Работа Статграда от 31 января. Задачи 1-24

[latexpage]

Разбираем Статградовскую работу от 31 января. Задачи 1-24. Разбор 25-32 задач здесь.

1. Два точечных тела начинают двигаться из одной точки вдоль оси $OX$ в противоположных направлениях. На рисунке показаны графики зависимостей проекций их скоростей $\upsilon_x$ на ось $OX$ от времени $t$. Чему будет равно расстояние между этими телами через 8 секунд после начала движения?

Для того, чтобы найти расстояние между телами, достаточно определить площадь треугольника $ABC$, которая равна 40. Действительно, тело, график скорости которого $BA$, прошло путь, численно равный площади зеленого треугольника, а второе тело – путь, численно равный площади желтого.

Ответ: 40 м.

 

2. Три бруска массами $m$, $2m$ и $3m$ с помощью невесомых нерастяжимых нитей  1,  2  и   3   соединены  между   собой и прикреплены к потолку (см. рисунок).  Система находится в равновесии. Чему равно отношение модулей  сил натяжения нитей 1 и 2?

К нити 1 подвешена масса $6m$, и $T_1=6mg$, к нити 2 – масса $5m$, и для нее справедливо $T_2=5mg$. Тогда

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{6mg}{5mg}=1,2$$

Ответ: 1,2

 

3. У основания шероховатой наклонной плоскости покоится маленькая шайба массой 100 г. Шайбе сообщают импульс 0,6 кг·м/с в направлении вверх вдоль наклонной плоскости.   После   этого   шайба   поднимается   по   плоскости и останавливается на высоте 20 см от основания. Какое количество теплоты выделяется при движении шайбы?

Зная импульс шайбы, можно определить ее энергию. Вначале вся она – кинетическая, в конце – часть остается в виде потенциальной, часть выделяется в виде тепла.

$$p=m\upsilon$$

$$\upsilon=6$$

$$E_1=\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{0,1\cdot 6^2}{2}=1,8$$

$$E_2=mgh=0,1\cdot10\cdot0,2=0,2$$

Таким образом, потери составляют 1,6 Дж.

Ответ: 1,6 Дж.

 

4. Брусок массой 100 г перемещают с постоянной скоростью вертикально вниз вдоль шероховатой вертикальной стены, действуя на него силой F. Эта сила равна по модулю 5 Н и направлена под углом 30 ° к горизонтали так, как показано на рисунке.  Чему  равен  модуль  силы  трения,  действующей  на брусок?

для бруска запишем уравнение по второму закону Ньютона в проекциях на вертикальную ось:

$$0=mg+F\sin \alpha- F_{tr}$$

Откуда

$$F_{tr}= mg+F\sin \alpha=1+2,5=3,5$$

Ответ: 3,5 Н

 

5. Материальная точка движется в поле силы тяжести по траектории, изображённой на рисунке, в направлении от точки А к точке D. Траектория лежит в вертикальной плоскости (ось OX горизонтальна, ось OY вертикальна). Модуль скорости точки постоянен.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения.

1. В положениях B и D проекции вектора скорости точки на ось OY имеют одинаковые знаки.

2. В положении A потенциальная энергия точки меньше, чем в положениях B, C и D.

3. В положении A кинетическая энергия точки меньше, чем в положениях B, C и D.

4. Кинетическая энергия точки в положении D больше, чем в положении C.

5. В положении C модуль ускорения точки больше, чем в положении A.

Утверждение 1 неверно, тело в указанных точках движется в противоположных направлениях, проекции скорости имеют разные знаки.

2 – верно. Так как ось $OY$ направлена вертикально, то в точке А тело расположено ниже всего.

3 – неверно, так как модуль скорости точки постоянен.

4 – неверно по той же причине.

5 – верно. При одной и той же скорости точки радиус закругления траектории в точке $A$ больше, следовательно, ускорение меньше:

$$a_n=\frac{\upsilon^2}{R}$$

Ответ: 25

 

6. Брусок массой $m$, прикреплённый к невесомой пружине жёсткостью $k$, покоится на гладкой наклонной поверхности. Ось пружины параллельна этой поверхности (см. рисунок). Как изменятся деформация пружины в равновесном состоянии и модуль равнодействующей сил тяжести и упругости пружины, если массу бруска уменьшить в 4 раза, а жёсткость пружины уменьшить в 2 раза?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1.увеличится

2.уменьшится

3.не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Менее массивный брусок будет растягивать пружину меньше в 4 раза, но и жесткость уменьшилась, правда, вдвое. Поэтому в итоге растяжение новой пружины будет меньше, чем первой, приблизительно вдвое.

Модуль полной равнодействующей не изменится: как была она равна 0, так и останется. А в задаче речь идет о равнодействующей сил тяжести и упругости, которая уменьшится из-за уменьшения силы тяжести и жесткости пружины.

Ответ: 22

 

7. В груз массой $M$ горизонтально расположенного не колеблющегося пружинного маятника попадает пуля массой $m$, летевшая со скоростью $\upsilon$ вдоль оси пружины жёсткостью $k$. Пуля застревает в грузе. Пружина очень лёгкая, трение при движении маятника пренебрежимо мало.

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их в рассматриваемой задаче.

К каждой позиции первого столбца подберите  соответствующую  позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры.

По закону сохранения импульса

$$m\upsilon=(M+m)\upsilon’$$

$$\upsilon’=\frac{ m\upsilon }{ M+m }$$

Имея скорость бруска с пулей, составим закон сохранения энергии: кинетическая энергия системы перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины, когда сжатие будет максимальным – то есть равно амплитуде:

$$\frac{(M+m)\upsilon’^2}{2}=\frac{kA^2}{2}$$

Откуда амплитуда колебаний

$$A=\frac{m\upsilon}{\sqrt{k(M+m)}}$$

Угловую частоту определим по всем известной формуле:

$$\psi=\sqrt{\frac{k}{m+M}}$$

Ответ: 41

 

8. В закрытом  сосуде  находится  идеальный   газ  при  давлении  105 750 Па   и температуре, соответствующей среднеквадратичной скорости теплового хаотического движения молекул 494 м/с. Чему равна плотность этого газа? Ответ выразите в кг/м$^3$ и округлите до десятых долей.

Применим формулу для определения среднеквадратичной скорости:

$$\upsilon^2=\frac{3RT}{M}$$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\frac{m}{M}RT$$

Или

$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{pM}{RT}$$

Величину $\frac{M}{RT}$ «добудем» из первой формулы для скорости молекул:

$$\frac{M}{RT}=\frac{3}{\upsilon^2}$$

Наконец, подставим

$$\rho=p\frac{3}{\upsilon^2}=105750\cdot \frac{3}{494^4}=1,3$$

Ответ: $\rho=1,3$ кг/м$^3$.

 

9. На pV-диаграмме показан циклический процесс, совершаемый с постоянным количеством идеального газа. На каком участке процесса работа, которую совершает газ, равна по модулю работе, совершаемой газом за весь цикл?

Работа за цикл равна его площади – в клетках это 15. Очевидно, что работа в процессе 2 такая же по модулю.

Ответ: 2

 

10. В изобарном процессе  теплоёмкость  одного  моля  кислорода  равна  29,085 Дж/(моль·К). Определите удельную теплоёмкость кислорода в этом процессе. Ответ округлите до целого числа.

Так как один моль способен поглотить 29,085 Дж при нагреве на 1 К, то (моль кислорода по массе составляет 32 г) пересчитаем это в Дж/(кг·К).

$$c=\frac{29,085 }{0,032}=908,90$$

Ответ: 909 Дж/(кг·К).

 

11. На рисунке показан график зависимости модуля среднеквадратичной скорости $\upsilon_{sr}$ атомов   одноатомного  идеального  газа  от   объёма  $V$  газа в некотором процессе 12. Количество атомов газа в течение этого процесса не изменяется.

На основании анализа представленного графика выберите два верных утверждения.

1.В процессе 12 газ совершает положительную работу.

2. В процессе 12 внутренняя энергия газа уменьшается.

3. В процессе 12 давление p газа возрастает прямо пропорционально объёму $V$ газа.

4. В процессе 12 газ отдаёт некоторое количество теплоты окружающим телам.

5. Процесс 12 является изобарическим.

Анализируем: растет скорость при росте объема. Значит, растет температура. Но скорость прямо пропорциональна $\sqrt{T}$, поэтому рост температуры не столь быстр, как рост объема – процесс не может быть изобарным (5 неверно).

Рост объема говорит о положительной работе газа (1 верно).

2 неверно, температура растет.

3 верно: заменим скорость на графике на $\sqrt{T}$, получим

$$T\propto V^2$$

Тогда уравнение Менделеева-Клапейрона будет выглядеть:

$$p\sqrt{T}=\nu R T$$

Или

$$p=\nu R\sqrt{T}=\nu R V$$

4 – неверно, газ теплоту получает.

Ответ: 13

12. Один моль идеального одноатомного  газа,  находившегося  при  давлении  $p_1$ в сосуде объёмом $V_1$, изобарно нагревают от температуры $T_1$ до температуры $T_2$. Как изменятся приращение внутренней энергии газа и переданное газу количество теплоты, если нагревание этого газа осуществлять изохорно из того же начального состояния ($p_1, V_1, T_1$) до той же конечной температуры $T_2$?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1. увеличится

2. уменьшится

3. не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Если газ нагревают изобарно, он расширяется – совершает работу. Тогда тепло пойдет и на работу, и на увеличение внутренней энергии. Во втором случае газ работы не совершает, только увеличивает внутреннюю энергию – на такую же, как в первом случае, величину, потому что температуры одинаковы. Поэтому количество теплоты уменьшится, а изменение внутренней энергии – нет.

Ответ: 32

13. В вершинах квадрата закреплены положительные точечные заряды – так, как показано на рисунке. Как   направлен    относительно    рисунка    (вправо,    влево,    вверх,    вниз, к наблюдателю, от наблюдателя) вектор напряжённости электрического поля в центре O квадрата? Ответ запишите словом (словами).

Нужно нарисовать напряженности, создаваемые каждым из зарядов. Можно их изображать векторами с длинами, пропорциональными величинам зарядов. Тогда понятно, какова будет сумма векторов, вернее, куда она направлена.

Ответ: влево.

 

14. Два маленьких отрицательно заряженных металлических шарика находятся в вакууме на достаточно большом расстоянии друг от друга. Модуль  силы  их кулоновского взаимодействия равен F1. Модули зарядов шариков отличаются в 5 раз. Если эти шарики привести в соприкосновение, а затем расположить  на  прежнем  расстоянии  друг  от   друга,   то   модуль   силы их кулоновского взаимодействия станет равным F2. Определите отношение F2 к F1.

$$F_1=\frac{kq_1q_2}{r^2}=\frac{k\cdot q \cdot 5q}{r^2}=\frac{5kq^2}{r^2}$$

Если шарики привести в соприкосновение, заряд разделится поровну, так как их размеры одинаковы.

Поэтому

$$F_2=\frac{kq_1’q_2’}{r^2}=\frac{k\cdot 3q \cdot 3q}{r^2}=\frac{9kq^2}{r^2}$$

Отношение сил будет равно

$$\frac{F_2}{F_1}=\frac{9}{5}=1,8$$

Ответ: 1,8.

 

15. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и батареи конденсаторов. В состав батареи входят четыре одинаковых конденсатора, соединённых параллельно. Круговая частота $\psi$ свободных электромагнитных колебаний, которые могут происходить  в  этом  контуре,  равна  2500 с$^{-1}$. По разным  причинам  три  конденсатора  из  четырёх   вышли   из   строя.  На сколько изменилась круговая частота свободных электромагнитных колебаний в контуре?

Пусть емкость конденсатора равна $C$. Тогда емкость батареи из четырех параллельно соединенных равна $4C$. Угловая частота

$$\psi_1=\frac{1}{\sqrt{L\cdot 4C}}$$

После того, как три конденсатора вышли из строя, частота стала равна

$$\psi_2=\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}=2\psi_1=5000$$

А, следовательно, она изменилась на 2500 рад/с.

Ответ: 2500 с$^{-1}$.

 

16. Середина светящегося отрезка $АВ$ находится на расстоянии 20 см от центра тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см (см. рисунок). Линия $OO’$,  совпадающая   с   координатной   осью   $OX$,   является   главной оптической осью линзы. Координатная ось $OY$ лежит в плоскости линзы. Отрезок $AB$ находится в плоскости $OXY$.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения.

1. Расстояние вдоль оси $OX$ от линзы до точки $А$ меньше, чем расстояние вдоль оси $OX$ от линзы до изображения точки $А$.

2. Расстояние вдоль оси $OX$ от линзы до точки $В$ меньше, чем расстояние вдоль оси $OX$ от линзы до изображения точки $В$.

3. При вращении отрезка $AB$ вокруг его середины в плоскости рисунка против часовой стрелки изображение будет поворачиваться по часовой стрелке.

4. Расстояние вдоль оси $OY$ от главной оптической оси до точки $В$ равно расстоянию вдоль оси $OY$ от главной оптической оси до изображения точки $В$.

5. Размер изображения будет равен размеру светящегося объекта.

1 – верно. Если предмет между фокусом и двойным фокусом – изображение будет на расстоянии $f>2F$.

2 – неверно. Если точка за двойным фокусом, изображение расположено ближе двойного фокуса.

3 – верно. См. рисунок. Когда отрезок АВ займет вертикальное положение, то есть точки  А и В окажутся в двойном фокусе, то точки А’ и B’ тоже повернутся и окажутся на расстоянии двойного фокуса от линзы. То есть поворот изображения произойдет по часовой.

4 – неверно. Расстояния будут равными только, если точка расположена в двойном фокусе.

5 – неверно, аналогично пункту 4.

Ответ: 13.

 

17. Металлическое кольцо находится в однородном магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости кольца. Проводя первый опыт, модуль индукции магнитного поля равномерно уменьшают от начального значения $B_0$ до нуля за некоторое время. Во втором опыте модуль индукции магнитного поля снова равномерно уменьшают от $B_0$ до нуля, но в два раза быстрее. Как изменятся во втором опыте по сравнению с первым возникающая в кольце ЭДС индукции и протёкший по кольцу электрический заряд?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1. увеличится

2. уменьшится

3. не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

ЭДС зависит от скорости изменения потока (по закону Фарадея), поэтому она увеличится во втором опыте. Вместе с ней станет вдвое большим и ток. Но произойдет этот рост благодаря сокращению времени протекания – то есть протекший заряд останется тем же.

Ответ: 13

 

18. Электрическая цепь состоит из источника постоянного напряжения с ЭДС 6 В и внутренним сопротивлением 1 Ом, вольтметра, амперметра, резистора $R_1$, реостата $R_2$ и ключа (см. рисунок). Резистор $R_1$  имеет постоянное сопротивление 2 Ом, а сопротивление реостата сначала равно нулю. Ключ замыкают, после чего амперметр и вольтметр показывают некоторые значения силы тока и напряжения. В момент времени сопротивление реостата начинают увеличивать со временем по закону $R_2(t)=3t$.

Установите  соответствие  между   физическими   величинами,   указанными в таблице, и их значениями (в СИ). К каждой позиции первого столбца подберите  соответствующую  позицию   из   второго   столбца  и   запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Определим первоначальные показания вольтметра.

$$U_1=I\cdot R_1=\frac{ER_1}{R_1+r}=\frac{6\cdot 2}{3}=4$$

Поэтому, когда эти показания увеличатся в 1,25 раза, вольтметр будет показывать 5 В. Тогда можно эти показания найти как

$$U_2=E-Ir=E-\frac{Er}{R_1+R_2+r}= E-\frac{Er}{R_1+3t+r}$$

Следовательно,

$$5=6-\frac{6}{2+1+3t}$$

$$\frac{2}{1+t}=1$$

$$t=1$$

Ток через 3 с равен

$$I=\frac{E}{R_1+R_2+r}=\frac{E}{R_1+3t+r}=\frac{6}{2+9+1}=0,5$$

Ответ: 14

 

19. Ядро $^{128}_{52}Te$ может испытывать двойной бета-распад, при котором образуются два электрона, два антинейтрино и дочернее ядро (продукт распада). Сколько протонов и сколько нейтронов содержится в дочернем ядре?

При бета-распаде два нейтрона превратятся в протоны, и таким образом протонов станет на два больше (52+2=54), а нейтронов на 2 меньше (128-52-2=74)

Ответ: 5474

 

20. На рисунке изображён фрагмент графика зависимости относительного числа $N/N_0$ распавшихся ядер от времени $t$ для некоторого изотопа ($N_0$ – начальное число ядер, $N$ – число ядер, распавшихся к моменту времени $t$).

Пользуясь графиком, определите период полураспада этого изотопа.

Период полураспада будет равен 60 с, так как именно за это время распадется половина от имеющегося количества ядер.

Ответ: 60 с

21. На рисунке показана часть спектра ртутной лампы. Некоторые спектральные пики пронумерованы. Установите соответствие между характеристиками светового излучения и спектральными пиками.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Не виден будет пик 1, так как фиолетовые лучи, видимые глазом – это лучи с  длиной волны приблизительно 400 нм.

Излучение с наименьшей частотой – то есть с наибольшей длиной волны – это пик 4.

Ответ: 14

 

22. Определите показания вольтметра, если погрешность прямого измерения равна половине цены деления шкалы прибора.

Цена деления равна (3-2)/5=0,2 В. Показывает вольтметр 2,4 В, с учетом погрешности $2,4\pm 0,1$.

Ответ: 2,40,1

 

23. Необходимо экспериментально установить наличие  зависимости  давления в жидкости от глубины погружения в неё. Для измерения давления используется маленький датчик, который при помощи длинного прямого щупа можно погружать в разные сосуды с разными жидкостями. Результаты измерения давления  фиксируются  при  помощи  электронного  манометра,  к которому присоединён провод, идущий от датчика. Какие два эксперимента следует провести для установления указанной зависимости?

Необходимо, чтобы никаких отличий между экспериментами, кроме глубины погружения, не было. Поэтому выберем сосуды 1 и 2.

Ответ: 12

 

24. Из списка ниже выберите два типа галактик, которые приняты в современной классификации галактик.

1. овальные

2. неправильные

3. параболические

4. растянутые

5. спиральные

Ответ: неправильные, спиральные – 25.