.

а) Определим ускорение пули:

    \[2aS=\upsilon^2-\upsilon_0^2\]

Пуля снизила свою скорость до нуля, затормозив в земляном валу, поэтому \upsilon=0 и

    \[2aS=-\upsilon_0^2\]

    \[a=\frac{-\upsilon_0^2}{2S}=-\frac{400^2}{2 \cdot 0,36}=-2,2\cdot 10^5\]

б) Определим время движения пули, зная глубину, на которую она проникла, и пользуясь уравнениями, описывающими равнопеременное движение:

    \[\upsilon=\upsilon_0 - at\]

    \[0=\upsilon_0 - at\]

    \[t=\frac{\upsilon_0}{a}=\frac{400}{2,2\cdot 10^5}=18\cdot 10^{-4}\]

в) Скорость на глубине 18 см определим из формулы:

    \[2aS_1=\upsilon_0^2-\upsilon_1^2\]

Откуда

    \[\upsilon_1=\sqrt{-2aS_1+\upsilon_0^2}=\sqrt{-2\cdot2,2\cdot 10^5\cdot 0,18+400^2}=283\]

г) Скорость пули уменьшилась втрое и стала равна \upsilon_2=\frac{400}{3}, определим глубину проникновения пули на этот момент:

    \[2aS_2=\upsilon_0^2-\upsilon_2^2\]

    \[S_2=\frac{\upsilon_0^2-\upsilon_2^2}{2a}=\frac{400^2-\left(\frac{400}{3}\right)^2}{4,4\cdot 10^5}=0,32\]

д) Наконец, последний пункт: нужно выяснить скорость пули, когда она уже прошла 99% пути (S_3=0,99S).

    \[2aS_3=\upsilon_0^2-\upsilon_3^2\]

    \[\upsilon_3=\sqrt{-2aS_3+\upsilon_0^2}=\sqrt{-2\cdot2,2\cdot 10^5\cdot 0,99 \cdot 0,36+400^2}=56,4\]

Ответ: а) a=2,2\cdot 10^5 м/с^2; б) t=1,8\cdot 10^{-3} c; в) \upsilon_1=283 м/с; г) S_2=0,32 м; д) \upsilon_3=56,4 м/с.

 

Задача 2. Пассажир, стоявший у начала третьего вагона электрички, определил, что начавший двигаться вагон прошел мимо него за t_1=5 с, а вся электричка – за t_2=15,8 с. Сколько вагонов у электрички? За какое время прошел мимо пассажира последний вагон? Движение электрички считать равноускоренным.

Задача 2

Пусть вагон имеет длину l, тогда вся электричка c начала третьего по конец последнего вагона – длину nl, если состоит из n вагонов. Начальная скорость поезда равна нулю. Так как третий вагон прошел мимо наблюдателя за 5 с, то ускорение электрички можно определить из известного (или принятого нами) пути. Используем длину вагона.

    \[l=\frac{at_1^2}{2}\]

    \[a=\frac{2l}{t_1^2}=\frac{2l}{25}\]

Тогда определим теперь количество вагонов, миновавших наблюдателя:

    \[n=\frac{S}{l}=\frac{at_2^2}{2l}=\frac{2l}{25l}\frac{15,8^2}{2}=10\]

Раз мимо наблюдателя прошли десять вагонов, а первым прошедшим был третий, следовательно, всего в составе 12 вагонов. Определим, за какое время прошел мимо наблюдателя последний вагон. Для этого определим, за какое время прошли 9 предыдущих, и затем вычтем полученное время из 15,8 с:

    \[S=9l=\frac{at_3^2}{2}=\frac{2l}{25}\frac{t_3^2}{2}\]

    \[9=\frac{2}{25}\frac{t_3^2}{2}\]

    \[t_3=\sqrt{9\cdot25}=\sqrt{225}=15\]

Тогда последний вагон миновал наблюдателя за 15,8-15=0,8 с.

 

 

Задача 3. По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. На расстоянии l=30 см от начала движения шарик побывал дважды: через t_1=1 с, и через t_2=2 с после начала движения. Определить начальную скорость и ускорение движения шарика.

Первый вывод, который можно сделать из условия – вовсе не всем очевидный! – вывод о том, что шарик двигался одинаковое время и вверх, и вниз. А значит, где-то между моментами времени 1 с и 2 с он побывал в наивысшей точке своего движения. Очевидно, что он затратил одно и то же время на движение от отметки 30 см до этой наивысшей точки и обратно, а значит, это время – полсекунды. То есть вверх шарик двигался всего 1,5 с. Аналогично и вниз шарик тоже двигался 1,5 с. Тогда можно записать для движения вверх (в наивысшей точке скорость равна нулю):

    \[\upsilon=\upsilon_0-at=0\]

    \[a=\frac{\upsilon_0}{t}\]

Здесь t=\frac{t_1+t_2}{2}=1,5 с.

Для момента, когда шарик оказался на отметке 30 см, запишем:

    \[S=\upsilon_0 t_1-\frac{at_1^2}{2}\]

    \[S=0,3=\upsilon_0 t_1-\frac{\upsilon_0 t_1^2}{2t}=\upsilon_0 t_1(1-\frac{t_1}{t_1+t_2})=\upsilon_0(\frac{t_1 t_2}{t_1+t_2})\]

    \[\upsilon_0=\frac{(t_1+t_2)S}{t_1 t_2}=\frac{0,9}{2}=0,45\]

Определяем ускорение. Сделаем это с учетом того, что скорость движения шарика нулевая в наивысшей точке, а там шарик окажется через 1,5 с:

    \[a=\frac{\upsilon_0}{t}=\frac{0,45}{1,5}=0,3\]

Ответ: ускорение шарика 0,3 м/с^2, а начальная скорость – 0,45 м/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *