Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Нестандартные задачи

Распиленный брусок

Интересная несложная задача, в общем, даже не на сообразительность, а больше на внимательность.

Задача. Деревянный брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда JVEMJ_1V_1E_1M_1, распилили тремя распилами, параллельными граням, на 8 маленьких брусков. Чему равна площадь поверхности бруска с вершиной J_1, если площадь поверхности бруска с вершиной J составляет 118, с вершиной V – 46, E – 10, M – 34, V_1 – 78, E_1 – 18, M_1 – 58?

Сделаем рисунок.

Рисунок

Введем обозначения: обозначим буквами a,b,m,n,z,y длины отрезков, на которые разобьют стороны параллелепипеда соответствующие распилы. Теперь можно записать систему уравнений для площадей маленьких брусков:

    \[\begin{Bmatrix}{S_J=2mz+2ma+2za=118}\\{S_V=2mz+2mb+2zb=46}\\{S_E=2yb+2mb+2my=10}\\{S_M=2my+2ma+2ya=34}\\{ S_{J_1}=2nz+2na+2za}\\{S_{V_1}=2nz+2nb+2zb=78}\\{ S_{E_1}=2yb+2ny+2nb=18}\\{ S_{M_1}=2ya+2yn+2na=58}\end{matrix}\]

Заметим, что можно для упрощения разделить уравнения на два:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{S_J}{2}=mz+ma+za=59}\\{\frac{S_V}{2}=mz+mb+zb=23}\\{\frac{S_E}{2}=yb+mb+my=5}\\{\frac{S_M}{2}=my+ma+ya=17}\\{\frac{S_{J_1}}{2}=nz+na+za}\\{\frac{S_{V_1}}{2}=nz+nb+zb=39}\\{\frac{ S_{E_1}}{2}=yb+ny+nb=9}\\{ \frac{S_{M_1}}{2}=ya+yn+na=29}\end{matrix}\]

Заметим также, что можно записать уравнения так:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{S_J}{2}=m(z+a)+za=59}\\{\frac{S_V}{2}=m(z+b)+zb=23}\\{\frac{S_E}{2}=yb+m(b+y)=5}\\{\frac{S_M}{2}=m(y+a)+ya=17}\\{\frac{S_{J_1}}{2}=n(z+a)+za}\\{\frac{S_{V_1}}{2}=n(z+b)+zb=39}\\{\frac{ S_{E_1}}{2}=yb+n(y+b)=9}\\{ \frac{S_{M_1}}{2}=ya+n(y+a)=29}\end{matrix}\]

Обратим внимание на то, что в уравнениях, составленных для брусков с одноименными вершинами (M - M_1, E - E_1) имеется общий множитель. Тогда составим разности:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{S_J}{2}-\frac{S_{J_1}}{2}=(m-n)(z+a)=59-\frac{S_{J_1}}{2}}\\{\frac{S_V}{2}-\frac{S_{V_1}}{2}=(m-n)(z+b)=-16}\\{\frac{S_E}{2} - \frac{S_{E_1}}{2}=(m-n)(b+y)=-4}\\{\frac{S_M}{2}-\frac{S_{M_1}}{2}=(m-n)(y+a)=-12}\end{matrix}\]

Снова вычитаем:

    \[\left(\frac{S_M}{2}-\frac{S_{M_1}}{2}\right)-\left(\frac{S_E}{2}- \frac{S_{E_1}}{2}\right)=(m-n)(y+a-b-y)=(m-n)(a-b)=-12+4=-8\]

    \[\left(\frac{S_J}{2}-\frac{S_{J_1}}{2}\right)-\left(\frac{S_V}{2}-\frac{S_{V_1}}{2}\right)=(m-n)(z+a-z-b)=(m-n)(a-b)= 59-\frac{S_{J_1}}{2}+16\]

Теперь выражение (m-n)(a-b)=-8 подставим в последнее уравнение:

    \[-8= 59-\frac{S_{J_1}}{2}+16\]

    \[\frac{S_{J_1}}{2}= 59+8+16\]

    \[\frac{S_{J_1}}{2}= 83\]

    \[S_{J_1}= 166\]

Ответ: площадь поверхности бруска с вершиной J_1 равна 166.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *