Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Резонанс

Расчет цепей в резонансе и построение векторной диаграммы

Задачи, как обычно, принес студент. Они “родом” из нашего Ленинградского Политеха.

Задача 1.  В цепи на рисунке U_1=70 В, I_1=10 А, I_2=20 А, \frac{1}{\omega C_2}=5 Ом. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток I_3, напряжение U, мощность P. Построить векторную диаграмму.

Цепь к задаче 1

Решение.

По первому закону Кирхгофа (учитываем, что в цепи резонанс и токи в емкости C_2 и индуктивности находятся в противофазе, то есть на векторной диаграмме направлены в противоположные стороны)

    \[I_1=I_2+I_3\]

    \[I_3=10\]

Это абсолютное значение тока.

По закону Ома

    \[Z_{RC_1}=\frac{U_1}{I_1}=\frac{70}{10}=7\]

Нам известно емкостное сопротивление Z_{C_2} – оно по условию равно 5 Ом. Поэтому, зная это сопротивление и ток в данной ветви, найдем напряжение на ней.

    \[U_{C_2}=I_3\cdot Z_{C_2}=10\cdot 5=50\]

Так как индуктивность и емкость C_2 включены параллельно, то на индуктивности такое же напряжение – 50 В. Тогда по закону Ома индуктивное сопротивление

    \[Z_L=\frac{ U_{C_2}}{I_2}=\frac{50}{20}=2,5\]

Теперь вернемся к напряжению U_1. Это сумма двух напряжений – на емкости и на резисторе. Мы знаем, что напряжение на резисторе совпадает с током, а напряжение на емкости – нет. Его вектор будет перпендикулярен вектору тока I_1 и будет отставать от тока на 90^{\circ}. В то же время, поскольку цепь в резонансе, то напряжение на емкости C_1 должно быть скомпенсировано напряжением на индуктивности, а оно равно напряжению на емкости C_2 и опережает ток на 90^{\circ}. Изобразим все на векторной диаграмме (здесь U_1=U_{C_1R}):

Векторная диаграмма

Из диаграммы понятно, что

    \[U_R^2+U_{C_1}^2=U_1^2\]

Тогда

    \[U_R=50\]

    \[U_{C_1}=50\]

Определим мощность (активную), считая, что нам даны действующие значения токов.

    \[P=I_1R^2=50\cdot 10=500\]

Ответ: ток I_3=10 А, U_{C_1}=50 В, P=500 Вт, U=U_R=50 В.

Задача 2.  В цепи на рисунке U_{R1}=100 В, U_C=200 B, I_1=2 А,  I_2=4 А. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток I, напряжение U_{AB}. Построить векторную диаграмму.

Схема к задаче 2

Решение.

Определим сразу напряжение на верхней ветви. Там протекает ток I_1, и напряжение на резисторе R_1 с этим током совпадает, а вот напряжение на емкости должно отставать на 90^{\circ}. Поэтому, чтобы найти напряжение на обоих элементах, понадобится теорема Пифагора:

    \[U_{R_1C}=\sqrt{ U_{R_1}^2+ U_C^2}=\sqrt{100^2+200^2}=100\sqrt{5}\]

Понятно, что на второй ветви (с индуктивностью) такое же точно напряжение, потому что она включена параллельно.

Так как цепь в резонансе, то в итоге должно получиться так, что вектор тока I и вектор напряжения U (входное) совпадают по направлению на векторной диаграмме. При этом ток I_1 (в емкостной ветви) будет опережать это входное напряжение, а вот ток I_2 (в индуктивной) будет отставать от входного напряжения. И это опережение (и отставание тоже) будет на угол, меньший 90^{\circ}, так как сопротивление ветвей не чисто емкостное и не чисто индуктивное. При этом направление тока I_1 будет совпадать с направлением напряжения U_{R_1}, а  ток I_2 – с направлением напряжения U_{R_2}.

Своим студентам я придумала подсказку:

«Каждый студент, запомни твердо!

От этого твой зависит зачет:

В емкости ток опережает,

А в индуктивности – отстает!»

Входное напряжение – это в данном случае и есть U_{R_1C}.

Чтобы дальше решать эту задачу, призовем векторную диаграмму на помощь. Построим сначала вектор тока I_1 и совпадающий с ним вектор напряжения U_{R_1}, затем – отстающий на 90^{\circ} вектор напряжения U_C. Сложим вектора обоих напряжений и получим вектор напряжения U. Проведем ток I, совпадающий с ним по направлению (резонанс).

Векторная диаграмма (не полная) – начало построения.

Таким образом, становится понятно, что, так как тангенс угла между напряжением U и напряжением U_{R_1} равен 2, то и между векторами токов точно такой же угол – потому что соотношение между их модулями тоже 2. Значит, вектор тока I_2 направлен вертикально вниз. Туда же должно быть направлено и напряжение U_{R_2}, а вот напряжение на индуктивности должно опережать ток на 90^{\circ} – значит, оно совпадает с I_1. Причем, оба последних вектора должны в сумме давать U!

Векторная диаграмма к задаче 2

Значит, U_{R_1}= U_L=100 В, U_{R_2}= U_С=200 В. Таким образом, напряжение U_{AB}=100 В (по второму закону Кирхгофа). Ток I по теореме Пифагора

    \[I=\sqrt{ I_1^2+ I_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\]

Можно воспользоваться законом Ома и определить R_2=50 Ом, \omega L=25 Ом, R_1=50 Ом, \frac{1}{\omega C}=100 Ом – вы можете это легко теперь сделать сами.

Ответ: I=2\sqrt{5} А, U_{AB}=100 В.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *