Расчет сопротивлений сеток

[latexpage]

Попались мне  интересные задачки, близкие друг другу по стилю, что ли. В них нужно либо определить входное сопротивление схемы, либо потенциалы в точках. В каждой будем использовать хитрый метод на основе законов Кирхгофа. Только первые схемы простые, прозрачные, а последняя посложнее.

Задача. На рисунках изображены 4 схемы, составленные из проволок. В местах соединений проволоки спаяны. Определить: а) входное сопротивление между точками $a$ и $b$ схем 1 и 2, полагая сопротивление каждой проволоки $R$; б) входное сопротивление между точками $a$ и $b$, $c$ и $d$ для схемы 3, полагая сопротивление каждой проволоки $R$; в) потенциалы точек $c, d, e, f, g$ схемы 4, полагая $\varphi_a=18$ В, $\varphi_b=-18$ В. Считать сопротивление каждой проволоки для этой схемы равным 3 Ом.

Схема 1.

Рисунок 1

Схема имеет ось симметрии. Расставим токи в схеме так, чтобы симметрия сохранялась и чтобы при этом соблюдались первый и второй законы Кирхгофа. Поэтому начинать расставлять нужно от середины.

Рисунок 2

Чтобы соблюдался второй закон, расставим токи «внутри»

Рисунок 3

Теперь проследим за тем, чтобы соблюдался первый закон:

Рисунок 4

Наконец, сосчитаем входной ток:

Рисунок 5

Чтобы определить сопротивление схемы, надо пройти любым путем от точки $a$ до точки $b$, считая по дороге падения напряжений и складывая их:

Рисунок 6

$$2IR+IR+IR+2IR=6IR$$

Разделим на входной (он же выходной) ток – и сопротивление схемы нам известно!

$$R_{ab1}=\frac{6IR}{4I}=1,5R$$

Ответ: $1,5R$.

Схема 2.

Рисунок 7

Схема имеет ось симметрии, поэтому действовать будем точно так же. Расставим токи в цепи, начав с середины и придерживаясь симметрии:

Рисунок 8

Чтобы соблюсти 2 закон, в центре токи будут по 1,5I:

Рисунок 9

Теперь опять следим за соблюдением первого закона Кирхгофа:

Рисунок 10

Расставляем последние и , наконец, входной:

Рисунок 11

Теперь выбираем произвольный путь от точки $a$ до точки $b$, и «собираем» по дороге падения напряжений. Я пройду по правым ветвям:

Рисунок 12

$$3,5IR+2IR+IR+IR+2IR+3,5IR=13IR$$

Определяем сопротивление схемы, деля общее падение напряжения на общий (входной) ток:

$$R_{ab2}=\frac{13IR}{7I}=\frac{13}{7}R$$

Ответ: $R_{ab2}=\frac{13}{7}R$.

Схема 3. Действуем тем же манером. Расставляем токи, соблюдая симметрию и законы Кирхгофа. Через помеченные крестом ветви ток не потечет: на их концах точки, потенциалы которых равны.

Рисунок 13

Рисунок 14

Выходной ток – $4I$, сумма падений напряжений равна $2IR+IR+IR+2IR=6IR$, сопротивление будет равно

$$R_{ab}=\frac{6IR}{4I}=1,5R$$

Для определения сопротивления $R_{cd}$ надо расставить токи по новой:

Рисунок 15

Теперь проходим от $c$ до $d$, «собирая» падения напряжений:

$5IR+5IR=10IR$.

И, чтобы найти сопротивление, делим на входной ток:

$$R_{cd}=\frac{10IR}{13I}=\frac{10R}{13}$$

Ответ: $R_{ab}=1,5R$, $R_{cd}=\frac{10R}{13}$.

Схема 4. Здесь придется попотеть. Схема сложная, большая.

Рисунок 16

Начинаем расстановку токов с середины, причем я сделаю эти токи «четными» – просто для того, чтобы не пришлось возиться с дробями:

Рисунок 17

Так  как схема, очевидно, симметрична, то точки $f$, $g$ и другие, оказавшиеся на данной горизонтали – точки равного потенциала (учитывая данные задачи – нулевого). Поэтому в указанных перемычках ток не потечет. Также тока не будет в других помеченных крестами перемычках по тем же соображениям. Так как нужно, кроме симметрии, следить и за соблюдением законов Кирхгофа (и первого, и второго), то расстановку токов я сделала так:

Рисунок 18

Проходим любым путем, «собирая» падения напряжений:

$$13IR+7IR+4IR+4IR+7IR+13IR=48IR$$

Это напряжение равно 36 В: $48IR=36$ В.

$$R_{ab}=\frac{48IR}{26I}=\frac{24R}{13}=\frac{72}{13}$$

Определим ток:

$$26I=\frac{36\cdot13}{72}=6,5$$

Тогда

$$I=\frac{6,5}{26}=0,25$$

Определяем потенциалы точек:

$$\varphi_c=\varphi_a-13IR=18-13\cdot0,25\cdot3=8,25$$

$$\varphi_d=\varphi_a-20IR=18-20\cdot0,25\cdot3=3$$

$$\varphi_f=\varphi_a-24IR=18-24\cdot0,25\cdot3=0$$

$$\varphi_e=\varphi_a-19IR=18-19\cdot0,25\cdot3=3,75$$

$$\varphi_h=\varphi_d=3$$

Ответ: $\varphi_c=8,25$ B, $\varphi_d=3$ B, $\varphi_f=0$ B, $\varphi_e=3,75$ B.