Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, Тригонометрия

Расчет обратных тригонометрических функций



Здравствуйте, читатели! Знакомимся мы с вами сегодня с обратными тригонометрическими функциями. Мы узнаем, что такое арксинусы, арккосинусы и арктангенсы – арккотангенсы, и научимся решать примеры с их участием.

Сначала вспомним определение:

Арксинусом числа a,  модуль которого не больше 1, называется такое число x из промежутка -{pi}/2<=x<={pi}/2 , синус которого равен a.

arcsin a=x, если -{pi}/2<=x<={pi}/2, sin x=a

Также мы можем записать это так: sin(arcsin a)=a, если a<=1 , а также справедливо: arcsin(sin a)=a.

Еще нам пригодится такая формула: arcsin({-}a)=-arcsin a.

 

Арккосинусом числа a,  модуль которого не больше 1, называется такое число x из промежутка 0<=x<={pi} , косинус которого равен a.

arccos a=x, если 0<=x<={pi}, cos x=a

Также мы можем записать это так: cos(arccos a)=a, если a<=1 , аналогично  arccos(cos a)=a.

Еще нам пригодится такая формула: arccos({-}a)=pi-arccos a.

 

Арктангенсом числа a in R называется такое число x из промежутка -{pi}/2<=x<={pi}/2, тангенс которого равен a.

arctg a=x, если a in R, tg x=a

Также мы можем записать это так: tg(arctg a)=aa in R , аналогично  arctg(tg a)=a.

Будем пользоваться и такой формулой: arctg({-}a)=-arctg a.

 

Арккотангенсом числа a in R называется такое число x из промежутка 0<=x<={pi}, котангенс которого равен a.

arcctg a=x, если a in R, ctg x=a

Также мы можем записать это так: ctg(arcctg a)=aa in R , аналогично  arcctg(ctg a)=a.

Будем пользоваться и такой формулой: arcctg ({-}a)={pi}-arcctg a.

Интересно, что arcctg (a)+arctg(a)={pi}/2.

Ну что ж, формул много, давайте попробуем их применять на практике.

Вычислить:

Задача 1.  sin (arcsin{sqrt{3}/2})= sqrt{3}/2, так как sqrt{3}/2<1

Задача 2.  cos (arcsin{sqrt{2}/2})= cos {pi}/4= sqrt{2}/2

Задача 3.  arcsin (sin{sqrt{pi}/6})= {pi}/6, так как {pi}/6<1

Задача 4.  cos (arcsin(0,6))

Так как 0,6<1 , то выражение arcsin(0,6) – это  число, синус которого равен 0,6. Тогда косинус этого числа можно вычислить через основное тригонометрическое тождество: cos (arcsin{0,6})=sqrt{1-(0,6)^2}=0,8

Задача 5.  cos (6*arcsin{1})=cos{6*{pi}/2}=cos{3{pi}}=cos{pi}=-1

Задача 6.  tg (4arcsin{sqrt{2}/2})= tg {4{pi}}/4=tg{pi}=0

Задача 7.  arcsin (sin{7}). Так как 7>1″ title=”7>1″/> <img src=, то arcsin (sin{7})<>7″ title=”arcsin (sin{7})<>7″/><img src=. Но 6,28<7, а 6,28 – это 2{pi}.  Тогда sin{7}= sin(7-2{pi}). Число 7-2{pi} меньше 1, и к нему применим формулу sin(arcsin a)=a:

arcsin (sin{7})= arcsin (sin(7-2{pi}))=7-2{pi}

Задача 8.  sin (pi-arcsin{3/4})

По формуле приведения sin ({pi}-arcsin{3/4})= sin (arcsin{3/4})=3/4

Задача 9.  tg(arcsin {1/{sqrt{5}}}).  Рассуждаем так: arcsin{1/{sqrt{5}}} – это такое число, синус которого равен 1/{sqrt{5}}. Тогда  по основному тригонометрическому тождеству косинус этолго числа: sqrt{1-1/5}=sqrt{4/5}=2/sqrt{5}. Тогда тангенс этого числа – отношение синуса к косинусу:

tg(arcsin {1/{sqrt{5}}})={1/sqrt{5}}:{2/sqrt{5}}=1/2

Задача 10.  cos(arcsin {{2sqrt{2}}/3}+arcsin{1/3})

Применим формулу косинуса суммы:

cos(arcsin {{2sqrt{2}}/3}+arcsin{1/3})=cos(arcsin{{2sqrt{2}}/3})*cos(arcsin{1/3})-sin(arcsin {{2sqrt{2}}/3})*sin(arcsin{1/3})

Сначала отдельно рассчитаем значения выражений cos(arcsin {{2sqrt{2}}/3}) и cos(arcsin {1/3}):

cos(arcsin {{2sqrt{2}}/3}) – если синус угла равен {2sqrt{2}}/3, то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество: sqrt{1- {4*2}/9}=sqrt{1/9}=1/3

Аналогично cos(arcsin {1/3}): если синус числа равен 1/3, то косинус его равен {2sqrt{2}}/3.

Тогда получим: cos(arcsin {{2sqrt{2}}/3}+arcsin{1/3})=cos(arcsin {{2sqrt{2}}/3})*cos(arcsin{1/3})-sin(arcsin{{2sqrt{2}}/3})*sin(arcsin{1/3}) ={{2sqrt{2}}/3} *{1/3}-{{2sqrt{2}}/3} *{1/3} =0

Имеет ли смысл выражение:

Задача 11.  arcsin sqrt{5}-3

Так как sqrt{5}-3<1 , то выражение имеет смысл.

Задача 12.  tg(2arcsin {sqrt{2}/2})=tg{2*{pi}/4}=tg{{pi}/2} – выражение смысла не имеет.

Решить уравнение:

Задача 13.  arcsin (x/2-3)={pi}/6

Применим такой прием: sin(arcsin (x/2-3))=sin {{pi}/6}

Тогда x/2-3=1/2

x/2=3,5

x=7

 



Задача 14.  arcsin (3-2x)=-{pi}/4

И снова тот же прием: sin(arcsin (3-2x))=sin({-}pi/4)

3-2x = -{sqrt{2}/2}

2x = 3+sqrt{2}/2

x = {6+sqrt{2}}/4

 

Доказать тождество:

Задача 15. arcsin {4/sqrt{65}}-arccos(-11/sqrt{130})=-{3{pi}}/4

Сначала избавимся от отрицательного числа под знаком арккосинуса:

arcsin {4/sqrt{65}}-({pi}-arccos{11/{sqrt{130}}})=-{3{pi}}/4

arcsin {4/sqrt{65}}-{pi}+arccos{11/{sqrt{130}}}=-{3{pi}}/4

arcsin {4/sqrt{65}}+arccos{11/{sqrt{130}}}={pi}-{3{pi}}/4

arcsin {4/sqrt{65}}+arccos{11/{sqrt{130}}}={pi}/4

Теперь применим уже знакомый прием, определим косинус правой и левой частей:

cos(arcsin {4/{sqrt{65}}}+arccos{11/{sqrt{130}}})=cos{pi}/4

Раскрываем по формуле «косинус суммы»:

cos(arcsin {4/sqrt{65}})*cos(arccos{11/{sqrt{130}}})- sin(arcsin {4/{sqrt{65}}})*sin(arccos{11/{sqrt{130}}})=cos{pi}/4

cos(arcsin {4/{sqrt{65}}})*{11/{sqrt{130}}}-  {4/{sqrt{65}}}*sin(arccos{11/{sqrt{130}}})={sqrt{2}}/2

Теперь определим cos(arcsin {4/{sqrt{65}}}):

Нам нужно определить косинус такого угла, синус которого равен 4/{sqrt{65}}, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sqrt{1-(4/{sqrt{65}})^2}=sqrt{1-16/65}=sqrt{49/65}= 7/{sqrt{65}}

Определим  sin(arccos {11/{sqrt{130}}})={sqrt{2}}/2:

Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен 11/{sqrt{130}}, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sqrt{1-(11/{sqrt{130}})^2}=sqrt{1-{121/130}}=sqrt{9/130}=3/{sqrt{130}}

Вернемся к примеру:

cos(arcsin {4/{sqrt{65}}})*{11/{sqrt{130}}}-  {4/{sqrt{65}}}*sin(arccos{11/{sqrt{130}}})={sqrt{2}}/2

{7/{sqrt{65}}} *{11/{sqrt{130}}}-  {4/{sqrt{65}}}*{3/{sqrt{130}}} ={sqrt{2}}/2

77/{65sqrt{2}} -  12/{65sqrt{2}} ={sqrt{2}}/2

65/{65sqrt{2}} ={sqrt{2}}/2

1/{sqrt{2}} ={sqrt{2}}/2

Тождество доказано.

Задача 16.arccos {1/2}+arccos({-}1/7)=arccos(- 13/14)

Снова видим отрицательные числа под знаками арккосинусов, избавимся от них:

arccos {1/2}+{pi}-arccos{1/7}={pi}-arccos{13/14}

arccos {1/2}-arccos{1/7}=-arccos{13/14}

Поменяем знаки:

arccos {1/7}-arccos{1/2}=arccos{13/14}

Применим операцию взятия косинуса от правой и левой частей:

cos(arccos {1/7}-arccos{1/2})=cos(arccos{13/14})

Применяем формулу косинуса разности:

cos(arccos {1/7})*cos(arccos{1/2})+sin(arccos {1/7})*sin(arccos{1/2})=13/14

{1/7}*{1/2}+sin(arccos {1/7})*sin(arccos{1/2})=13/14

Определим sin(arccos {1/7}):

Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен {1/7}, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sqrt{1-{1/49}}=sqrt{48/49}={sqrt{48}}/7

Определим sin(arccos{1/2})

Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен {1/2}, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sqrt{1-{1/4}}=sqrt{3/4}={sqrt{3}}/2

Возвращаемся к примеру:

{1/7}*{1/2}+ {{sqrt{48}}/7}*{{sqrt{3}}/2}=13/14

{1/14}+ {{4sqrt{3}}/7}*{{sqrt{3}}/2}=13/14

{1/14}+ {6/7}=13/14

{1/14}+ {12/14}=13/14

Тождество доказано.

Вычислить:

Задача 17. cos (pi/2+arcsin{1/5})

По формулам приведения cos (pi/2+arcsin{1/5})=sin(arcsin{1/5})= 1/5

Задача 18.  cos(arcsin {3/5}+arccos{4/5})

Применим формулу косинуса суммы:

cos(arcsin {3/5}+arccos{4/5})=cos(arcsin {3/5})*cos(arccos{4/5})-sin(arcsin {3/5})*sin(arccos{4/5})

Сначала отдельно рассчитаем значения выражений cos(arcsin {3/5}) и cos(arcsin{3/5}):

cos(arcsin {3/5}) – если синус угла равен 3/5, то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество: sqrt{1- (3/5)^2}=sqrt{16/25}=4/5

Аналогично cos(arcsin {3/5}): если синус числа равен 3/5, то косинус его 4/5 (определяем через основное тригонометрическое тождество).

Тогда получим: cos(arcsin {3/5}+arccos{4/5})=cos(arcsin {3/5})*cos(arccos{4/5})-sin(arcsin {3/5})*sin(arccos{4/5})={4/5}*{4/5}-{3/5}*{3/5}=16/25-9/25=7/25



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *