[latexpage]
Самые хорошие и интересные задачи приносят ученики. Часто в этих задачах бывают нестыковки в условии: вместе разбираемся, исправляем условие так, чтобы задача была корректной. Так и с этими произошло.
Задача 1. Пуля, летевшая горизонтально со скоростью 400 м/с, попадает в брусок, висящий на нити длиной 4 м, и застревает в нем. Определить угол, на который отклонится брусок, если масса пули 20 г, а бруска 5 кг.
Пусть $m$ – масса пули, а $\upsilon$ – ее скорость. $M$ – масса бруска, $\upsilon_b$ – скорость, приобретенная им после удара пули.
Запишем закон сохранения импульса:
$$m\upsilon=(m+M)\upsilon_b$$
$$\upsilon_b=\frac{ m\upsilon }{m+M}$$
Тогда кинетическая энергия бруска равна
$$E_k=\frac{(M+m) \upsilon_b^2 }{2}=\frac{ m^2 \upsilon^2 }{2(m+M)}$$
Эта энергия перейдет в потенциальную при отклонении бруска от вертикали:
$$E_k=E_p$$
$$(M+m)gh=\frac{ m^2 \upsilon^2 }{2(m+M)}$$
$$h=\frac{ m^2 \upsilon^2 }{2g(m+M)^2}=\frac{ 0,02^2 \cdot400^2 }{2\cdot10(5,02)^2}=0,13$$
Теперь определим угол.
$$\cos{\alpha}=\frac{b}{l}=\frac{l-h}{l}=\frac{4-0,13}{4}=0,9675$$
$$\alpha=\arccos(0,9675)=14,6^{\circ}$$
Ответ: $\alpha=14,6^{\circ}$
Задача 2. Пуля, летевшая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Длина стержня 1 м. Найти скорость пули, если известно, что шар отклонился от вертикали на $10^{\circ}$.
Это задача, обратная предыдущей.
$$\cos{\alpha}=\frac{b}{l}=\frac{l-h}{l}$$
$$l-h=l\cos{\alpha}$$
$$h=l- l\cos{\alpha}$$
$$E_k=E_p$$
$$(M+m)gh=\frac{ m^2 \upsilon^2 }{2(m+M)}$$
$$\upsilon ^2=\frac{2(M+m)^2gh }{m^2}$$
$$\upsilon=\sqrt{\frac{2(M+m)^2gh }{m^2}}=\frac{M+m }{m}\sqrt{2g(l- l\cos{\alpha})}=1001\sqrt{20(1- \cos{10^{\circ}})}=551$$
Ответ: 551 м/c
Задача 3. Гиря массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1 кг, укрепленную на пружине жесткостью 980 Н/м. Определить значение максимального сжатия пружины, если в момент удара гиря имела скорость 5 м/с. Удар считать неупругим.
Кинетическая энергия гири перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины. Определим скорость системы гиря-плита:
$$m\upsilon=(m+M)\upsilon’$$
$$\upsilon’=\frac{ m\upsilon }{ m+M }$$
Кинетическая энергия системы гиря-плита равна
$$E_k=\frac{(m+M)\upsilon’^2}{2}=\frac{m^2\upsilon^2}{2(m+M)}$$
$$E_p=\frac{k\Delta x^2}{2}$$
Тогда максимальное сжатие пружины
$$\Delta x=\sqrt{\frac{m^2\upsilon^2}{k(m+M)}}= \sqrt{\frac{0,5^2\cdot 5^2}{980(1,5)}}=0,065$$
Ответ: 6,5 см.
Задача 4. Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально со скоростью 600 м/с, ударилась в деревянный брусок массой 5 кг, лежащий на гладкой поверхности, и проникла в него на глубину 10 см. Найти силу сопротивления движению пули.
Кинетическая энергия пули перешла в кинетическую энергию бруска и работу силы сопротивления.
$$E_k=E_b+A$$
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{(m+M)\upsilon’^2}{2}+FS$$
По закону сохранения импульса
$$ m\upsilon=(m+M)\upsilon’$$
$$\upsilon’=\frac{ m\upsilon }{ m+M }=\frac{ 0,01\cdot600}{ 5,01}=1,2$$
Тогда
$$FS=\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{(m+M)\upsilon’^2}{2}=\frac{0,01\cdot600^2}{2}-\frac{5,01\cdot1,2^2}{2}=1800-3,6=1796,4$$
$$F=\frac{1796,4}{0,1}=17964$$
Ответ: 17964 Н.
Задача 5. На вершине гладкой полусферы радиусом 0,5 м находится шайба массой 10 г. Шайба под действием кратковременного горизонтально направленного импульса силы $2\cdot10^{-3}$ Нс начинает скользить по сфере. На какой высоте над основанием сферы шайба оторвется от ее поверхности?
Начальная скорость шайбы равна
$$m\upsilon_0=F\Delta t$$
$$\upsilon_0=\frac{ F\Delta t }{m}$$
Кинетическая энергия шайбы и ее потенциальная энергия перейдут в кинетическую энергию на уровне, где шайба оторвется от поверхности. Этот уровень примем за нулевой уровень потенциальной энергии.
$$mgh+\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}$$
Тогда скорость в месте отрыва равна
$$\upsilon^2=\upsilon_0^2+2gh$$
Шайба оторвется от поверхности, когда сила реакции опоры станет равной нулю. Запишем второй закон Ньютона:
$$ma_n=mg\cos{\alpha}-N$$
Если сила реакции опоры равна нулю, то
$$a_n= g\cos{\alpha}$$
$$\frac{\upsilon^2}{R}= g\cos{\alpha}$$
$$\frac{\upsilon_0^2+2gh}{R}= g\cos{\alpha}$$
$$\upsilon_0^2+2gh= Rg\cos{\alpha}$$
Представим высоту $h$ как $h=R-R\cos{\alpha}$
$$\upsilon_0^2+2g(R-R\cos{\alpha}) =Rg\cos{\alpha}$$
$$\upsilon_0^2+2gR =3Rg\cos{\alpha}$$
$$\cos{\alpha}=\frac{\upsilon_0^2+2gR }{3Rg }=0,67$$
Тогда искомая высота
$$R\cos{\alpha}=0,5\cdot0,67=0,335$$
Ответ: 33,5 см.
Задача 6. С наклонной плоскости длиной 1 м и углом наклона $30^{\circ}$ скользит тело. Какова скорость тела у основания плоскости, если коэффициент трения равен 0,1?
Потенциальная энергия тела перейдет в работу против силы трения и кинетическую энергию. Сила трения равна
$$F_{tr}=\mu N=\mu m g \cos{\alpha}$$
Работа этой силы равна
$$A_{tr}=Fl=\mu m g \cos{\alpha} l$$
Тогда по закону сохранения энергии
$$E_p=E_K+A$$
$$mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}+\mu m g \cos{\alpha} l $$
$$gh=\frac{\upsilon^2}{2}+\mu g \cos{\alpha} l $$
$$\upsilon^2=2gh-2\mu g \cos{\alpha} l $$
$$\upsilon=\sqrt{2gh-2\mu g \cos{\alpha} l}=\sqrt{10-2\cdot0,1\cdot10 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=2,88 $$
Ответ: 2,88 м/с.
Задача 7. Из духового ружья стреляют в спичечную коробку, лежащую в 30 см от края стола. Пуля массой 1 г, летящая со скоростью 150 м/с, пробивает коробку и вылетает из нее со скоростью, вдвое меньшей. Масса коробки 50 г. При каком коэффициенте трения о стол коробка не упадет со стола?
По закону сохранения импульса
$$m\upsilon=m\upsilon_1+M\upsilon_2$$
Здесь $\upsilon$ – начальная скорость пули, $\upsilon_1$ – скорость пули после вылета, $\upsilon_2$ – скорость коробки.
Коробка приобретает кинетическую энергию, которая уходит на работу против силы трения:
$$\upsilon_2=\frac{m}{M}(\upsilon-\upsilon_1)= \frac{m\upsilon}{2M}$$
$$\frac{M\upsilon_2^2}{2}=A_{tr}=F_{tr}S=\mu M g S$$
$$\mu =\frac{\upsilon_2^2}{2gS}=\frac{m^2\upsilon^2}{8M^2gS}=\frac{0,001^2\cdot 150^2}{8\cdot0,05^2\cdot10\cdot0,3}=0,375$$
Ответ: 0,375
Задача 8. Атом изотопа урана $U^{235}$ делится согласно схеме $U^{235}=Ba^{143}+Kr^{92}$, причем кинетическая энергия обоих осколков равна $4\cdot10^{-11}$ Дж. Найти скорость атома $Ba$.
Запишем кинетическую энергию обоих осколков:
$$E_{k1}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}$$
$$\upsilon_1^2=\frac{2E_{k1}}{m_1}$$
$$\upsilon_1=\sqrt{\frac{2E_{k1}}{m_1}}=\sqrt{\frac{2\cdot4\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{23}}{143\cdot10^{-3}}}=\sqrt{3,35\cdot10^{14}}=1,83\cdot10^7$$
Ответ: $\upsilon_1=1,83\cdot10^7$ м/с.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...