Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (13(С2))

Расстояние от точки до плоскости – метод координат

Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод координат.

Задача 1. В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA_1 взята точка M так, что AM = 8 . На ребре BB_1 взята точка K так, что B_1K = 8.

Найдите расстояние от точки A_1 до плоскости D_1MK.

Решение: введем систему координат с началом в точке A. Ось x направим вдоль прямой AD, ось y – вдоль AB, ось z – вверх. Для того, чтобы определить искомое расстояние, понадобится уравнение плоскости D_1MK – а значит, координаты точек D_1, M, K, и координаты точки A_1.

К задаче 1

Записываем координаты:

    \[A_1 (0; 0; 21)\]

    \[D_1 (12; 0; 21)\]

    \[M (0; 0; 8)\]

    \[K (0; 12; 13)\]

Система координат в задаче 1

Теперь, чтобы получить уравнение плоскости, подставим координаты точек D_1, M, K в общее уравнение плоскости: ax+by+cz+d=0:

    \[\begin{Bmatrix}{ 12a+21c+d=0}\\{ 8c+d=0}\\{ 12b+13c+d=0}\end{matrix}\]

Имеем: c=-\frac{d}{8}, подставим это в первое уравнение:

    \[12a=-d+\frac{21d}{8}=-\frac{13d}{8}\]

    \[a=-\frac{13d}{96}\]

А теперь в третье:

    \[12b=\frac{13d}{8}-d=-\frac{5d}{8}\]

    \[b=-\frac{5d}{96}\]

Мы получили все коэффициенты в уравнении плоскости, только они выражены через d. Так как плоскость не проходит через начало координат, можно принять d=1. Тогда

    \[a=-\frac{13}{96}\]

    \[b=-\frac{5}{96}\]

    \[c=-\frac{1}{8}\]

И нам осталось определить расстояние по формуле:

    \[\delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d \mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

Где (x_0; y_0; z_0) – координаты точки A_1.

    \[\delta=\frac{\mid -21\cdot\frac{1}{8}+1 \mid}{\sqrt{\frac{169}{96^2}+\frac{25}{96^2}+\frac{1}{64}}}\]

    \[\delta=\frac{ \frac{13}{8}}{\sqrt{\frac{169}{96^2}+\frac{25}{96^2}+\frac{144}{96^2}}}\]

    \[\delta=\frac{ \frac{13}{8}\cdot 96}{\sqrt{169+25+144}}=\frac{156}{13\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}\]

    \[\delta=6\sqrt{2}\]

Ответ: \delta=6\sqrt{2}

 

Задача 2. На ребрах CD и BB_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причем DP = 4 , а B_1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC_1 в точке M .

Найдите расстояние от точки C до плоскости APQ.

Решение: введем систему координат с началом в точке A. Ось x направим вдоль прямой AD, ось y – вдоль AB, ось z – вверх. Для того, чтобы определить искомое расстояние, понадобится уравнение плоскости APQ – а значит, координаты точек A, P, Q, и координаты точки C.

К задаче 2

Записываем координаты:

    \[A (0; 0; 0)\]

    \[P (12; 4; 0)\]

    \[Q (0; 12; 9)\]

    \[C (12; 12; 0)\]

Теперь, чтобы получить уравнение плоскости, подставим координаты точек A, P, Q в общее уравнение плоскости: ax+by+cz+d=0:

    \[\begin{Bmatrix}{ 12a+4b+d=0}\\{ 12b+9c+d=0}\end{matrix}\]

Так как плоскость проходит через начало координат, можно принять d=0. Тогда

    \[a=-\frac{b}{3}\]

    \[b=-\frac{3c}{4}\]

Следовательно,

    \[a=\frac{c}{4}\]

Можно умножить все коэффициенты в уравнении плоскости на 12, тогда получим a=3; b=-9; c=12.

И нам осталось определить расстояние по формуле:

    \[\delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d \mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

Где (x_0; y_0; z_0) – координаты точки С.

    \[\delta=\frac{\mid -12\cdot3+3\cdot 9 \mid}{\sqrt{9+81+144}}\]

    \[\delta=\frac{\mid 12\cdot6 \mid}{\sqrt{234}}=\frac{24}{\sqrt{26}}\]

Ответ:  \delta=\frac{12\sqrt{26}}{13}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *