Расстояние между скрещивающимися прямыми – 2

[latexpage]

Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов. Это – вторая статья серии.

Задача 1. Дана пирамида  $SABC$, в которой $SC=SB=AB=AC=\sqrt{17}$, $SA=BC=2\sqrt{5}$.

А) Доказать, что прямые $SA$ и $BC$ перпендикулярны.

Б) Найти расстояние между прямыми $SA$ и $BC$.

К задаче 1.

А) Воспользуемся классическим методом. Треугольник $ABC$ равнобедренный. Треугольник $SBC$ – также равнобедренный. Проведем $AH$ – высоту треугольника $ABC$ и $SH$ – высоту треугольника $SBC$. $AH$ – проекция $SA$ на плоскость $ABC$. Так как $AH\perp BC$, то $SA\perp BC$.

Б) Так как $AH=SH$, то треугольник $SHA$ – равнобедренный. Таким образом, его высота $HD$ перпендикулярна $SA$ по построению и перпендикулярна $BC$ по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, $HD$ – общий перпендикуляр для обеих прямых и его длина – это и есть расстояние между ними.  По теореме Пифагора для треугольника $SBH$

$$SH=AH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\sqrt{17-5}=\sqrt{12}$$

По теореме Пифагора для треугольника $SHD$

$$DH=\sqrt{SH^2-SD^2}=\sqrt{12-5}=\sqrt{7}$$

Ответ: $DH=\sqrt{7}$

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=8$, а боковое ребро $SA=10$. На ребрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причем $DN:NC=SK:KC=1:7$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.

А) Докажите,  что плоскость $\alpha$ делит ребро $SB$ в отношении $1:7$, считая от вершины $S$.

Б) Найдите расстояние между прямыми $SA$ и $KN$.

К задаче 2

А) Построим плоскость $\alpha$. Для этого проведем через точку $N$ прямую, параллельную $BC$. Эта прямая пересечет прямую $AB$ в точке $M$. Через точку $K$ также проведем прямую, параллельную $BC$ – она пересечет ребро $SB$ в точке $L$. Плоскость $\alpha$, таким образом, параллельна плоскости $ASD$. Поэтому данная плоскость будет делить все ребра, которые она пересекает, в одинаковом отношении: 1:7.

Б) Вводим систему координат и определяем координаты точек $A, N, S, D$.

Плоскость, параллельная BC

Координаты точки $A$ – $\{0; 8; 0\}$, $D$ – $\{0; 0; 0\}$, $N$ – $\{1; 0; 0\}$. Высоту пирамиды определим из треугольника $SOB$.

$$h=\sqrt{SB^2-SO^2}=\sqrt{100-32}=2\sqrt{17}$$

Теперь можно записать координаты точки $S$ – $\{4; 4; 2\sqrt{17}\}$.

Теперь по трем точкам – $S, A, D$ – получим уравнение плоскости $SAD$. Она проходит через начало координат, поэтому $d=0$.

$$\begin{Bmatrix}{4a+4b+2\sqrt{17}c=0}\\{8b=0}\end{matrix}$$

Получаем коэффициенты в уравнении плоскости

$$b=0$$

$$a=-\frac{2\sqrt{17}c}{4}$$

Нормаль к плоскости $\vec{n}$ имеет координаты $\{-\frac{\sqrt{17}}{2}; 0; 1\}$.

Определяем расстояние по формуле

$$\Delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

используя при этом точку $N$.

$$\Delta=\frac{\mid 1\cdot\left(-\frac{\sqrt{17}}{2}\right) \mid}{\sqrt{\frac{17}{4}+1}}$$

$$\Delta=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{21}}$$

Ответ: $\Delta=\sqrt{\frac{357}{21}}$