Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – 1

Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов.

Задача 1. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны двум. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$ .

А) Доказать, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.

Б) Найти расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$ .

К задаче 1

А) Воспользуемся координатным методом. Введем систему координат так, как показано на рисунке. Нам понадобятся координаты точек $M, B, B_1, C$ :

$M\{-1; 0; 1\}, B\{0; \sqrt{3}; 2\}, C\{1; 0; 2 \}, B_1\{0, \sqrt{3}; 0\}$ .

Направляющий вектор прямой $MB$ будет иметь координаты $\vec{MB}\{1; \sqrt{3}; 1\}$ , направляющий вектор прямой $CB_1$ – координаты $\vec{CB_1}\{-1; \sqrt{3}; -2\}$ . Скалярное произведение указанных векторов (по координатам) равно нулю, следовательно, направляющие векторы данных прямых перпендикулярны, и сами прямые, значит, тоже перпендикулярны.

Б) Для того, чтобы найти расстояние между прямыми, нужно провести плоскость, содержащую одну прямую и параллельную при этом другой. Затем определить расстояние от данной плоскости до любой точки второй прямой по формуле

$\Delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Здесь $a, b, c$ – коэффициенты в уравнении плоскости, проведенной через одну из прямых, $\{x_0; y_0; z_0\}$ – координаты произвольной точки второй прямой.

Чтобы заполучить плоскость, проведем прямую, параллельную $BM$ – $B_1L$ .

К задаче 1 – рисунок 2

Координаты точки $L$ – $\{-1; 0; -1\}$ . Теперь по трем точкам – $B, C, L$ – получим уравнение плоскости.

$\begin{Bmatrix}{a+2c+d=0}\\{\sqrt{3}b+d=0}\\{-a-c+d=0}\end{matrix}$

Получаем коэффициенты в уравнении плоскости

$b=-\frac{d}{\sqrt{3}}$

$c=-2d$

$a=3d$

Нормаль к плоскости $\vec{n}$ имеет координаты $\{3d; -\frac{d}{\sqrt{3}}; -2d\}$ , или просто $\{3; -\frac{1}{\sqrt{3}}; -2\}$ .

Определяем расстояние по вышеприведенной формуле, используя при этом точку $L$ .

$\Delta=\frac{\mid 3\cdot(-1)+0\cdot-\frac{1}{\sqrt{3}}-2\cdot 1+1 \mid}{\sqrt{9+\frac{1}{3}+4}}$

$\Delta=\frac{\mid -4 \mid}{\sqrt{13+\frac{1}{3}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{30}}{5}$

Ответ: $\Delta=\frac{\sqrt{30}}{5}$

Задача 2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 6.

А) Докажите, что угол между прямыми $AC$ и $BD_1$ равен $90^{\circ}$ .

Б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $BD_1$ .

К задаче 2

Вводим систему координат и определяем координаты точек $A, C, B, D_1$ .

Система координат

Координаты точек: $A\{0; 0; 6\}, C\{6; 6; 6\}, B\{0; 6; 6\}, D_1\{6; 0; 0\}$

Координаты векторов: $\vec{AC}\{6; 6; 0\}$ , $\vec{BD_1}\{6; -6; -6\}$ . Произведение соответствующих координат обоих векторов (скалярное произведение) равно 0, значит, вектора перпендикулярны.

Расстояние между прямыми найдем методом координат и классическим способом.

По методу координат: построим плоскость, параллельную прямой $BD_1$ и содержащую прямую $AC$ .

К задаче 2 – рисунок 3

Проводим прямую, параллельную $BD_1$ , через середину отрезка $AC$ , и получаем точку $K$ , плоскость $ACK$ параллельна $BD_1$ . Определим координаты точек $A, C, K$ и составляем по ним уравнение плоскости:

$K\{6; 0; 3\}$

Уравнение плоскости по точкам:

$\begin{Bmatrix}{6c+d=0}\\{6a+6b+6c+d=0}\\{6a+3c+d=0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{c=-\frac{d}{6}}\\{6a+6b+6c+d=0}\\{6a-\frac{d}{2}+d=0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{c=-\frac{d}{6}}\\{-6\cdot\frac{d}{12}+6b-d+d=0}\\{a=-\frac{d}{12}=0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{c=-\frac{d}{6}}\\{b=\frac{d}{12}}\\{a=-\frac{d}{12}=0}\end{matrix}$

Вектор нормали $\vec{n}\{-\frac{d}{12}; \frac{d}{12}; -\frac{d}{6}\}$ , или, домножая на 12 и деля на $d$ , имеем $\vec{n}\{-1; 1; -2\}$ .

В уравнении плоскости коэффициент $d$ определим, подставив в уравнение координаты принадлежащей плоскости точки, а именно, точки пересечения прямых $AC$ и $KL$ :