Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Расстояние между скрещивающимися прямыми – 1

Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все ребра равны двум. Точка M – середина ребра AA_1.

А) Доказать, что прямые MB и B_1C перпендикулярны.

Б) Найти расстояние между прямыми MB и B_1C.

К задаче 1

А) Воспользуемся координатным методом. Введем систему координат так, как показано на рисунке. Нам понадобятся координаты точек M, B, B_1, C:

M\{-1; 0; 1\}, B\{0; \sqrt{3}; 2\}, C\{1; 0; 2 \}, B_1\{0, \sqrt{3}; 0\}.

Направляющий вектор прямой MB будет иметь координаты \vec{MB}\{1; \sqrt{3}; 1\}, направляющий вектор прямой CB_1  – координаты \vec{CB_1}\{-1; \sqrt{3}; -2\}. Скалярное произведение  указанных векторов (по координатам) равно нулю, следовательно, направляющие векторы данных прямых перпендикулярны, и сами прямые, значит, тоже перпендикулярны.

Б) Для того, чтобы найти расстояние между прямыми, нужно провести плоскость, содержащую одну прямую и параллельную при этом  другой. Затем определить расстояние от данной плоскости до любой точки второй прямой по формуле

    \[\Delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

Здесь a, b, c – коэффициенты в уравнении плоскости, проведенной через одну из прямых, \{x_0; y_0; z_0\} – координаты произвольной точки второй прямой.

Чтобы заполучить плоскость, проведем прямую, параллельную BMB_1L.

К задаче 1 – рисунок 2

Координаты точки L\{-1; 0; -1\}. Теперь по трем точкам – B, C, L – получим уравнение плоскости.

    \[\begin{Bmatrix}{a+2c+d=0}\\{\sqrt{3}b+d=0}\\{-a-c+d=0}\end{matrix}\]

Получаем коэффициенты в уравнении плоскости

    \[b=-\frac{d}{\sqrt{3}}\]

    \[c=-2d\]

    \[a=3d\]

Нормаль к плоскости \vec{n} имеет координаты \{3d; -\frac{d}{\sqrt{3}}; -2d\}, или просто \{3; -\frac{1}{\sqrt{3}}; -2\}.

Определяем расстояние по вышеприведенной формуле, используя при этом точку L.

    \[\Delta=\frac{\mid 3\cdot(-1)+0\cdot-\frac{1}{\sqrt{3}}-2\cdot 1+1 \mid}{\sqrt{9+\frac{1}{3}+4}}\]

    \[\Delta=\frac{\mid -4 \mid}{\sqrt{13+\frac{1}{3}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{30}}{5}\]

Ответ: \Delta=\frac{\sqrt{30}}{5}

Задача 2. В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все ребра равны 6.

А) Докажите,  что угол между прямыми AC и BD_1 равен 90^{\circ}.

Б) Найдите расстояние между прямыми AC и BD_1.

К задаче 2

Вводим систему координат и определяем координаты точек A, C, B, D_1.

Система координат

Координаты точек: A\{0; 0; 6\}, C\{6; 6; 6\}, B\{0; 6; 6\}, D_1\{6; 0; 0\}

Координаты векторов: \vec{AC}\{6; 6; 0\}, \vec{BD_1}\{6; -6; -6\}. Произведение соответствующих координат обоих векторов (скалярное произведение) равно 0, значит, вектора перпендикулярны.

Расстояние между прямыми найдем методом координат и классическим способом.

По методу координат: построим плоскость, параллельную прямой BD_1 и содержащую прямую AC.

К задаче 2 – рисунок 3

Проводим прямую, параллельную BD_1, через середину отрезка AC, и получаем точку K, плоскость ACK параллельна BD_1. Определим координаты точек A, C, K и составляем по ним уравнение плоскости:

    \[K\{6; 0; 3\}\]

Уравнение плоскости по точкам:

    \[\begin{Bmatrix}{6c+d=0}\\{6a+6b+6c+d=0}\\{6a+3c+d=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c=-\frac{d}{6}}\\{6a+6b+6c+d=0}\\{6a-\frac{d}{2}+d=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c=-\frac{d}{6}}\\{-6\cdot\frac{d}{12}+6b-d+d=0}\\{a=-\frac{d}{12}=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c=-\frac{d}{6}}\\{b=\frac{d}{12}}\\{a=-\frac{d}{12}=0}\end{matrix}\]

Вектор нормали \vec{n}\{-\frac{d}{12}; \frac{d}{12}; -\frac{d}{6}\}, или, домножая на 12 и деля на d, имеем \vec{n}\{-1; 1; -2\}.

В уравнении плоскости коэффициент d определим, подставив в уравнение координаты принадлежащей плоскости точки, а именно, точки пересечения прямых AC и KL:

    \[-1\cdot 3+1\cdot 3-2\cdot 6+d=0\]

    \[d=12\]

Возьмем точку на прямой BD_1, например, B\{0; 6; 6\}.

Расстояние между прямыми

    \[\Delta=\frac{\mid 0\cdot(-1)+1\cdot6-2\cdot 6+12 \mid}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\]

Ответ: \Delta=\sqrt{6}.

Теперь та же задача классическим методом: нужно определить расстояние x.

К задаче 2 – рисунок 4

На выносном чертеже определим угол \alpha в треугольнике BDD_1. В нем нам известны стороны: DD_1=6; BD=6\sqrt{2}; BD_1=6\sqrt{3}. Поэтому

    \[\sin{\alpha}=\frac{BD}{BD_1}=\sqrt{\frac{2}{3}}\]

Так как KD_1=3, то

    \[\frac{x}{KD_1}=\sin{\alpha}=\sqrt{\frac{2}{3}}\]

    \[x=3\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{6}\]

Ответ: \sqrt{6}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *