Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Расстояние между скрещивающимися прямыми – 2

Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов. Это – вторая статья серии.

Задача 1. Дана пирамида  SABC, в которой SC=SB=AB=AC=\sqrt{17}, SA=BC=2\sqrt{5}.

А) Доказать, что прямые SA и BC перпендикулярны.

Б) Найти расстояние между прямыми SA и BC.

К задаче 1.

А) Воспользуемся классическим методом. Треугольник ABC равнобедренный. Треугольник SBC – также равнобедренный. Проведем AH – высоту треугольника ABC и SH – высоту треугольника SBC. AH – проекция SA на плоскость ABC. Так как AH\perp BC, то SA\perp BC.

 

Б) Так как AH=SH, то треугольник SHA – равнобедренный. Таким образом, его высота HD перпендикулярна SA по построению и перпендикулярна BC по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, HD – общий перпендикуляр для обеих прямых и его длина – это и есть расстояние между ними.  По теореме Пифагора для треугольника SBH

    \[SH=AH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\sqrt{17-5}=\sqrt{12}\]

По теореме Пифагора для треугольника SHD

    \[DH=\sqrt{SH^2-SD^2}=\sqrt{12-5}=\sqrt{7}\]

Ответ: DH=\sqrt{7}

 

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=8, а боковое ребро SA=10. На ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:7. Плоскость \alpha содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

А) Докажите,  что плоскость \alpha делит ребро SB в отношении 1:7, считая от вершины S.

Б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

К задаче 2

А) Построим плоскость \alpha. Для этого проведем через точку N прямую, параллельную BC. Эта прямая пересечет прямую AB в точке M. Через точку K также проведем прямую, параллельную BC – она пересечет ребро SB в точке L. Плоскость \alpha, таким образом, параллельна плоскости ASD. Поэтому данная плоскость будет делить все ребра, которые она пересекает, в одинаковом отношении: 1:7.

Б) Вводим систему координат и определяем координаты точек A, N, S, D.

Плоскость, параллельная BC

Координаты точки A\{0; 8; 0\}, D\{0; 0; 0\}, N\{1; 0; 0\}. Высоту пирамиды определим из треугольника SOB.

    \[h=\sqrt{SB^2-SO^2}=\sqrt{100-32}=2\sqrt{17}\]

Теперь можно записать координаты точки S\{4; 4; 2\sqrt{17}\}.

Теперь по трем точкам – S, A, D – получим уравнение плоскости SAD. Она проходит через начало координат, поэтому d=0.

    \[\begin{Bmatrix}{4a+4b+2\sqrt{17}c=0}\\{8b=0}\end{matrix}\]

Получаем коэффициенты в уравнении плоскости

    \[b=0\]

    \[a=-\frac{2\sqrt{17}c}{4}\]

Нормаль к плоскости \vec{n} имеет координаты \{-\frac{\sqrt{17}}{2}; 0; 1\}.

Определяем расстояние по формуле

    \[\Delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

используя при этом точку N.

    \[\Delta=\frac{\mid 1\cdot\left(-\frac{\sqrt{17}}{2}\right) \mid}{\sqrt{\frac{17}{4}+1}}\]

    \[\Delta=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{21}}\]

Ответ: \Delta=\sqrt{\frac{357}{21}}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *