Работа. Законы сохранения.

[latexpage]

Самые хорошие и интересные задачи приносят ученики. Часто в этих задачах бывают нестыковки в условии: вместе разбираемся, исправляем условие так, чтобы задача была корректной. Так и с этими произошло.

Задача 1. Пуля, летевшая горизонтально со скоростью 400 м/с, попадает в брусок, висящий на нити длиной 4 м, и застревает в нем. Определить угол, на который отклонится брусок, если масса пули 20 г, а бруска 5 кг.

Пусть $m$ – масса пули, а $\upsilon$ – ее скорость. $M$ – масса бруска, $\upsilon_b$ – скорость, приобретенная им после удара пули.

Запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon=(m+M)\upsilon_b$$

$$\upsilon_b=\frac{ m\upsilon }{m+M}$$

Тогда кинетическая энергия бруска равна

$$E_k=\frac{(M+m) \upsilon_b^2 }{2}=\frac{ m^2 \upsilon^2 }{2(m+M)}$$

Эта энергия перейдет в потенциальную при отклонении бруска от вертикали:

$$E_k=E_p$$

$$(M+m)gh=\frac{ m^2 \upsilon^2 }{2(m+M)}$$

$$h=\frac{ m^2 \upsilon^2 }{2g(m+M)^2}=\frac{ 0,02^2 \cdot400^2 }{2\cdot10(5,02)^2}=0,13$$

Теперь определим угол.

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{l}=\frac{l-h}{l}=\frac{4-0,13}{4}=0,9675$$

$$\alpha=\arccos(0,9675)=14,6^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=14,6^{\circ}$

Задача 2. Пуля, летевшая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Длина стержня 1 м. Найти скорость пули, если известно, что шар отклонился от вертикали на $10^{\circ}$.

Это задача, обратная предыдущей.

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{l}=\frac{l-h}{l}$$

$$l-h=l\cos{\alpha}$$

$$h=l- l\cos{\alpha}$$

$$E_k=E_p$$

$$(M+m)gh=\frac{ m^2 \upsilon^2 }{2(m+M)}$$

$$\upsilon ^2=\frac{2(M+m)^2gh }{m^2}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2(M+m)^2gh }{m^2}}=\frac{M+m }{m}\sqrt{2g(l- l\cos{\alpha})}=1001\sqrt{20(1- \cos{10^{\circ}})}=551$$

Ответ: 551 м/c

Задача 3. Гиря массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1 кг, укрепленную на пружине жесткостью 980 Н/м. Определить значение максимального сжатия пружины, если в момент удара гиря имела скорость 5 м/с. Удар считать неупругим.

Кинетическая энергия гири перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины. Определим скорость системы гиря-плита:

$$m\upsilon=(m+M)\upsilon’$$

$$\upsilon’=\frac{ m\upsilon }{ m+M }$$

Кинетическая энергия системы гиря-плита равна

$$E_k=\frac{(m+M)\upsilon’^2}{2}=\frac{m^2\upsilon^2}{2(m+M)}$$

$$E_p=\frac{k\Delta x^2}{2}$$

Тогда максимальное сжатие пружины

$$\Delta x=\sqrt{\frac{m^2\upsilon^2}{k(m+M)}}= \sqrt{\frac{0,5^2\cdot 5^2}{980(1,5)}}=0,065$$

Ответ: 6,5 см.

Задача 4. Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально со скоростью 600 м/с, ударилась в деревянный брусок массой 5 кг, лежащий на гладкой поверхности,  и проникла в него на глубину 10 см. Найти силу сопротивления движению пули.

Кинетическая энергия пули перешла в кинетическую энергию бруска и работу силы сопротивления.

$$E_k=E_b+A$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{(m+M)\upsilon’^2}{2}+FS$$

По закону сохранения импульса

$$ m\upsilon=(m+M)\upsilon’$$

$$\upsilon’=\frac{ m\upsilon }{ m+M }=\frac{ 0,01\cdot600}{ 5,01}=1,2$$

Тогда

$$FS=\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{(m+M)\upsilon’^2}{2}=\frac{0,01\cdot600^2}{2}-\frac{5,01\cdot1,2^2}{2}=1800-3,6=1796,4$$

$$F=\frac{1796,4}{0,1}=17964$$

Ответ: 17964 Н.

Задача 5. На вершине гладкой полусферы радиусом 0,5 м находится шайба массой 10 г. Шайба под действием кратковременного горизонтально направленного импульса силы $2\cdot10^{-3}$ Нс начинает скользить по сфере. На какой высоте над основанием сферы шайба оторвется от ее поверхности?

Начальная скорость шайбы равна

$$m\upsilon_0=F\Delta t$$

$$\upsilon_0=\frac{ F\Delta t }{m}$$

Кинетическая энергия шайбы и ее потенциальная энергия перейдут в кинетическую энергию на уровне, где шайба оторвется от поверхности. Этот уровень примем за нулевой уровень потенциальной энергии.

$$mgh+\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Тогда скорость в месте отрыва равна

$$\upsilon^2=\upsilon_0^2+2gh$$

Шайба оторвется от поверхности, когда сила реакции опоры станет равной нулю. Запишем второй закон Ньютона:

$$ma_n=mg\cos{\alpha}-N$$

Если сила реакции опоры равна нулю, то

$$a_n= g\cos{\alpha}$$

$$\frac{\upsilon^2}{R}= g\cos{\alpha}$$

$$\frac{\upsilon_0^2+2gh}{R}= g\cos{\alpha}$$

$$\upsilon_0^2+2gh= Rg\cos{\alpha}$$

Представим высоту $h$ как $h=R-R\cos{\alpha}$

$$\upsilon_0^2+2g(R-R\cos{\alpha}) =Rg\cos{\alpha}$$

$$\upsilon_0^2+2gR =3Rg\cos{\alpha}$$

$$\cos{\alpha}=\frac{\upsilon_0^2+2gR }{3Rg }=0,67$$

Тогда искомая высота

$$R\cos{\alpha}=0,5\cdot0,67=0,335$$

Ответ: 33,5 см.

Задача 6. С наклонной плоскости длиной 1 м и углом наклона $30^{\circ}$ скользит тело. Какова скорость тела у основания плоскости, если коэффициент трения равен 0,1?

Потенциальная энергия тела перейдет в работу против силы трения и кинетическую энергию. Сила трения равна

$$F_{tr}=\mu N=\mu m g \cos{\alpha}$$

Работа этой силы равна

$$A_{tr}=Fl=\mu m g \cos{\alpha} l$$

Тогда по закону сохранения энергии

$$E_p=E_K+A$$

$$mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}+\mu m g \cos{\alpha} l $$

$$gh=\frac{\upsilon^2}{2}+\mu  g \cos{\alpha} l $$

$$\upsilon^2=2gh-2\mu  g \cos{\alpha} l $$

$$\upsilon=\sqrt{2gh-2\mu  g \cos{\alpha} l}=\sqrt{10-2\cdot0,1\cdot10 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=2,88 $$

Ответ: 2,88 м/с.

Задача 7. Из духового ружья стреляют в спичечную коробку, лежащую в 30 см от края стола. Пуля массой 1 г, летящая со скоростью 150 м/с, пробивает коробку и вылетает из нее со скоростью, вдвое меньшей. Масса коробки 50 г. При  каком коэффициенте трения о стол коробка не упадет со стола?

По закону сохранения импульса

$$m\upsilon=m\upsilon_1+M\upsilon_2$$

Здесь $\upsilon$ – начальная скорость пули, $\upsilon_1$ – скорость пули после вылета, $\upsilon_2$  – скорость коробки.

Коробка приобретает кинетическую энергию, которая уходит на работу против силы трения:

$$\upsilon_2=\frac{m}{M}(\upsilon-\upsilon_1)= \frac{m\upsilon}{2M}$$

$$\frac{M\upsilon_2^2}{2}=A_{tr}=F_{tr}S=\mu M g S$$

$$\mu =\frac{\upsilon_2^2}{2gS}=\frac{m^2\upsilon^2}{8M^2gS}=\frac{0,001^2\cdot 150^2}{8\cdot0,05^2\cdot10\cdot0,3}=0,375$$

Ответ: 0,375

Задача 8. Атом изотопа урана $U^{235}$ делится согласно схеме $U^{235}=Ba^{143}+Kr^{92}$, причем кинетическая энергия обоих осколков равна $4\cdot10^{-11}$ Дж. Найти скорость атома $Ba$.

Запишем кинетическую энергию обоих осколков:

$$E_{k1}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}$$

$$\upsilon_1^2=\frac{2E_{k1}}{m_1}$$

$$\upsilon_1=\sqrt{\frac{2E_{k1}}{m_1}}=\sqrt{\frac{2\cdot4\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{23}}{143\cdot10^{-3}}}=\sqrt{3,35\cdot10^{14}}=1,83\cdot10^7$$

Ответ: $\upsilon_1=1,83\cdot10^7$ м/с.