Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Расстояние между скрещивающимися прямыми – 3

Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов.

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB=5, SA=3. На ребрах AB и SC отмечены точки K и M, причем AK:KB=SM:MC=1:4.

Плоскость \alpha содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

А) Докажите,  что плоскость \alpha делит ребро AC в отношении 1:4, считая от вершины A.

Б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

Пирамида

А) Построим плоскость \alpha. Для этого проведем через точку K прямую, параллельную BC. Эта прямая пересечет прямую AС в точке N. Через точку M также проведем прямую, параллельную BC – она пересечет ребро SB в точке L. Плоскость \alpha, таким образом, параллельна прямой SA и прямой BC. Поэтому данная плоскость будет делить все ребра, которые она пересекает, в одинаковом отношении: 1:4, согласно теореме Фалеса.

Б) Вводим систему координат и определяем координаты точек A, N, S, M, K.

Система координат

Координаты точки A\{-2,5; 0; 0\}, K\{-2; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0\}, N\{-1,5; 0; 0\}. Высоту пирамиды определим из треугольника SOB.

    \[h=\sqrt{SB^2-BO^2}=\sqrt{9-\left(\frac{2}{3}H\right)^2}\]

Здесь H – высота треугольника ABC, H=\frac{5\sqrt{3}}{2}.

    \[h=\sqrt{9-\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\]

 

Теперь можно записать координаты точки S\{0; \frac{5\sqrt{3}}{6}; \sqrt{\frac{2}{3}}\}, и M –  \{0,5; \frac{4}{5}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{6}; \frac{4}{5}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\}

Нам нужно найти расстояние от плоскости \alpha#, проходящей через точки N, K, M и содержащей прямую KM, до прямой AS, то есть до произвольной точки данной прямой.

Теперь по трем точкам – N, M, K – получим уравнение плоскости. Она не проходит через начало координат, поэтому d\neq 0.

    \[\begin{Bmatrix}{-1,5a+d=0}\\{-2a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+d=0}\\{0,5a+\frac{2\sqrt{3}}{3}b+\frac{4}{5}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}c+d=0}\end{matrix}\]

Получаем коэффициенты в уравнении плоскости

    \[a=\frac{2}{3}\]

    \[b=\frac{2d}{3\sqrt{3}}\]

    \[c=-\frac{20}{9}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}d\]

Нормаль к плоскости \vec{n} имеет координаты \{\frac{2d}{3}; \frac{2d}{3\sqrt{3}}; -\frac{20}{9}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}d \}, или, сокращая на d, \{\frac{2}{3}; \frac{2}{3\sqrt{3}}; -\frac{20}{9}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \}.

Определяем расстояние по формуле

    \[\Delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

используя при этом точку A.

    \[\Delta=\frac{\mid \frac{2}{3}\cdot(-2,5) \mid}{\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{27}+\frac{200}{27}}}\]

    \[\Delta=\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{216}{27}}}=\frac{\sqrt{2}}{6}\]

Ответ: \Delta= \frac{\sqrt {2}}{6}

Второй способ – воспользоваться формулой

    \[V=\frac{1}{6}a b d \sin \varphi\]

Формула даст расстояние между ребрами SA и BC, тогда искомое нами расстояние в 5 раз меньше, так как плоскость делит ребра в отношении 1:4, и, следовательно, прямая, содержащаяся в ней, ближе к SA в пять раз, нежели BC. Здесь a=BC=5, b=SA=3, d  -искомое расстояние между скрещивающимися ребрами, \sin \varphi=1, так как в правильном тетраэдре противоположные ребра перпендикулярны, объем сейчас определим: площадь основания тетраэдра

    \[S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\]

Высота тетраэдра найдена ранее: h=\sqrt{\frac{2}{3}}. Тогда, согласно формуле,

    \[d=\frac{6V}{ab\sin \varphi }=\frac{6\cdot\frac{1}{3}Sh}{ ab\sin \varphi }=\frac{2Sh}{ ab\sin \varphi }=\frac{25\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}}{2\cdot 15}=\frac{5\sqrt{2}}{6}\]

Наше, искомое, расстояние, равно \Delta= \frac{\sqrt {2}}{6}.

И третий, классический, способ:

Проведем медиану треугольника AKN. Она же будет высотой в нем. Ее длина \frac{\sqrt{3}}{2} – так как сторона треугольника равна 1. Из точки пересечения этой медианы с отрезком KN опустим перпендикуляр на прямую SA. Длина этого перпендикуляра – x – и есть искомое расстояние. Найдем x. Для этого понадобится какая-либо тригонометрическая функция угла \beta. Воспользуемся треугольником ASO. В нем AS=3, SO=\sqrt{\frac{2}{3}}, AO=\frac{\sqrt{3}}{2} – как \frac{2}{3} медианы треугольника ABC. Тогда

    \[\sin{\beta}=\frac{SO}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\]

Определяем x

    \[x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin{\beta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt {2}}{6}\]

Ответ: \Delta= \frac{\sqrt {2}}{6}

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *