Радиус кривизны траектории

[latexpage]

В этой статье приведены две задачи, которые помогут вам научиться определять радиус кривизны траектории при движении тела под углом к горизонту. Каждая из  задач представляет собой целый набор, поэтому неясностей не должно остаться.

Задача 1. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом $45^{\circ}$ к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время 0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.
Как известно, радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением и скоростью формулой:
$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}$$
Откуда $R$:
$$R=\frac{\upsilon^2}{a_n}$$
То есть, чтобы найти радиус кривизны траектории в любой точке, необходимо лишь знать скорость и нормальное ускорение, то есть ускорение, перпендикулярное вектору скорости. Рассмотрим все заданные точки и определим в них скорости и нужные составляющие ускорения.

К задаче 1

Самое простое – это определение этих величин в точке наивысшего подъема. Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому
$$R_{max}=\frac{\upsilon_x^2}{g}=\frac{(\upsilon \cos{\alpha})^2}{g}=\frac{10^2\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{10}=5$$
Вторая по простоте расчета – точка начала движения. Скорость в ней нам уже известна, осталось с ускорением разобраться. Ускорение свободного падения разложим на две составляющие: $g \cos{\alpha}$ и $g \sin{\alpha}$. Первая – перпендикулярна скорости, она-то нам и нужна. Определяем радиус:
$$R_0=\frac{\upsilon^2}{ g \cos{\alpha}}=\frac{10^2}{ 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=14,1$$
Наконец, точка, в которой тело окажется через пол-секунды.
Наше тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью, равной $\upsilon_x= \upsilon \cos{\alpha}=7,05$. По вертикали тело будет двигаться равнозамедленно до середины траектории (наивысшей точки), а затем равноускоренно. Определим, успеет ли тело добраться до апогея:
$$\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=0$$
$$ \upsilon \sin{\alpha}=gt$$
$$t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}$$
Простой прикидочный расчет показывает, что нужная нам точка находится на первой половине траектории, где тело еще двигается вверх. Тогда его скорость по оси $Y$:
$$\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-10\cdot0,5=5(\sqrt{2}-1)=2,05$$
Определим полную скорость тела в момент времени $t=0,5$:
$$\upsilon_{0,5}=\sqrt{\upsilon_x^2+\upsilon_y^2}=\sqrt{7,05^2+2,05^2}=7,3$$
Угол наклона вектора скорости к горизонту в этот момент равен:
$$\beta=\operatorname{arctg}{\frac{\upsilon_y}{\upsilon_x}}=\operatorname{arctg}{\frac{2,05}{7,05}}=16^{\circ}$$
А можно было сразу и косинус найти:
$$\cos{\beta}=\frac{\upsilon_x}{\upsilon_{0,5}}=\frac{7,05}{7,3}=0,96$$
Тогда искомый радиус кривизны траектории равен:
$$R_{0,5}=\frac{\upsilon_{0,5}^2}{ g \cos{\beta}}=\frac{7,3^2}{ 10 \cdot 0,96}=5,6$$
Ответ: $R_0=14,1$ м, $R_{0,5}=5,6$ м, $R_{max}=5$ м.

Задача 2. Под каким углом $\alpha$ к горизонту нужно бросить шарик, чтобы а) радиус кривизны траектории в начальный момент времени был в 8 раз больше, чем в вершине; б) центр кривизны вершины траектории находился бы на поверхности земли?
Запишем условие задачи так: а) $\frac{R_0}{R_{max}}=8$, б)$\frac{R_{max}}{H_{max}}=1$.
а)Как и в предыдущей задаче, определяем радиус кривизны траектории в точке броска. Скорость нам известна, а нормальным ускорением будет проекция ускорения свободного падения: $$R_0=\frac{\upsilon_0^2}{a_n}=\frac{\upsilon_0^2}{g\cos{\alpha}}$$
Определим теперь радиус кривизны в вершине:
$$R_{max}=\frac{\upsilon_x^2}{a_n}=\frac{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}{g}$$
По условию $\frac{R_0}{R_{max}}=8$:
$$\frac{\frac{\upsilon_0^2}{g\cos{\alpha}}}{\frac{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}{g}}=8$$
$$\frac{1}{\cos^3{\alpha}}=8$$
$$\cos^3{\alpha}=\frac{1}{8}$$
$$\cos{\alpha}=\frac{1}{2}$$
$$\alpha=\arccos {\frac{1}{2}}=60^{\circ}$$
б) Мы уже определили $R_{max}=\frac{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}{g}$, осталась максимальная высота подъема.
$$H_{max}=\frac{gt^2}{2}=\frac{g}{2}t^2$$
Время определяем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости так же, как мы это делали в предыдущей задаче:
$$t=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$$
$$t^2=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{g^2}$$
$$H_{max}=\frac{g}{2}\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{g^2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}$$
Приравниваем $H_{max}$ и $R_{max}$:
$$\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}=\frac{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}{g}$$
Откуда $\frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}=2$.
$$\operatorname{tg}^2{\alpha}=2$$
$$\operatorname{tg}{\alpha}=\sqrt{2}$$
$$\alpha=\operatorname{arctg}{\sqrt{2}}$$
Ответ: а) $\alpha=60^{\circ}$, б) $\alpha=\operatorname{arctg}{\sqrt{2}}$.