Работа тока

Рассмотрены простые задачи на работу тока. Упор сделан на КПД: его расчет или наоборот, использование известного КПД устройства.

Задача 1. Протекающий через сопротивление $R=100$ Ом ток изменяется со временем по закону $I=k\sqrt{t}$ , где $k=1$ А $\cdot c^{-\frac{1}{2}}$ . Какое время существовал ток в цепи, если на сопротивлении выделилось количество теплоты $Q=1,8$ кДж? 12.120

Количество теплоты, выделяющееся при прохождении тока, при постоянном токе равно $Q=I^2Rt$ .

У нас же ток изменяется. Возведем ток в квадрат:

$I^2=k^2t$

Таким образом, становится понятно, что квадрат тока растет линейно со временем. Если это так, то при расчете теплового действия тока можно и нужно брать среднее значение квадрата тока, а именно, $\frac{ I^2}{2}=\frac{ k^2t }{2}$

Подставим это значение в выражение для количества тепла:

$Q=\frac{k^2Rt^2}{2}$

Отсюда время протекания тока:

$t^2=\frac{2Q}{k^2R}=\frac{2\cdot1800}{100}=36$

$t=6$

Ответ: 6 с.

Задача 2. Две спирали из различных материалов соединены параллельно. Отношения их длин $15:14$ , а площадей поперечных сечений – $5:4$ . Оказалось, что за одинаковое время в них выделяется одинаковое количество теплоты. Определить отношение удельных сопротивлений этих материалов.

Если выделилось одно и то же количество тепла, то

$Q_1=Q_2$

$I_1^2 R_1=I_2^2 R_2$

Так как проволоки соединены параллельно, то напряжение на их концах одинаково:

$U=I_1R_1=I_2R_2$

Откуда найдем:

$UI_1=UI_2$

$\frac{I_2}{I_1}=1$

Сопротивление первой проволоки зависит от удельного сопротивления материала, длины и поперечного сечения:

$R_1=\frac{\rho_1 l_1}{S_1}$

Аналогично и для второй проволоки:

$R_2=\frac{\rho_2 l_2}{S_2}$

«Вытащим» удельное сопротивление:

$\rho_1=\frac{R_1S_1}{l_1}$

$\rho_2=\frac{R_2S_2}{l_2}$

Разделим первое на второе:

$\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{ R_1 S_1 I_2}{ R_2 S_2 I_1}=\frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{I_2}{I_1}=\frac{5}{4} \cdot \frac{14}{15}=\frac{7}{6}$

Ответ: $\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{7}{6}$

Задача 3. Какую работу совершает электродвигатель пылесоса за 25 мин, если при напряжении 220 В сила тока в электродвигателе 1,25 А, а КПД 80%?

25 минут – это 1500 с. КПД механизма – это работа, которую он совершает, к его полезной мощности. Тогда:

$A=\eta P=\eta UI t=0,8 \cdot220 \cdot 1,25 \cdot 1500=330 000$

Ответ: 330 кДж

Задача 4. На изготовление кипятильника израсходована нихромовая проволока объемом $V=10$ см $^3$ . Какую массу воды $m$ можно нагревать ежеминутно от температуры $t_1=10^{\circ}$ До температуры $t_2=100^{\circ}$ этим кипятильником при плотности тока в нем $j=3$ A/мм $^2$ ? КПД кипятильника $\eta=70$ %.

Чтобы нагреть воду, потребуется количество теплоты:

$Q=m c \Delta t$

Откуда

$m=\frac{Q}{c \Delta t}$

Это тепло выделится в результате теплового действия тока:

$Q=\eta I^2R t$

Плотность тока – это

$j=\frac{I}{S}$

Тогда ток:

$I=jS$

Сопротивление:

$R=\rho \frac{l}{S}$

Подставим:

$Q=\eta (jS)^2\rho \frac{l}{S} t=\eta j^2 l S \rho t=\eta j^2 V \rho t$

Теперь можно определить и массу воды:

$m=\frac{\eta j^2 V \rho t }{c \Delta t}=\frac{\eta j^2 V \rho t }{c (t_2-t_1)}$

Подставим числа:

$m=\frac{0,7 \cdot 9 \cdot10^{-5} \cdot1,1\cdot 60 }{4200 \cdot 90}=0,011$

Ответ: 11 г.

Задача 5. Линия электропередачи длиной $l=100$ км работает при напряжении $U=200 000$ В. Определить КПД линии, то есть отношение напряжения на нагрузке к напряжению, подводимому к линии. Линия выполнена из алюминиевого кабеля площадью поперечного сечения $S=150$ мм $^2$ . Передаваемая мощность $P=30 000$ кВт.

Определим ток линии, А:

$I=\frac{P}{U}=\frac{3 \cdot10^7}{2 \cdot10^5}=150$

Определим сопротивление линии, Ом:

$R=\frac{\rho l}{S}=\frac{28\cdot10^{-4} \cdot100000}{150\cdot10^{-6}}=18,7$

Тогда при таком токе и сопротивлении падение напряжения на проводах линии будет, В:

$\Delta U=I R=150 \cdot18,7=2805$

Тогда КПД линии, %:

$\eta=\frac{U-\Delta U}{U}=\frac{200000-2805}{200000}=0,98$

Ответ: 98%

Задача 6. На участке пути электровоз развивает силу тяги $F=2,5\cdot10^4$ Н. При этом напряжение на его двигателе $U=1$ кВт и сила тока $I=600$ А. Определить скорость движения электровоза, если известно, что КПД его двигателя $\eta=80$ %.