Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – 2

Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов. Это – вторая статья серии.

Задача 1. Дана пирамида $SABC$ , в которой $SC=SB=AB=AC=\sqrt{17}$ , $SA=BC=2\sqrt{5}$ .

А) Доказать, что прямые $SA$ и $BC$ перпендикулярны.

Б) Найти расстояние между прямыми $SA$ и $BC$ .

К задаче 1.

А) Воспользуемся классическим методом. Треугольник $ABC$ равнобедренный. Треугольник $SBC$ – также равнобедренный. Проведем $AH$ – высоту треугольника $ABC$ и $SH$ – высоту треугольника $SBC$ . $AH$ – проекция $SA$ на плоскость $ABC$ . Так как $AH\perp BC$ , то $SA\perp BC$ .

Б) Так как $AH=SH$ , то треугольник $SHA$ – равнобедренный. Таким образом, его высота $HD$ перпендикулярна $SA$ по построению и перпендикулярна $BC$ по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, $HD$ – общий перпендикуляр для обеих прямых и его длина – это и есть расстояние между ними. По теореме Пифагора для треугольника $SBH$

$SH=AH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\sqrt{17-5}=\sqrt{12}$

По теореме Пифагора для треугольника $SHD$

$DH=\sqrt{SH^2-SD^2}=\sqrt{12-5}=\sqrt{7}$

Ответ: $DH=\sqrt{7}$

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=8$ , а боковое ребро $SA=10$ . На ребрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причем $DN:NC=SK:KC=1:7$ . Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$ .

А) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $SB$ в отношении $1:7$ , считая от вершины $S$ .

Б) Найдите расстояние между прямыми $SA$ и $KN$ .

К задаче 2

А) Построим плоскость $\alpha$ . Для этого проведем через точку $N$ прямую, параллельную $BC$ . Эта прямая пересечет прямую $AB$ в точке $M$ . Через точку $K$ также проведем прямую, параллельную $BC$ – она пересечет ребро $SB$ в точке $L$ . Плоскость $\alpha$ , таким образом, параллельна плоскости $ASD$ . Поэтому данная плоскость будет делить все ребра, которые она пересекает, в одинаковом отношении: 1:7.