Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (13(С2))

Расстояние от точки до плоскости – метод координат

[latexpage]

Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод координат.

Задача 1. В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре $AA_1$ взята точка $M$ так, что $AM = 8$ . На ребре $BB_1$ взята точка $K$ так, что $B_1K = 8$.

Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $D_1MK$.

Решение: введем систему координат с началом в точке $A$. Ось $x$ направим вдоль прямой $AD$, ось $y$ – вдоль $AB$, ось $z$ – вверх. Для того, чтобы определить искомое расстояние, понадобится уравнение плоскости $D_1MK$ – а значит, координаты точек $D_1$, $M$, $K$, и координаты точки $A_1$.

К задаче 1

Записываем координаты:

$$A_1 (0; 0; 21)$$

$$D_1 (12; 0; 21)$$

$$M (0; 0; 8)$$

$$K (0; 12; 13)$$

Система координат в задаче 1

Теперь, чтобы получить уравнение плоскости, подставим координаты точек $D_1$, $M$, $K$ в общее уравнение плоскости: $ax+by+cz+d=0$:

$$\begin{Bmatrix}{ 12a+21c+d=0}\\{ 8c+d=0}\\{ 12b+13c+d=0}\end{matrix}$$

Имеем: $c=-\frac{d}{8}$, подставим это в первое уравнение:

$$12a=-d+\frac{21d}{8}=-\frac{13d}{8}$$

$$a=-\frac{13d}{96}$$

А теперь в третье:

$$12b=\frac{13d}{8}-d=-\frac{5d}{8}$$

$$b=-\frac{5d}{96}$$

Мы получили все коэффициенты в уравнении плоскости, только они выражены через $d$. Так как плоскость не проходит через начало координат, можно принять $d=1$. Тогда

$$a=-\frac{13}{96}$$

$$b=-\frac{5}{96}$$

$$c=-\frac{1}{8}$$

И нам осталось определить расстояние по формуле:

$$\delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d \mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Где $(x_0; y_0; z_0)$ – координаты точки $A_1$.

$$\delta=\frac{\mid -21\cdot\frac{1}{8}+1 \mid}{\sqrt{\frac{169}{96^2}+\frac{25}{96^2}+\frac{1}{64}}}$$

$$\delta=\frac{ \frac{13}{8}}{\sqrt{\frac{169}{96^2}+\frac{25}{96^2}+\frac{144}{96^2}}}$$

$$\delta=\frac{ \frac{13}{8}\cdot 96}{\sqrt{169+25+144}}=\frac{156}{13\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}$$

$$\delta=6\sqrt{2}$$

Ответ: $\delta=6\sqrt{2}$

 

Задача 2. На ребрах $CD$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 12 отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причем $DP = 4$ , а $B_1Q = 3$. Плоскость $APQ$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $M$ .

Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $APQ$.

Решение: введем систему координат с началом в точке $A$. Ось $x$ направим вдоль прямой $AD$, ось $y$ – вдоль $AB$, ось $z$ – вверх. Для того, чтобы определить искомое расстояние, понадобится уравнение плоскости $APQ$ – а значит, координаты точек $A$, $P$, $Q$, и координаты точки $C$.

К задаче 2

Записываем координаты:

$$A (0; 0; 0)$$

$$P (12; 4; 0)$$

$$Q (0; 12; 9)$$

$$C (12; 12; 0)$$

Теперь, чтобы получить уравнение плоскости, подставим координаты точек $A$, $P$, $Q$ в общее уравнение плоскости: $ax+by+cz+d=0$:

$$\begin{Bmatrix}{ 12a+4b+d=0}\\{ 12b+9c+d=0}\end{matrix}$$

Так как плоскость проходит через начало координат, можно принять $d=0$. Тогда

$$a=-\frac{b}{3}$$

$$b=-\frac{3c}{4}$$

Следовательно,

$$a=\frac{c}{4}$$

Можно умножить все коэффициенты в уравнении плоскости на 12, тогда получим $a=3; b=-9; c=12$.

И нам осталось определить расстояние по формуле:

$$\delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d \mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Где $(x_0; y_0; z_0)$ – координаты точки $С$.

$$\delta=\frac{\mid -12\cdot3+3\cdot 9 \mid}{\sqrt{9+81+144}}$$

$$\delta=\frac{\mid 12\cdot6 \mid}{\sqrt{234}}=\frac{24}{\sqrt{26}}$$

Ответ:  $\delta=\frac{12\sqrt{26}}{13}$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *