Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Радиус кривизны траектории

В этой статье приведены две задачи, которые помогут вам научиться определять радиус кривизны траектории при движении тела под углом к горизонту. Каждая из  задач представляет собой целый набор, поэтому неясностей не должно остаться.

Задача 1. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 45^{\circ} к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время 0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.
Как известно, радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением и скоростью формулой:

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{R}\]

Откуда R:

    \[R=\frac{\upsilon^2}{a_n}\]

То есть, чтобы найти радиус кривизны траектории в любой точке, необходимо лишь знать скорость и нормальное ускорение, то есть ускорение, перпендикулярное вектору скорости. Рассмотрим все заданные точки и определим в них скорости и нужные составляющие ускорения.

К задаче 1

Самое простое – это определение этих величин в точке наивысшего подъема. Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому

    \[R_{max}=\frac{\upsilon_x^2}{g}=\frac{(\upsilon \cos{\alpha})^2}{g}=\frac{10^2\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{10}=5\]

Вторая по простоте расчета – точка начала движения. Скорость в ней нам уже известна, осталось с ускорением разобраться. Ускорение свободного падения разложим на две составляющие: g \cos{\alpha} и g \sin{\alpha}. Первая – перпендикулярна скорости, она-то нам и нужна. Определяем радиус:

    \[R_0=\frac{\upsilon^2}{ g \cos{\alpha}}=\frac{10^2}{ 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=14,1\]

Наконец, точка, в которой тело окажется через пол-секунды.
Наше тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью, равной \upsilon_x= \upsilon \cos{\alpha}=7,05. По вертикали тело будет двигаться равнозамедленно до середины траектории (наивысшей точки), а затем равноускоренно. Определим, успеет ли тело добраться до апогея:

    \[\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=0\]

    \[\upsilon \sin{\alpha}=gt\]

    \[t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}\]

Простой прикидочный расчет показывает, что нужная нам точка находится на первой половине траектории, где тело еще двигается вверх. Тогда его скорость по оси Y:

    \[\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-10\cdot0,5=5(\sqrt{2}-1)=2,05\]

Определим полную скорость тела в момент времени t=0,5:

    \[\upsilon_{0,5}=\sqrt{\upsilon_x^2+\upsilon_y^2}=\sqrt{7,05^2+2,05^2}=7,3\]

Угол наклона вектора скорости к горизонту в этот момент равен:

    \[\beta=\operatorname{arctg}{\frac{\upsilon_y}{\upsilon_x}}=\operatorname{arctg}{\frac{2,05}{7,05}}=16^{\circ}\]

А можно было сразу и косинус найти:

    \[\cos{\beta}=\frac{\upsilon_x}{\upsilon_{0,5}}=\frac{7,05}{7,3}=0,96\]

Тогда искомый радиус кривизны траектории равен:

    \[R_{0,5}=\frac{\upsilon_{0,5}^2}{ g \cos{\beta}}=\frac{7,3^2}{ 10 \cdot 0,96}=5,6\]

Ответ: R_0=14,1 м, R_{0,5}=5,6 м, R_{max}=5 м.

 

Задача 2. Под каким углом \alpha к горизонту нужно бросить шарик, чтобы а) радиус кривизны траектории в начальный момент времени был в 8 раз больше, чем в вершине; б) центр кривизны вершины траектории находился бы на поверхности земли?
Запишем условие задачи так: а) \frac{R_0}{R_{max}}=8, б)\frac{R_{max}}{H_{max}}=1.
а)Как и в предыдущей задаче, определяем радиус кривизны траектории в точке броска. Скорость нам известна, а нормальным ускорением будет проекция ускорения свободного падения:

    \[R_0=\frac{\upsilon_0^2}{a_n}=\frac{\upsilon_0^2}{g\cos{\alpha}}\]

Определим теперь радиус кривизны в вершине:

    \[R_{max}=\frac{\upsilon_x^2}{a_n}=\frac{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}{g}\]

По условию \frac{R_0}{R_{max}}=8:

    \[\frac{\frac{\upsilon_0^2}{g\cos{\alpha}}}{\frac{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}{g}}=8\]

    \[\frac{1}{\cos^3{\alpha}}=8\]

    \[\cos^3{\alpha}=\frac{1}{8}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\]

    \[\alpha=\arccos {\frac{1}{2}}=60^{\circ}\]

б) Мы уже определили R_{max}=\frac{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}{g}, осталась максимальная высота подъема.

    \[H_{max}=\frac{gt^2}{2}=\frac{g}{2}t^2\]

Время определяем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости так же, как мы это делали в предыдущей задаче:

    \[t=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}\]

    \[t^2=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{g^2}\]

    \[H_{max}=\frac{g}{2}\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{g^2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}\]

Приравниваем H_{max} и R_{max}:

    \[\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}=\frac{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}{g}\]

Откуда \frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}=2.

    \[\operatorname{tg}^2{\alpha}=2\]

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\sqrt{2}\]

    \[\alpha=\operatorname{arctg}{\sqrt{2}}\]

Ответ: а) \alpha=60^{\circ}, б) \alpha=\operatorname{arctg}{\sqrt{2}}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *