Расчет цепей в резонансе и построение векторной диаграммы

[latexpage]

Задачи, как обычно, принес студент. Они “родом” из нашего Ленинградского Политеха.

Задача 1.  В цепи на рисунке $U_1=70$ В, $I_1=10$ А, $I_2=20$ А, $\frac{1}{\omega C_2}=5$ Ом. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток $I_3$, напряжение $U$, мощность $P$. Построить векторную диаграмму.

Цепь к задаче 1

Решение.

По первому закону Кирхгофа (учитываем, что в цепи резонанс и токи в емкости $C_2$ и индуктивности находятся в противофазе, то есть на векторной диаграмме направлены в противоположные стороны)

$$I_1=I_2+I_3$$

$$I_3=10$$

Это абсолютное значение тока.

По закону Ома

$$Z_{RC_1}=\frac{U_1}{I_1}=\frac{70}{10}=7$$

Нам известно емкостное сопротивление $Z_{C_2}$ – оно по условию равно 5 Ом. Поэтому, зная это сопротивление и ток в данной ветви, найдем напряжение на ней.

$$ U_{C_2}=I_3\cdot Z_{C_2}=10\cdot 5=50$$

Так как индуктивность и емкость $C_2$ включены параллельно, то на индуктивности такое же напряжение – 50 В. Тогда по закону Ома индуктивное сопротивление

$$Z_L=\frac{ U_{C_2}}{I_2}=\frac{50}{20}=2,5$$

Теперь вернемся к напряжению $U_1$. Это сумма двух напряжений – на емкости и на резисторе. Мы знаем, что напряжение на резисторе совпадает с током, а напряжение на емкости – нет. Его вектор будет перпендикулярен вектору тока $I_1$ и будет отставать от тока на $90^{\circ}$. В то же время, поскольку цепь в резонансе, то напряжение на емкости $C_1$ должно быть скомпенсировано напряжением на индуктивности, а оно равно напряжению на емкости $C_2$ и опережает ток на $90^{\circ}$. Изобразим все на векторной диаграмме (здесь $U_1=U_{C_1R}$):

Векторная диаграмма

Из диаграммы понятно, что

$$U_R^2+U_{C_1}^2=U_1^2$$

Тогда

$$ U_R=50$$

$$U_{C_1}=50$$

Определим мощность (активную), считая, что нам даны действующие значения токов.

$$P=I_1R^2=50\cdot 10=500$$

Ответ: ток $I_3=10$ А, $ U_{C_1}=50$ В, $P=500$ Вт, $U=U_R=50$ В.

Задача 2.  В цепи на рисунке $U_{R1}=100$ В, $U_C=200$ B, $I_1=2$ А,  $I_2=4$ А. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток $I$, напряжение $U_{AB}$. Построить векторную диаграмму.

Схема к задаче 2

Решение.

Определим сразу напряжение на верхней ветви. Там протекает ток $I_1$, и напряжение на резисторе $R_1$ с этим током совпадает, а вот напряжение на емкости должно отставать на $90^{\circ}$. Поэтому, чтобы найти напряжение на обоих элементах, понадобится теорема Пифагора:

$$U_{R_1C}=\sqrt{ U_{R_1}^2+ U_C^2}=\sqrt{100^2+200^2}=100\sqrt{5}$$

Понятно, что на второй ветви (с индуктивностью) такое же точно напряжение, потому что она включена параллельно.

Так как цепь в резонансе, то в итоге должно получиться так, что вектор тока $I$ и вектор напряжения $U$ (входное) совпадают по направлению на векторной диаграмме. При этом ток $I_1$ (в емкостной ветви) будет опережать это входное напряжение, а вот ток $I_2$ (в индуктивной) будет отставать от входного напряжения. И это опережение (и отставание тоже) будет на угол, меньший $90^{\circ}$, так как сопротивление ветвей не чисто емкостное и не чисто индуктивное. При этом направление тока $I_1$ будет совпадать с направлением напряжения $U_{R_1}$, а  ток $I_2$ – с направлением напряжения $U_{R_2}$.

Своим студентам я придумала подсказку:

«Каждый студент, запомни твердо!

От этого твой зависит зачет:

В емкости ток опережает,

А в индуктивности – отстает!»

Входное напряжение – это в данном случае и есть $U_{R_1C}$.

Чтобы дальше решать эту задачу, призовем векторную диаграмму на помощь. Построим сначала вектор тока $I_1$ и совпадающий с ним вектор напряжения $U_{R_1}$, затем – отстающий на $90^{\circ}$ вектор напряжения $U_C$. Сложим вектора обоих напряжений и получим вектор напряжения $U$. Проведем ток $I$, совпадающий с ним по направлению (резонанс).

Векторная диаграмма (не полная) – начало построения.

Таким образом, становится понятно, что, так как тангенс угла между напряжением $U$ и напряжением $U_{R_1}$ равен 2, то и между векторами токов точно такой же угол – потому что соотношение между их модулями тоже 2. Значит, вектор тока $I_2$ направлен вертикально вниз. Туда же должно быть направлено и напряжение $U_{R_2}$, а вот напряжение на индуктивности должно опережать ток на $90^{\circ}$ – значит, оно совпадает с $I_1$. Причем, оба последних вектора должны в сумме давать $U$!

Векторная диаграмма к задаче 2

Значит, $ U_{R_1}= U_L=100$ В, $ U_{R_2}= U_С=200$ В. Таким образом, напряжение $U_{AB}=100$ В (по второму закону Кирхгофа). Ток $I$ по теореме Пифагора

$$I=\sqrt{ I_1^2+ I_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$$

Можно воспользоваться законом Ома и определить $R_2=50$ Ом, $\omega L=25$ Ом, $R_1=50$ Ом, $\frac{1}{\omega C}=100$ Ом – вы можете это легко теперь сделать сами.

Ответ: $I=2\sqrt{5}$ А, $ U_{AB}=100$ В.