Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Законы Кирхгофа, Олимпиадная физика, Постоянный ток

Расчет сопротивлений сеток

Попались мне  интересные задачки, близкие друг другу по стилю, что ли. В них нужно либо определить входное сопротивление схемы, либо потенциалы в точках. В каждой будем использовать хитрый метод на основе законов Кирхгофа. Только первые схемы простые, прозрачные, а последняя посложнее.

Задача. На рисунках изображены 4 схемы, составленные из проволок. В местах соединений проволоки спаяны. Определить: а) входное сопротивление между точками a и b схем 1 и 2, полагая сопротивление каждой проволоки R; б) входное сопротивление между точками a и b, c и d для схемы 3, полагая сопротивление каждой проволоки R; в) потенциалы точек c, d, e, f, g схемы 4, полагая \varphi_a=18 В, \varphi_b=-18 В. Считать сопротивление каждой проволоки для этой схемы равным 3 Ом.

Схема 1.

Рисунок 1

Схема имеет ось симметрии. Расставим токи в схеме так, чтобы симметрия сохранялась и чтобы при этом соблюдались первый и второй законы Кирхгофа. Поэтому начинать расставлять нужно от середины.

Рисунок 2

Чтобы соблюдался второй закон, расставим токи «внутри»

Рисунок 3

Теперь проследим за тем, чтобы соблюдался первый закон:

Рисунок 4

Наконец, сосчитаем входной ток:

Рисунок 5

Чтобы определить сопротивление схемы, надо пройти любым путем от точки a до точки b, считая по дороге падения напряжений и складывая их:

Рисунок 6

    \[2IR+IR+IR+2IR=6IR\]

Разделим на входной (он же выходной) ток – и сопротивление схемы нам известно!

    \[R_{ab1}=\frac{6IR}{4I}=1,5R\]

Ответ: 1,5R.

Схема 2.

Рисунок 7

Схема имеет ось симметрии, поэтому действовать будем точно так же. Расставим токи в цепи, начав с середины и придерживаясь симметрии:

Рисунок 8

Чтобы соблюсти 2 закон, в центре токи будут по 1,5I:

Рисунок 9

Теперь опять следим за соблюдением первого закона Кирхгофа:

Рисунок 10

Расставляем последние и , наконец, входной:

Рисунок 11

Теперь выбираем произвольный путь от точки a до точки b, и «собираем» по дороге падения напряжений. Я пройду по правым ветвям:

Рисунок 12

    \[3,5IR+2IR+IR+IR+2IR+3,5IR=13IR\]

Определяем сопротивление схемы, деля общее падение напряжения на общий (входной) ток:

    \[R_{ab2}=\frac{13IR}{7I}=\frac{13}{7}R\]

Ответ: R_{ab2}=\frac{13}{7}R.

Схема 3. Действуем тем же манером. Расставляем токи, соблюдая симметрию и законы Кирхгофа. Через помеченные крестом ветви ток не потечет: на их концах точки, потенциалы которых равны.

Рисунок 13

 

Рисунок 14

 

Выходной ток – 4I, сумма падений напряжений равна 2IR+IR+IR+2IR=6IR, сопротивление будет равно

    \[R_{ab}=\frac{6IR}{4I}=1,5R\]

Для определения сопротивления R_{cd} надо расставить токи по новой:

Рисунок 15

Теперь проходим от c до d, «собирая» падения напряжений:

5IR+5IR=10IR.

И, чтобы найти сопротивление, делим на входной ток:

    \[R_{cd}=\frac{10IR}{13I}=\frac{10R}{13}\]

Ответ: R_{ab}=1,5R, R_{cd}=\frac{10R}{13}.

Схема 4. Здесь придется попотеть. Схема сложная, большая.

Рисунок 16

Начинаем расстановку токов с середины, причем я сделаю эти токи «четными» – просто для того, чтобы не пришлось возиться с дробями:

Рисунок 17

Так  как схема, очевидно, симметрична, то точки f, g и другие, оказавшиеся на данной горизонтали – точки равного потенциала (учитывая данные задачи – нулевого). Поэтому в указанных перемычках ток не потечет. Также тока не будет в других помеченных крестами перемычках по тем же соображениям. Так как нужно, кроме симметрии, следить и за соблюдением законов Кирхгофа (и первого, и второго), то расстановку токов я сделала так:

Рисунок 18

Проходим любым путем, «собирая» падения напряжений:

    \[13IR+7IR+4IR+4IR+7IR+13IR=48IR\]

Это напряжение равно 36 В: 48IR=36 В.

    \[R_{ab}=\frac{48IR}{26I}=\frac{24R}{13}=\frac{72}{13}\]

Определим ток:

    \[26I=\frac{36\cdot13}{72}=6,5\]

Тогда

    \[I=\frac{6,5}{26}=0,25\]

Определяем потенциалы точек:

    \[\varphi_c=\varphi_a-13IR=18-13\cdot0,25\cdot3=8,25\]

    \[\varphi_d=\varphi_a-20IR=18-20\cdot0,25\cdot3=3\]

    \[\varphi_f=\varphi_a-24IR=18-24\cdot0,25\cdot3=0\]

    \[\varphi_e=\varphi_a-19IR=18-19\cdot0,25\cdot3=3,75\]

    \[\varphi_h=\varphi_d=3\]

 

Ответ: \varphi_c=8,25 B, \varphi_d=3 B, \varphi_f=0 B, \varphi_e=3,75 B.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *