Работа тока

[latexpage]

Рассмотрены простые задачи на работу тока. Упор сделан на КПД: его расчет или наоборот, использование известного КПД устройства.

Задача 1. Протекающий  через сопротивление $R=100$ Ом ток изменяется со временем по закону $I=k\sqrt{t}$, где $k=1$ А$\cdot c^{-\frac{1}{2}}$. Какое время существовал ток в цепи, если на сопротивлении выделилось количество теплоты $Q=1,8$ кДж? 12.120

Количество теплоты, выделяющееся при прохождении тока, при постоянном токе равно $Q=I^2Rt$.

У нас же ток изменяется.  Возведем ток в квадрат:

$$I^2=k^2t$$

Таким образом, становится понятно, что квадрат тока растет линейно со временем. Если это так, то при расчете теплового действия тока можно и нужно брать среднее значение квадрата тока, а именно, $\frac{ I^2}{2}=\frac{ k^2t }{2}$

Подставим  это значение в выражение для количества тепла:

$$Q=\frac{k^2Rt^2}{2}$$

Отсюда время протекания тока:

$$t^2=\frac{2Q}{k^2R}=\frac{2\cdot1800}{100}=36$$

$$t=6$$

Ответ: 6 с.

Задача 2. Две спирали из  различных материалов соединены параллельно. Отношения их длин $15:14$, а площадей поперечных сечений – $5:4$. Оказалось, что за одинаковое время в них выделяется одинаковое количество теплоты. Определить отношение удельных сопротивлений этих материалов.

Если выделилось одно и то же количество тепла, то

$$Q_1=Q_2$$

$$I_1^2 R_1=I_2^2 R_2$$

Так как проволоки соединены параллельно, то напряжение на их концах одинаково:

$$U=I_1R_1=I_2R_2$$

Откуда найдем:

$$UI_1=UI_2$$

$$\frac{I_2}{I_1}=1$$

Сопротивление первой проволоки зависит от удельного сопротивления материала, длины и поперечного сечения:

$$R_1=\frac{\rho_1 l_1}{S_1}$$

Аналогично и для второй проволоки:

$$R_2=\frac{\rho_2 l_2}{S_2}$$

«Вытащим» удельное сопротивление:

$$\rho_1=\frac{R_1S_1}{l_1}$$

$$\rho_2=\frac{R_2S_2}{l_2}$$

Разделим первое на второе:

$$\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{ R_1 S_1 I_2}{ R_2 S_2 I_1}=\frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{I_2}{I_1}=\frac{5}{4} \cdot \frac{14}{15}=\frac{7}{6}$$

Ответ:  $\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{7}{6}$

Задача 3. Какую работу совершает электродвигатель пылесоса за 25 мин, если при напряжении 220 В сила тока в электродвигателе 1,25 А, а КПД 80%?

25 минут – это 1500 с. КПД механизма – это работа, которую он совершает, к его полезной мощности.  Тогда:

$$A=\eta P=\eta UI t=0,8 \cdot220 \cdot 1,25 \cdot 1500=330 000$$

Ответ: 330 кДж

Задача 4. На изготовление кипятильника израсходована нихромовая проволока объемом $V=10$ см$^3$. Какую массу воды $m$ можно нагревать ежеминутно от температуры $t_1=10^{\circ}$ До температуры $t_2=100^{\circ}$ этим кипятильником при плотности тока  в нем $j=3$ A/мм$^2$? КПД кипятильника $\eta=70$%.

Чтобы нагреть воду, потребуется количество теплоты:

$$Q=m c \Delta t$$

Откуда

$$m=\frac{Q}{c \Delta t}$$

Это тепло выделится в результате теплового действия тока:

$$Q=\eta I^2R t $$

Плотность тока – это

$$j=\frac{I}{S}$$

Тогда ток:

$$I=jS$$

Сопротивление:

$$R=\rho \frac{l}{S}$$

Подставим:

$$Q=\eta (jS)^2\rho \frac{l}{S} t=\eta j^2 l S \rho t=\eta j^2 V \rho t $$

Теперь можно определить и массу воды:

$$m=\frac{\eta j^2 V \rho t }{c \Delta t}=\frac{\eta j^2 V \rho t }{c (t_2-t_1)}$$

Подставим числа:

$$m=\frac{0,7 \cdot 9 \cdot10^{-5} \cdot1,1\cdot 60 }{4200 \cdot 90}=0,011$$

Ответ: 11 г.

Задача 5. Линия электропередачи длиной $l=100$ км работает при напряжении $U=200 000$ В. Определить КПД линии, то есть отношение напряжения на нагрузке к напряжению, подводимому к линии. Линия выполнена из алюминиевого кабеля площадью поперечного сечения $S=150$ мм$^2$. Передаваемая мощность $P=30 000$ кВт.

Определим ток линии, А:

$$I=\frac{P}{U}=\frac{3 \cdot10^7}{2 \cdot10^5}=150$$

Определим сопротивление линии, Ом:

$$R=\frac{\rho l}{S}=\frac{28\cdot10^{-4} \cdot100000}{150\cdot10^{-6}}=18,7$$

Тогда при таком токе и сопротивлении падение напряжения  на проводах линии будет, В:

$$\Delta U=I R=150 \cdot18,7=2805$$

Тогда КПД линии, %:

$$\eta=\frac{U-\Delta U}{U}=\frac{200000-2805}{200000}=0,98$$

Ответ: 98%

Задача 6. На участке пути электровоз развивает силу тяги $F=2,5\cdot10^4$ Н. При этом напряжение на его двигателе $U=1$ кВт и сила тока $I=600$ А. Определить скорость движения электровоза, если известно, что КПД его двигателя $\eta=80$%.

Мощность тепловоза расчетная:

$$P=UI$$

Мощность полезная:

$$P_p=\eta P$$

С другой стороны, полезная мощность равна:

$$P_p=F \upsilon$$

И тогда скорость равна:

$$\upsilon=\frac{P_p}{F}=\frac{\eta UI}{F}=\frac{0,8\cdot1000\cdot600}{2,5\cdot10^4}=19,2$$

Ответ: 19,2 м/с