Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Работа и мощность

Работа. Готовимся к олимпиадам, 9 класс

Задачи на работу – обычно самые сложные. Ведь сила иногда при выполнении работы переменна. А это значит, надо брать ее среднее значение при вычислениях. Или определять работу как площадь под графиком…

Задача 1. Игрушечная машинка при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость \upsilon_1=5 км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до \upsilon_2=10 км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости игрушки, найдите, с какой максимальной скоростью машинка сможет ехать в горку, если мощность двигателя возрастет в n=2 раза? Ответ выразить в км/ч, округлив до десятых. Трения в осях нет.

Решение.

По определению мощность силы равна произведению этой силы на скорость движения, что есть N=F\cdot \upsilon. При движении с постоянной скоростью мощность силы тяги двигателя максимальна. Обозначим ее N.

Обозначим угол наклона горки \alpha.По второму закону Ньютона при движении с постоянной скоростью сила тяги двигателя компенсируется силой сопротивления и векторной проекцией силы тяжести на прямую, параллельную горке, то есть

    \[F_{_{\mathrm T_1}}=F_{conp_1}+mg\sin\alpha.\]

Тогда, в первом случае, можно записать выражение для силы тяги через мощность и подставить в полученное ранее выражение. Получается, что

    \[\frac{N}{\upsilon_1}=k\upsilon_1+mg\sin\alpha.\]

Во втором случае проекции всех сил. кроме силы тяжести, поменяют знак и получится, что

    \[\frac{N}{\upsilon_2}=k\upsilon_2+mg\sin\alpha.\]

При движении вверх в третьем случае аналогичными рассуждениями получается, что

    \[\frac{n\cdot N}{\upsilon_3}=k\upsilon_3+mg\sin\alpha.\]

Для решения данной системы удобно сначала выразить N из первых двух уравнений, а затем подставить его в третье вместе с mg\sin\alpha. Получается, что

    \[\upsilon_3^2+(\upsilon_2-\upsilon_1)\cdot \upsilon_3-n\cdot \upsilon_1\cdot \upsilon_2=0,\]

откуда следует

    \[\upsilon_3=\frac{\upsilon_1-\upsilon_2+\sqrt{\upsilon_2^2+(4n-2)\cdot \upsilon_1\cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2}}{2}\approx 7,8.\]

Ответ: 7,8 км/ч.

 

Задача 2. Машина при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость \upsilon_1=100 км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до \upsilon_2=200 км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости автомобиля, найти, с какой максимальной скоростью машина сможет ехать по горизонтальному участку дороги? Ответ выразить в км/ч, округлив до целых. Трения в осях нет. Мощность машины считать постоянной.

Решение.

При движении машины вверх силе тяги двигателя противодействует сила сопротивления и некоторая часть от силы тяжести F. Тогда для машины в первом случае из второго закона Ньютона можно записать, что

    \[\frac{N}{\upsilon_1}=k\cdot \upsilon_1^2+F.\]

Во втором случае сила тяжести уже помогает, так что

    \[\frac{N}{\upsilon_2}=k\cdot \upsilon_2^2-F.\]

При движении по горизонтальному участку сила тяжести не влияет, поэтому

    \[\frac{N}{\upsilon_3}=k\cdot \upsilon_3^2.\]

Решая систему, получим, что максимальная скорость автомобиля на горизонтальном участке равна

    \[\upsilon=\sqrt[3]{\frac{\upsilon_1\cdot \upsilon_2\cdot (\upsilon_1^2+\upsilon_2^2)}{\upsilon_1+\upsilon_2}}149.\]

Ответ: 149 км/ч.

Задача 3. Деревянная доска плавает, наполовину погрузившись в воду. Длина доски L=1 м, ширина a=20 см, а высота b=10 см. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью утопить доску? Плотность воды \rho=1000~кг/м^3. Ответ выразить в Дж, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

Решение.

Так как доска плавает, погрузившись до половины, то её плотность в два раза меньше плотности воды и равна \rho_{doski}=\frac{\rho}{2}}. Сила тяжести доски уравновешивается силой Архимеда. И для того чтобы доска начала погружаться глубже, вначале не требуется никакой силы, и лишь по мере погружения, прикладываемая сила начнет линейно расти до максимального значения, равного начальной силе Архимеда, а значит и силе тяжести действующей на доску. Сила тяжести равна F=L\cdot a\cdot b\cdot \rho_{doski}=\frac{L\cdot a\cdot b\cdot \rho}{2}=100 Н. Точка приложения силы переместилась при этом на минимум на 0,5b. Следовательно сила совершила работу A=2,5 Дж.

Ответ: 2,5 Дж.

 

Задача 4. Ящик массой m=100 кг тянут с помощью верёвки, наклоненной под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту. Коэффициент трения между ящиком и полом \mu=0,5. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы передвинуть ящик на расстояние S=100 м по прямой. Ответ выразить в кДж, округлив до целых. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

Решение.

Расставим силы и запишем второй закон Ньютона. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси. Получим, что

    \[\begin{Bmatrix}{N=mg-F\sin\alpha,}\\{F\cos\alpha=\mu N.~~~~~}\end{matrix}\]

По определению работы A=FS\cos\alpha. Окончательно, подставляя F из первых уравнений, получим

    \[A=\frac{\mu\cdot m\cdot g\cdot S\cdot \cos\alpha}{\cos\alpha+\mu\cdot \sin\alpha}=38.\]

Ответ: 38 кДж.

Задача 5. Чтобы вытащить гвоздь длиной L=10 см из бревна, необходимо приложить начальную силу F_0=2 кН. Гвоздь вытащили из бревна, действуя на него с силой, всё время сонаправленной перемещению. Какая при этом была совершена механическая работа? Ответ выразить в Дж, округлив до целых. Действием силы тяжести и кинетической энергией гвоздя пренебречь. Считать, что сила сопротивления прямо пропорциональна длине части гвоздя, которая в данный момент находится в бревне.

Решение.

Сила линейно спадает от максимального значения до нуля, так как сила сопротивления прямо пропорциональна длине части гвоздя, которая в данный момент находится в бревне, а по третьему закону Ньютона эти силы равны по величине и противоположны по направлению равны. Работа силы численно равна площади под графиком зависимости силы от перемещения гвоздя. Получается, что

    \[A=\frac{1}{2}F_0\cdot L=100.\]

К задаче 5

Ответ: 100 Дж.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *